ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI I Lista II WPPT/FT/IB Elementy rachunku wektorowego i różniczkowego

ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI I Lista II WPPT/FT/IB Elementy rachunku wektorowego i różniczkowego

Physics makes you think

Są to zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązywania przez studentów. Stanowią uzupełnienie zadań rozwiązywanych na ćwiczeniach.

*1. (a) Dwa punkty leżące na płaszczyźnie mają współrzędne kartezjańskie: (2, −4), (−3, 3) (w jednostkach SI). Wyznaczyć odległość pomiędzy nimi oraz ich współrzędne biegunowe. (b) Współrzędne biegunowe punktu na płaszczyznie są równe r = 5,5 m i θ = 240 ^◦ . Obliczyć jego współrzędne kartezjańskie. (c) Jeśli współrzędne biegunowe punktu (x, y) są (r, θ), to ile wynoszą współrzędne biegunowe punktów: (−x, y), (−2x, −2y), (3x, −3y)?

2. Samolot leci od miasta A 200 km na wschód do miasta B, a następnie pod kątem 30 ^◦ do kierunku wschód–zachód przelatuje jeszcze 300 km do miasta C. Jaka jest odległość w linii prostej pomiędzy A i C? W jakim kierunku względem A jest położone miasto C?

*3. Pewna osoba przespacerowała się po półokręgu o promieniu R = 20 m. Wyznaczyć wektor przesunięcia tej osoby oraz jego długość. Określić długość przebytej drogi. Obliczyć wektor przesunięcia w przypadku, gdy spacerowicz obejdzie cały okrąg.

4. Chłopiec przebiegł 30 m na północ, 40 m w kierunku północno–wschodnim oraz 50 m na zachód. Wyznaczyć długość i kierunek wektora przesunięcia w tym ruchu.

5. Punkt A na rysunku jest dowolnym punktem linii łączącej dwa leżące na płaszczyźnie punkty o współrzędnych:

(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ). Pokazać, że współrzędne A są równe ((1 − f)x ¹ + fx 2 , (1 − f)y ¹ + fy 2 ).

- x 0

y 6

  

r r

r

(x 1 , y 1 ) A

(x 2 , y 2 )

Zadanie 5

- x 0

y 6

6 A

B 

@ @

@ C R

45 ^◦ 45 ^◦ Zadanie 6

60 ^◦ 75 ^◦       7

F 2 = 120 N

C C CO C F 1 = 80 N

Zadanie 7

*6. Trzy wektory są zorientowane jak na rysunku, gdzie |A| = 20 m, |B| = 40 m, |C| = 30 m. Wyznaczyć składowe oraz długość, kierunek i zwrot wektora wypadkowego.

7. Widok z lotu ptaka dwóch osiłków ciągniących zwierzę i działających na nie wskazanymi siłami jest przedstawiony na rysunku. Z jaką wypadkową siłą działają oni na zwierzę?

8. Punkt leżący na płaszczyźnie XY i mający współrzędne (x, y) można przedstawić jako punkt końcowy wektora r = xi + yj. Pokazać, że wektor przesunięcia cząstki, która przemieściła się od (x 1 , y 1 ) do (x 2 , y 2 ) jest wektorem d = (x 2 − x ¹ )i + (y 2 − y ¹ )j. Narysować wektory r 1 oraz r 2 i zweryfikować graficznie, że d = r 2 − r ¹ .

*9. Wykaż, że w prostokątnym układzie współrzędnych zachodzą dla wersorów związki: (A) ˆi · ˆi = ˆj · ˆj = ˆ k · ˆk = 1 oraz ˆi· ˆj = ˆi· ˆ k = ˆ k · ˆj = 0. (B) ˆi׈i = ˆj ׈j = ˆ k × ˆ k = 0 oraz ˆi׈j = ˆ k, ˆ k ׈i = ˆj, ˆj × ˆ k = ˆi.

*10. Pokazać, że: (A) A · B = A x B x + A y B y + A z B z ; (B) A × B =      

i j k A x A y A z

B x B y B z

      .

*11. Z podanych wyrażeń wybierz te, które są poprawne: (A) A·B·C; (B) A+(B·C); (C) 5+(B·C); (D) (B·C+(B×C).

*12. Dla wektorów A = 4i + 3j i B = −i + 3j znaleźć: (a) A · B, (b) kąt pomiędzy wektorami.

*13. Wektory A i B są zaczepione w początku układu odniesienia i mają współrzędne biegunowe równe odpowiednio (r 1 , θ 1 ) i (r 2 , θ 2 ). Obliczyć A · B.

14. Obliczyć kąty pomiędzy wektorami: (a) A = 3i − 2j = (3, −2) i B = 4i − 4j = (4, −4), (b) A = 3i + kj + 2k = (3, 1, 2) i B = i − 2j + 3k = (1, −2, 3).

15. Obliczyć iloczyn wektorowy oraz kąt pomiędzy wektorami: (a) A = 3i − 2j = (3, −2) i B = 4i − 4j = (4, −4), (b) A = 3i + j + 2k = (3, 1, 2) i B = i − 2j + 3k = (1, −2, 3).

16. Jeśli |A × B| = A · B, to jaki kąt tworzą wektory A i B?

*17. Pewien student twierdzi, że znalazł wektor A taki, że (2i − 3j + 4k) × A = (4i + 3j − k). Czy można mu wierzyć?

*18. Obliczyć pochodne: (a) (d/dt)(x 0 +v 0 t+ ¹ ₂ at ² ), gdzie x 0 , v 0 , a — stałe; (b) (d ² /dt ² )(x 0 +v 0 t+ ¹ ₂ at ² ), gdzie x 0 , v 0 , a — stałe; (c) (d/dt)A sin(2πt/T ), gdzie A, T — stałe; (d) (d ² /dt ² )A sin(2πt/T ), gdzie A, T — stałe; (e) (d/dx) √

x ² + a ² , gdzie a — stała; (f) (d ² /dx ² ) √

x ² + a ² , gdzie a — stała.

Wrocław, 6 X 2005 W. Salejda, A. Klauzer-Kruszyna & M.H. Tyc