ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI Lista IV Wydział Inżynierii Środowiska/kierunek: IŚ Kinematyka ruchu dwuwymiarowego
Physics makes you think
Na ćwiczeniach w pierwszej kolejności będą rozwiązywane zadania oznaczone gwiazdką. Pozostałe są przeznaczone do samodziel- nego rozwiązywania przez studentów i będą, jeśli czas na to pozwoli, krótko omawiane na zajęciach. Prowadzący zajęcia wskazuje studentów, którzy w ramach pracy domowej przygotowywują pisemne rozwiązania wybranych zadań z gwiazdką.
*1. Dwaj pływacy Donek i Olek skaczą jednocześnie do rzeki, w której woda płynie z prędkością v. Prędkość c (c > v) każdego pływaka względem wody jest taka sama. Donek przepływa z prądem odległość L i zawraca do punktu startu.
Olek płynie prostopadle do brzegów rzeki (pomimo znoszącego go prądu) i oddala się na odległość L, po czym zawraca do punktu startu. Który z nich wróci pierwszy?
*2. Euzebiusz Smolarek stojąc na skale w kształcie półkuli o promieniu R kopie poziomo piłkę z prędkością początkową v0. Jaka wartość prędkości początkowej zapewnia, że piłka nie uderzy w skałę? W jakiej odległości od skały upadnie wtedy piłka? Wskazówka: W każdym punkcie (x, y) toru piłki warunek zadania jest spełniony, o ile x2+ y2> R2.
*3. Sterowiec porusza się na wysokości H = 2000 m w kierunku poziomym z prędkością u = 20 m/s. Ze sterowca wyrzucono kulkę metalową, nadając jej poziomą prędkość początkową v = 5 m/s (względem sterowca) w chwili, gdy przelatywał on nad wierzchołkiem masztu stacji radiowej stojącego na płaskim terenie. Jak daleko od masztu upadła kulka?
Jaki był czas ruchu kulki? Wyznaczyć wektor prędkości v1, wysokość H, przyspieszenie całkowite a oraz składową styczną asprzyspieszenia kulki po czasie t = 3 s od momentu jej wyrzucenia ze sterowca. Opory powietrza zaniedbać.
Jak zależy promień krzywizny toru kulki od czasu? Przyjąć g = 10 m/s2.
*4. Jacek Krzynówek wykonujący rzut wolny z punktu leżącego na wprost bramki, w odległości 50 m od niej, nadaje piłce prędkość początkową o wartości 25 m/s. Wyznacz zakres kąta, pod jakim powinna zostać uderzona piłka, aby strzał trafił do bramki. Poprzeczka bramki znajduje się na wysokości 3,44 m nad boiskiem.
*5. Strzelba jest wycelowana w cel wiszący na wysokości H. W tej samej chwili pada strzał i cel zaczyna swobodnie spadać. Pokazać, że kula trafi w cel. W jakiej odległości od strzelby należy umieścić cel, aby kula weń nie trafiła?
*6. Ciało rzucił z prędkością początkową v0 pod kątem ϑ względem poziomu zawodnik stojący u podnóża wzniesienia o kącie nachylenia ϕ < ϑ. Pokazać, że ciało przebędzie odległość d = 2v20cos ϑ sin(ϑ − ϕ)/(g cos2ϕ), mierzoną wzdłuż wzniesienia.
7. Cząstka startuje z punktu, będącego początkiem układu współrzędnych, z prędkością początkową v = (3i) m/s i sta- łym przyspieszeniem a = (−1i − 0,5j) m/s2. Wyznacz: (a) prędkość, (b) wektor położenia cząstki w chwili, gdy współrzędna x cząstki jest największa.
8. Prędkość cząstki poruszającej się w płaszczyźnie xy wynosi v = (vx, vy) = (D, Bx), gdzie x — odcięta wektora położenia r = (x, y), a B i D — stałe współczynniki. Wyznaczyć parametryczne równania toru oraz równanie toru cząstki, tj. zależność y(x).
9. Parametryczne równania ruchu ciała mają postać: x(t) = v0t cos α, y(t) = v0t sin α −12gt2. Co to za ruch? Wyznaczyć:
(a) przyspieszenie styczne i normalne w dowolnej chwili t; (b) zależność krzywizny toru od czasu.
10. Położenie cząstki zależy od czasu jak r(t) = A cos(ωt)i + A sin(ωt)j, gdzie A i ω — stałe. Znaleźć: tor ruchu, prędkość, szybkość i przyspieszenie. Pokazać, że a = −ω2r= −v2br/r (br oznacza wektor jednostkowy o kierunku wektora r).
11. Tarcza o promieniu R obraca się ze stałą prędkością kątową Ω. Ze środka tarczy wyruszyła biedronka i idzie wzdłuż promienia ze stałą prędkością v0. Wyznaczyć: (a) równanie toru biedronki we współrzędnych biegunowych i karte- zjańskich; (b) zależność od czasu prędkości transwersalnej i radialnej; (c) zależność od czasu wektora przyspieszenia oraz jego składowych: radialnej i transwersalnej oraz normalnej i stycznej; (d) promień krzywizny toru ̺(t).
12. Prędkość v cząstki, poruszającej się w płaszczyźnie xy, jest dana (w jednostkach SI) wyrażeniem v = (6t − 4t2)i + 8j, gdzie t > 0. (a) Wyznacz przyspieszenie cząstki w chwili t = 3 s. (b) Czy w jakiejś chwili przyspieszenie cząstki jest równe zeru? (c) Czy w jakiejś chwili prędkość cząstki jest równa zeru? (d) Czy w jakiejś chwili, a jeśli tak, to w której, prędkość cząstki ma wartość 10 m/s?
13. Położenie cząstki w funkcji czasu opisuje zależność r(t) = bti + (c − dt2)j, gdzie b = 2 m/s, c = 5 m, d = 1 m/s2. Wyrazić y jako funkcję x oraz naszkicować tor cząstki (tj. wykres y(x)). Wyznaczyć wektor prędkości. Dla jakiego t wektor prędkości jest prostopadły do wektora położenia?
Wrocław, 16 X 2007 W. Salejda, M.H. Tyc & K. Tarnowski
