ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI Lista I

(1)

ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI Lista I

Wydział IŚ, kierunek: IŚ Metodologia fizyki

R O Z W I Ą Z A N I A Z A D A Ń

1. Gęstość ołowiu (nie lodu) ρ = 1, 13 · 10 g/cm ³ . Wyrażając gram przy użyciu innych jednostek otrzymujemy 1 g = 10 ⁻³ kg = 10 ⁶ µg = 10 ⁹ ng = 10 ⁻⁶ ton, natomiast dla centymetra mamy 1 cm = 10 ⁻² m = 10 ⁷ µm = 10 ⁴ µm = 10 ⁻⁵ km.

Zatem ρ = 1,13 · 10g/cm ³ = 1,13 · 10 · 10 ⁻³ kg/(10 ⁻² m) ³ = 1,13 · 10 ⁻² /10 ⁻⁶ kg/m ³ = 1,13 · 10 ⁴ kg/m ³ . Analogicznie ρ = 1,13 · 10 ⁻¹⁴ µg/nm ³ = 1,13 · 10 ⁻² ng/µm ³ = 1,13 · 10 ¹⁰ ton/km ³ .

2. Wymiary stałych: [G] = kg ⁻¹ m ³ s ⁻² , [h] = kg m ² s ⁻¹ , [c] = m s ⁻¹ . Jednostka długości Plancka L P = G ^α h ^β c ^γ , ma wymiar [L] = kg ^−α m ^3α s ^−2α kg ^β m ^2β s ^−β m ^γ s ^−γ . Wymiarem powinien być metr, zatem −α + β = 0, 3α + 2β + γ = 1,

−2α − β − γ = 0. Otrzymujemy α = β = ¹ ₂ , γ = − ³ ₂ , czyli L _P = pGh/c ³ ≈ 4 · 10 ⁻³⁵ m. Jednostkę czasu łatwo otrzymamy z zależności L P = cT P : T P = pGh/c ⁵ ≈ 10 ⁻⁴³ s.

3. Jeżeli A i B mają różne wymiary, sensowne są tylko działania A/B i A · B; jeżeli A i B mają identyczne wymiary, wszystkie działania są sensowne.

4. Wiadomo, że [ω] = [1/t] = 1/s, [Aω] = m/s, a argument funkcji sinus musi być bezwymiarowy: [pk/m t] = 1, skąd [A]/s = m/s i ([k]/kg) ^1/2 · s = 1. Zatem [A] = m, [k] = kg/s ² .

5. Monowarstwa oleju tworzy walec o objętości V = πr ² d = m/ρ, gdzie d — średnica molekuły oleju, r — promień walca. Zatem d = m/(ρπr ² ) = 9 · 10 ⁻⁷ /[918π · ( ¹ ₂ · 0,418) ² ] ≈ 7 · 10 ⁻⁹ m.

6. (b) prędkość kątowa na orbicie ω = 2π/(365 · 24 · 60 · 60 s) ≈ 2 · 10 ⁻⁷ 1/s, prędkość liniowa na orbicie v = ω · d Z−S ≈ 2·10 ⁻⁷ ·1/s·1,5·10 ¹¹ m = 3·10 ⁴ m/s (c) prędkość kątowa w ruchu obrotowym Ziemi ω = 2π/(24·60·60 s) ≈ 7·10 ⁻⁵ ·1/s, prędkość liniowa zależy od szerokości geograficznej θ i wynosi v = ω · R cos θ, gdzie promień Ziemi R = 6.37 · 10 ⁶ m, skąd v ≈ 450m/s · cos θ.

7. (a) Długości wektorów to A = |A| = √

71, B = |B| = √

21, C = |C| = √

77. (b) A·B = 11 (c) C×B = (−20, −4, −24) (d) A × (B × C) = (−76, 20, 60) (e) B(A · C) − C(A · B) = (−76, 20, 60); jest to formuła na objętość równoległościanu zbudowanego na trzech wektorach, cykliczne przestawienie nie zmienia wyniku A · (B × C) = 260; iloczyn skalarny jest przemienny, iloczyn wektorowy nie jest przemienny.

8. Wymiary obu stron równości v = k · a ^α · s ^β muszą być takie same. Wymiar prawej strony [k · a ^α · s ^β ] = [k] · [a] ^α · [s] ^β = 1 · (m/s ² ) ^α m ^β = m ^α+β s ^−2β , a lewej [v] = m s ⁻¹ . Porównujemy: −2β = −1 i α + β = 1, skąd β = ¹ ₂ , α = ¹ ₂ .

9. Wymiary występujących we wzorze wielkości: [T ] = s, [k · ρ ⁿ · G ^m ] = (kg/m ³ ) ⁿ (m ³ /s ² kg) ^m . Zatem s = s ^−2m , m ⁰ = m ^−3n+3m , kg ⁰ = kg ^n−m , skąd m = n = − ¹ ₂ . Zatem T = k/ √

Gρ (w rzeczywistości k = √ 3π).

10. (a) Sprawdzenie: [v ² /2a] = (m/s) ² /(m/s ² ) = m = [x]; [at/2] = m/s ² · s = m/s 6= m = [x]; [p2x/a] = pm/(m/s ² ) = s = [t]. (b) Wymiary składników sumy muszą być równe wymiarowi wyniku: [At] = [Bt ³ ] = m/s, więc [A] · s = m/s oraz [B] · s ³ = m/s, skąd [A] = m/s ² i [B] = m/s ⁴ .

11. Przeliczenie miliarda złotych zajęłoby miliard sekund. Jeden rok trwa 3,156·10 ⁷ s ≈ π ·10 ⁷ s. Przeliczenie 10 ⁹ złotówek trwałoby 10 ⁹ /(π ·10 ⁷ ) ≈ 32 lata, ale nie można liczyć bez przerwy (24 godziny na dobę). Zakładając, że na przeliczanie pieniędzy można poświęcić 1/3 każdej doby, trwałoby to ponad 95 lat.

12. (a) Niech n — liczba skurczów serca na minutę. Średni wiek życia Polaka to około 70 lat. Zatem liczba skurczów N = 70 · 365 · 24 · 60 · n = 3,7 · 10 ⁷ · n. Przyjmując n = 90 mamy N ≈ 3 · 10 ⁹ .

13. (a) Dla promienia r = 6,37 · 10 ⁶ m otrzymujemy obwód kuli l = 2πr = 4,00 · 10 ⁷ m = 4,00 · 10 ⁴ km, pole powierzchni S = 4πr ² = 5,10 · 10 ¹⁴ m ² = 5,10 · 10 ⁸ km ² oraz objętość V = ⁴ ₃ πr ³ = 1,08 · 10 ²¹ m ³ = 1,08 · 10 ¹² km ³ . (b) Liczba atomów N = m Ziemi /m atomu ∼ 8,8 · 10 ⁴⁹ . (c) Masa cząsteczki wody m H

₂

O = 18 u = 2,9 · 10 ⁻²⁶ kg. Liczba cząsteczek N = m c /m H

₂

O ∼ 70/(2,9 · 10 ⁻²⁶ ) = 2,4 · 10 ²⁷ .

14. Objętość folii V = Sh, gdzie h = 1 µm = 10 ⁻⁶ m — grubość. Z drugiej strony V = m/ρ = 27,32 g/(19,32 g/cm ³ ) = 1,414 cm ³ = 1,414 · 10 ⁻⁶ m ³ . Zatem powierzchnia folii S = V /h = m/(ρh) = 1,414 m ² . Objętość drucika V = m/ρ = πr ² l, gdzie r = 2,5 · 10 ⁻⁶ m. Stąd l = V /(πr ² ) = m/(ρπr ² ) = 7,201 · 10 ⁴ m.

15. Objętość i powierzchnia jednego ziarnka o średnicy d to odpowiednio V ₀ = πd ³ /6, S ₀ = πd ² . Liczba ziarenek o łącznej powierzchni S = 6a ² to N = S/S ₀ , zaś ich łączna masa m = N ρV ₀ = ρa ² d. Dla a = 1 m, d = 5 · 10 ⁻⁵ m i ρ = 2,6 · 10 ³ kg/m ³ otrzymujemy m = 0,13 kg.

16. Objętość Wszechświata V = ⁴ ₃ πR ³ , gdzie promień Wszechświata R = cT i T ∼ 15 · 10 ⁹ lat — wiek Wszechświata.

Mamy R = 3 · 10 ⁸ · 15 · 10 ⁹ · 365 · 24 · 3600 m ≈ 1,4 · 10 ²⁶ m, skąd V = 1,1 · 10 ⁷⁹ m ³ . Liczba barionów we Wszechświecie N b = V · 0,4 = 4,4 · 10 ⁷⁸ . Gęstość masy barionowej ρ b = M b /V = m p · (N b /V ) = 1,67 · 10 ⁻²⁷ · 0,4 = 6,7 · 10 ⁻²⁸ [kg/m ³ ].

17. Dla wybranych wartości otrzymujemy: (a) α ⁰ = 0, α = 0, sin(α) = 0, tan(α) = 0; (b) = α ⁰ = 10, α ≈ 0.1745329252, sin(α) ≈ 0.1736481777, tan(α) ≈ 0.1763269807; (c) α = 20, α ⁰ ≈ 0.3490658504, sin(α) ≈ 0.3420201433, tan(α) ≈ 0.3639702343.

18. Dług zmniejsza się co miesiąc, zatem K/n złotych pożyczono na 1 miesiąc, kolejne K/n — na 2 miesiące, a ostatnie K/n — na n miesięcy. Odsetki do spłacenia od sumy K/n złotych pożyczonej na m miesięcy to (mK/n)(p/1200); po zsumowaniu tego ciągu arytmetycznego (m = 1, . . . , n) otrzymujemy łączne odsetki (zysk banku) z = (n+1)Kp/2400.

Jedna rata to R = (K + z)/n. (W rzeczywistości banki mogą stosować inne sposoby naliczania rat — zależy to od

szczegółowych warunków umowy.)

(2)

19. Niepewność bezwględna okresu obrotu pulsara ∆T = 3 · 10 ⁻¹⁴ ms, zaś niepewność względna δT = ∆T /T ≈ 2 · 10 ⁻¹⁴ . W ciągu tygodnia pulsar wykonuje 24 · 60 · 60 · 10 ³ /T = 388238218,193051 ± 8 obrotów. Czas wykonania 10 ⁶ obrot˘w t _m = 10 ⁶ T = 1557,80644887275 ± 3 s. Niepewność bezwględna ∆t _m = 10 ⁶ ∆T , niepewność względna δt _m = δT (nie ulega zmianie przy mnożeniu przez stałą).

20. (a) Dokładniejsza średnia liczba sekund w roku to 365,25 · 24 · 3600 s, zatem niepewność względna oszacowania wynosi 0,45%.

Wrocław, 16 X 2007 W. Salejda, M.H. Tyc & K. Tarnowski

ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI Lista I

ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI Lista I

Wydział IŚ, kierunek: IŚ Metodologia fizyki

R O Z W I Ą Z A N I A Z A D A Ń

1. Gęstość ołowiu (nie lodu) ρ = 1, 13 · 10 g/cm 3 . Wyrażając gram przy użyciu innych jednostek otrzymujemy 1 g = 10 −3 kg = 10 6 µg = 10 9 ng = 10 −6 ton, natomiast dla centymetra mamy 1 cm = 10 −2 m = 10 7 µm = 10 4 µm = 10 −5 km.

Zatem ρ = 1,13 · 10g/cm 3 = 1,13 · 10 · 10 −3 kg/(10 −2 m) 3 = 1,13 · 10 −2 /10 −6 kg/m 3 = 1,13 · 10 4 kg/m 3 . Analogicznie ρ = 1,13 · 10 −14 µg/nm 3 = 1,13 · 10 −2 ng/µm 3 = 1,13 · 10 10 ton/km 3 .

2. Wymiary stałych: [G] = kg −1 m 3 s −2 , [h] = kg m 2 s −1 , [c] = m s −1 . Jednostka długości Plancka L P = G α h β c γ , ma wymiar [L] = kg −α m 3α s −2α kg β m 2β s −β m γ s −γ . Wymiarem powinien być metr, zatem −α + β = 0, 3α + 2β + γ = 1,

−2α − β − γ = 0. Otrzymujemy α = β = 1 2 , γ = − 3 2 , czyli L P = pGh/c 3 ≈ 4 · 10 −35 m. Jednostkę czasu łatwo otrzymamy z zależności L P = cT P : T P = pGh/c 5 ≈ 10 −43 s.

3. Jeżeli A i B mają różne wymiary, sensowne są tylko działania A/B i A · B; jeżeli A i B mają identyczne wymiary, wszystkie działania są sensowne.

4. Wiadomo, że [ω] = [1/t] = 1/s, [Aω] = m/s, a argument funkcji sinus musi być bezwymiarowy: [pk/m t] = 1, skąd [A]/s = m/s i ([k]/kg) 1/2 · s = 1. Zatem [A] = m, [k] = kg/s 2 .

5. Monowarstwa oleju tworzy walec o objętości V = πr 2 d = m/ρ, gdzie d — średnica molekuły oleju, r — promień walca. Zatem d = m/(ρπr 2 ) = 9 · 10 −7 /[918π · ( 1 2 · 0,418) 2 ] ≈ 7 · 10 −9 m.

7. (a) Długości wektorów to A = |A| = √

71, B = |B| = √

21, C = |C| = √

8. Wymiary obu stron równości v = k · a α · s β muszą być takie same. Wymiar prawej strony [k · a α · s β ] = [k] · [a] α · [s] β = 1 · (m/s 2 ) α m β = m α+β s −2β , a lewej [v] = m s −1 . Porównujemy: −2β = −1 i α + β = 1, skąd β = 1 2 , α = 1 2 .

9. Wymiary występujących we wzorze wielkości: [T ] = s, [k · ρ n · G m ] = (kg/m 3 ) n (m 3 /s 2 kg) m . Zatem s = s −2m , m 0 = m −3n+3m , kg 0 = kg n−m , skąd m = n = − 1 2 . Zatem T = k/ √

Gρ (w rzeczywistości k = √ 3π).

10. (a) Sprawdzenie: [v 2 /2a] = (m/s) 2 /(m/s 2 ) = m = [x]; [at/2] = m/s 2 · s = m/s 6= m = [x]; [p2x/a] = pm/(m/s 2 ) = s = [t]. (b) Wymiary składników sumy muszą być równe wymiarowi wyniku: [At] = [Bt 3 ] = m/s, więc [A] · s = m/s oraz [B] · s 3 = m/s, skąd [A] = m/s 2 i [B] = m/s 4 .

12. (a) Niech n — liczba skurczów serca na minutę. Średni wiek życia Polaka to około 70 lat. Zatem liczba skurczów N = 70 · 365 · 24 · 60 · n = 3,7 · 10 7 · n. Przyjmując n = 90 mamy N ≈ 3 · 10 9 .

O = 18 u = 2,9 · 10 −26 kg. Liczba cząsteczek N = m c /m H

O ∼ 70/(2,9 · 10 −26 ) = 2,4 · 10 27 .

15. Objętość i powierzchnia jednego ziarnka o średnicy d to odpowiednio V 0 = πd 3 /6, S 0 = πd 2 . Liczba ziarenek o łącznej powierzchni S = 6a 2 to N = S/S 0 , zaś ich łączna masa m = N ρV 0 = ρa 2 d. Dla a = 1 m, d = 5 · 10 −5 m i ρ = 2,6 · 10 3 kg/m 3 otrzymujemy m = 0,13 kg.

16. Objętość Wszechświata V = 4 3 πR 3 , gdzie promień Wszechświata R = cT i T ∼ 15 · 10 9 lat — wiek Wszechświata.

Mamy R = 3 · 10 8 · 15 · 10 9 · 365 · 24 · 3600 m ≈ 1,4 · 10 26 m, skąd V = 1,1 · 10 79 m 3 . Liczba barionów we Wszechświecie N b = V · 0,4 = 4,4 · 10 78 . Gęstość masy barionowej ρ b = M b /V = m p · (N b /V ) = 1,67 · 10 −27 · 0,4 = 6,7 · 10 −28 [kg/m 3 ].

17. Dla wybranych wartości otrzymujemy: (a) α 0 = 0, α = 0, sin(α) = 0, tan(α) = 0; (b) = α 0 = 10, α ≈ 0.1745329252, sin(α) ≈ 0.1736481777, tan(α) ≈ 0.1763269807; (c) α = 20, α 0 ≈ 0.3490658504, sin(α) ≈ 0.3420201433, tan(α) ≈ 0.3639702343.

Jedna rata to R = (K + z)/n. (W rzeczywistości banki mogą stosować inne sposoby naliczania rat — zależy to od

szczegółowych warunków umowy.)

20. (a) Dokładniejsza średnia liczba sekund w roku to 365,25 · 24 · 3600 s, zatem niepewność względna oszacowania wynosi 0,45%.

Wrocław, 16 X 2007 W. Salejda, M.H. Tyc & K. Tarnowski

1. Gęstość ołowiu (nie lodu) ρ = 1, 13 · 10 g/cm ³ . Wyrażając gram przy użyciu innych jednostek otrzymujemy 1 g = 10 ⁻³ kg = 10 ⁶ µg = 10 ⁹ ng = 10 ⁻⁶ ton, natomiast dla centymetra mamy 1 cm = 10 ⁻² m = 10 ⁷ µm = 10 ⁴ µm = 10 ⁻⁵ km.

Zatem ρ = 1,13 · 10g/cm ³ = 1,13 · 10 · 10 ⁻³ kg/(10 ⁻² m) ³ = 1,13 · 10 ⁻² /10 ⁻⁶ kg/m ³ = 1,13 · 10 ⁴ kg/m ³ . Analogicznie ρ = 1,13 · 10 ⁻¹⁴ µg/nm ³ = 1,13 · 10 ⁻² ng/µm ³ = 1,13 · 10 ¹⁰ ton/km ³ .

−2α − β − γ = 0. Otrzymujemy α = β = ¹ ₂ , γ = − ³ ₂ , czyli L _P = pGh/c ³ ≈ 4 · 10 ⁻³⁵ m. Jednostkę czasu łatwo otrzymamy z zależności L P = cT P : T P = pGh/c ⁵ ≈ 10 ⁻⁴³ s.

4. Wiadomo, że [ω] = [1/t] = 1/s, [Aω] = m/s, a argument funkcji sinus musi być bezwymiarowy: [pk/m t] = 1, skąd [A]/s = m/s i ([k]/kg) ^1/2 · s = 1. Zatem [A] = m, [k] = kg/s ² .

5. Monowarstwa oleju tworzy walec o objętości V = πr ² d = m/ρ, gdzie d — średnica molekuły oleju, r — promień walca. Zatem d = m/(ρπr ² ) = 9 · 10 ⁻⁷ /[918π · ( ¹ ₂ · 0,418) ² ] ≈ 7 · 10 ⁻⁹ m.

9. Wymiary występujących we wzorze wielkości: [T ] = s, [k · ρ ⁿ · G ^m ] = (kg/m ³ ) ⁿ (m ³ /s ² kg) ^m . Zatem s = s ^−2m , m ⁰ = m ^−3n+3m , kg ⁰ = kg ^n−m , skąd m = n = − ¹ ₂ . Zatem T = k/ √

12. (a) Niech n — liczba skurczów serca na minutę. Średni wiek życia Polaka to około 70 lat. Zatem liczba skurczów N = 70 · 365 · 24 · 60 · n = 3,7 · 10 ⁷ · n. Przyjmując n = 90 mamy N ≈ 3 · 10 ⁹ .

O = 18 u = 2,9 · 10 ⁻²⁶ kg. Liczba cząsteczek N = m c /m H

O ∼ 70/(2,9 · 10 ⁻²⁶ ) = 2,4 · 10 ²⁷ .

16. Objętość Wszechświata V = ⁴ ₃ πR ³ , gdzie promień Wszechświata R = cT i T ∼ 15 · 10 ⁹ lat — wiek Wszechświata.

17. Dla wybranych wartości otrzymujemy: (a) α ⁰ = 0, α = 0, sin(α) = 0, tan(α) = 0; (b) = α ⁰ = 10, α ≈ 0.1745329252, sin(α) ≈ 0.1736481777, tan(α) ≈ 0.1763269807; (c) α = 20, α ⁰ ≈ 0.3490658504, sin(α) ≈ 0.3420201433, tan(α) ≈ 0.3639702343.