ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI Lista XIII

ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI Lista XIII

Wydział Inż. Środ./kierunek: IŚ Drgania

Physics makes you think

Na ćwiczeniach w pierwszej kolejności będą rozwiązywane zadania oznaczone gwiazdką. Pozostałe są przeznaczone do samodzielnego rozwiązywania przez studentów i będą, jeśli czas na to pozwoli, krótko omawiane na zajęciach. Prowadzący zajęcia wskazuje studentów, którzy w ramach pracy domowej przygotowywują pisemne rozwiązania wybranych zadań z gwiazdką.

*1. Ciało o masie 10 kg wykonuje drgania harmoniczne proste opisane wzorem x(t) = 6 cos[3πt + π/3] (zastosowano jednostki SI). Ile wynosi okres i częstość drgań? Dla chwili t = 2 s wyznaczyć: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, fazę i siłę przyłożoną do ciała.

*2. Masa m jest przyczepiona do dwóch sprężyn o stałych sprężystości k 1 i k 2 (patrz rysunki). W obu przypadkach zostaje ona wychylona z położenia równowagi i puszczona; porusza się bez tarcia. Pokazać, że wykonuje ona ruch harmoniczny prosty o okresach odpowiednio T A = 2π q

m(k₁

+k

)

k₁k₂

i T B = 2π q

m k₁

+k

.

*3. Wyznaczyć okresy małych drgań: (a) tarczy o pr. R zawieszonej w punktach odległych od środka masy o R i R/2;

(b) kulki metalowej zawieszonej na nitce o długości L = 0,25 m umieszczonej w cieczy o gęstości 3 razy mniejszej od gęstości kulki (opory zaniedbać); (c) ciała o masie m zawieszonego pośrodku poziomej metalowej linki o dł. L naciąganej siłą N ; (d) pręta o masie m i dł. L zgiętego w połowie długości pod kątem prostym i podpartego na ostrzu, jak na rys.

*4. Rysunek przedstawia tunel wewnątrz jednorodnej planety o masie M i promieniu R. Pokazać, że równanie ruchu ciała w tunelu ma postać d ² x/dt ² + gx/R = 0, gdzie g — przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni planety. Oszacować wartość okresu oscylacji dla ciała w tunelu we wnętrzu Ziemi. Otrzymany wynik porównać z okresem obiegu Ziemi przez sztucznego satelitę poruszającego się po orbicie kołowej z prędkością v równą I prędkości kosmicznej.

*5. (a) Równanie wymuszonych drgań: x(t) = A cos(Ωt + φ), gdzie A = F/pm ² (Ω ² − ω ² ) ² + β ² Ω ² . Obliczyć częstość rezo- nansową Ω rez oraz A rez . (b) Amplitudy drgań wymuszonych odbywających się pod działaniem dwóch sił zewnętrznych o częstościach kołowych ω 1 = 200 s

i ω 2 = 300 s

są równe. Wyznaczyć częstość rezonansową ω r .

*6. Przy jakiej prędkości samochód poruszający się po drodze z betonowych płyt będzie silnie drgał w kierunku pionowym, jeśli długość płyty wynosi L, a nacisk na resor, który ugina się o ∆x pod działaniem siły F

, wynosi N 1 ?

7. Układ złożony z dwóch klocków (m = 1 kg i M = 10 kg; lżejszy klocek spoczywa na cięższym) i sprężyny (k = 300 N/m) ustawiono na poziomej idealnie gładkiej powierzchni. Współczynnik tarcia statycznego między klockami wynosi 0,4. Dla jakich amplitud ruchu harmonicznego układu mniejszy klocek pozostanie nieruchomy?

8. Klocek o masie M spoczywający na poziomej idealnie gładkiej powierzchni połączony jest sprężyną z pionową ścianą.

W klocek ten uderza lecący poziomo z prędkością v pocisk o masie m, który grzęźnie w klocku. Wyznaczyć prędkość klocka tuż po zderzeniu oraz amplitudę drgań harmonicznych, jeśli współczynnik sprężystości sprężyny wynosi k.

9. Wahadło fizyczne ma postać jednorodnej metrowej linijki zawieszonej na osi umieszczonej w małym otworku wywierconym w odległości d od jej środka. Okres drgań wynosi 3 s. Wyznacz d.

10. (a) Energia mechaniczna ciała o masie m wykonującego ruch harmoniczny po gładkiej poziomej powierzchni pod dzia- łaniem sprężyny o współczynniku k wynosi E = ¹ ₂ mv ² + ¹ ₂ kx ² . Korzystając z zasady zachowania energii (dE/dt = 0), wyprowadzić równanie ruchu harmonicznego. (b) Małe ciało ślizga się bez tarcia wewnątrz sferycznej powierzchni o pro- mieniu R. Energia mechaniczna ciała wychylonego z położenia równowagi o kąt ϑ wynosi E = ¹ ₂ mv ² + mgR(1 − cos ϑ).

Wyprowadzić równanie ruchu. Pokazać, że okres małych drgań jest równy T = 2πpR/g.

11. (a) Sprawdzić, że rozwiązaniem równania ruchu ¨ x + 2β ˙x + ω ² ₀ x = 0 jest x = Ae

cos(ω

t − ϕ), gdzie ω

= pω ₀ ² − β ² oraz ω 0 > β (tzw. słabe tłumienie). (b) Sprawdzić, że rozwiązaniem równania drgań wymuszonych ¨ x+2β ˙x+ω ₀ ² x = (f 0 /m) cos ωt jest x = A cos(ωt − ϕ), gdzie A = (f 0 /m)[4β ² ω ² + (ω ² ₀ − ω ² ) ² ]

oraz tg ϕ = 2βω/(ω ² ₀ − ω ² ). (c) Pokazać, że w tym ruchu dE/dt = −2mβ ˙x ² , gdzie E — energia drgań.

12. Na powierzchni pewnej planety wahadło fizyczne podwieszone w dwóch punktach odległych od siebie o L > 0 ma identyczne okresy małych drgań równe T . Ile wynosi wartość natężenia (przyspieszenia) grawitacyjnego na tej planecie?

13. Tłumiony ocylator harmoniczny składa się z klocka o masie 2 kg i sprężyny z k = 10 N/m. Siła tłumienia ma postać F =

−bv. W pewnej chwili amplituda drgań wynosi 25 cm. W wyniku tłumienia amplituda maleje o 25% po wykonaniu przez układ czterech pełnych drgań. Obliczyć wartość b. Ile energii stracił układ w tym czasie?

14. Naukowiec amator stara się wyznaczyć za pomocą wahadła fizycznego przyspieszenie ziemskie wykonując pomiary na pokładzie podwodnej łodzi poruszającej się na równiku. Naukowiec zauważa, że jego pomiary dają nieco inne wyniki, gdy łódź płynie na wschód, niż wtedy gdy płynie na zachód z prędkością 20 km/h w obu przypadkach. Wyjaśnij dostrzeżone różnice i wyznacz ∆g/g 0 dla każdego kierunku ruchu, gdzie g 0 przyspieszenie w spoczywającej łodzi.

m m

k

      CC CC CC CC CC CC

k

      CC CC CC CC CC CC

k

    CC CC CC CC

k

    CC CC CC CC

Zadanie 2

C C C CC

 

 

@ @

@ @

Zadanie 3d

-

 ^x s

M

-

R

Zadanie 4

Wrocław, 27 XII 2007 W. Salejda, M.H. Tyc & K. Tarnowski