R O Z D Z I A L I I . P I E R S C I E N I E
W rozdziale tym i w nast?pnych zaktadamy o pierscieniach, te s$ prze- mienne i maj<j jedynk? (ktdra moie bye rowna 0). Podpierscienie zawie- raj^ jedynfc? pierscienia. Homomorfizmy pierscieni zachowujq jedynki.
Wszelkie odst?pstwa od tej umowy b?d^ zaznaezane w zadaniach.
Monomorfizm oznaeza homomorfizm, ktory jest roinowartosciowy, a epimorfizm — homomorfizm, ktory jest „na” .
§ 1. Pierscien, podpierscien, homomorfizm
Ktore z podanych zbiorow iiczb s^ pierscieniami ze wzgl?du na zwykfe dziaiania dodawania i mnoZenia Iiczb:
a) liezby naturalne,
b) liezby calkowite podzielne przez 2 lub 3, c) liezby postaci a + b\ 2, gdzie a, b calkowite,
. . . . a
d) liezby wymieme, ktore dajq si? przedstawic w postaci gdzie a, k s£> calkowite, k > 0,
e) liezby postaci a + b\ 2, gdzie a , b calkowite,
f) liezby postaci a + be, gdzie a, b calkowite, e3 = 1, e # 1?
W zbiorze Iiczb rzeczywistych dodatnich wprowadzic dzialanie dwu- argumentowe » w taki sposob, aby zbior ten wraz ze zwyklym dziala- niem mnoienia jako dodawaniem oraz z dzialaniem o jako mnoieniem stanowil pierscien.
^ Ktdre z podanych zbiorow funkcji okreSlonych w przedziale <0, 1) i przyjmuj^cych wartosci rzeczywiste S4 pierscieniami ze wzgl?du na zwykle dziaiania dodawania i mnoienia funkcji:
27
a) funkcje ci^gte w <0, 1),
b) funkcje wielomianowe, ktorych wyraz wolny jest liczbq calkowitq, c) funkcje, dla ktorych /( y ) = 0,
d) funkcje, dla ktorych /(0 ) = /( l) ,
e) funkcje, dla ktorych istnieje takie k calkowite, i t 2*/(0) = /(!)?
(Q Niech P b?dzie zbiorem wszystkich przeksztalceri Z -* Z. Dla / , g e P zdefiniujmy element f + g wzorem (f+g)(k) = f(k)+g(k), a element /■ g zdefiniujmy jako superpozycj?/° g. Czy P jest pierscieniem ze wzgl?du
na te dzialania?
Czy istnieje pierscieri P oraz jego element a e P takie, by P - {a}
by! podpierscieniem ?
6. Niech k b?dzie iiczb^ calkowit^, a Z lk) zbiorem tych liczb wymier- nych, ktore moina zapisac w postaci— , gdzie n i m sq liczbami calkowi-
m
tymi i m nie jest podzielne przez k. Dla jakich liczb k zbior Za) jest pod
pierscieniem w 2 ?
7. Niech P i . p i , ...,p« b?dq pewnymi liczbami pierwszymi. Udowod- nic, i t zbior liczb wymiernych ~ takich, i t zadna z liczb pt nie dzieli m, jest podpierscieniem pierscienia Q.
8. Niech {/*, }je/ b?dzie rodzinq pierscieni z dzialaniami -ff oraz w pierScieniu Pt . Udowodnid, i t iloczyn kartezjariski zbiorow P{ z dziala
niami
( f l f ) i e j + ( b i)l£ ! ~ ( a i + i b | ) i e l .
( f i i j i e ] ' ( f i l ) i e l =
jest pierscieniem. Pierscieri ten nazywa si? produktem rodziny pierscieni Pt . Oznacza si? go symbolem [] P,. Produkt skoriczonej rodziny pierscieni
ifl
P i, Pi t .... P„ zapisujemy rowniei w postaci P , x P 2x ... x P n.
9. Znalezc wszystkie podpierscienie pierscienia Z 2 x Z2 x Z 2.
10. Ktore z podanych pierscieni majq dzielniki zera, rdine od 0:
a) pierscieri funkcji cisjgtych w przedziale < 0 ,1>, b) dowolny podpierscieri ciata liczb zespolonych,
' a b 1
c) pierscieri macierzy . I, a, h f. R. wzgl?dem zwyklego dodawania 0 a\
i mnoienia macieizy, 28
[ a *1
d) pierscien mac terry | ^ \ , a , b e R wzglfdem zwyktego dodawa- nia i rrmolenia macierzy,
e) produkt dwoch pierscieni niezerowych?
II) Znalezc w pierscieniu Z 10 rozwiqzania ukladu rownari x +y = 3,
x —y = 1.
12. V jest przestrzeniq liniouq dwuwymiarowq nad R. He rozwiazari ma rownanie X 2 —X = 0 w pierscieniu endomorfizmow przestrzeni V (czyli w pierscieniu macierzy 2 x 2 nad R) ?
13. Wyznaczyc elementy odwracalne w pierscieniu a) z\\f
—
5j.b)* z\\‘l\, c) Z[X] (pierscien wielomianow a0+arX+ ... + a„X", a, e Z).
14. n jest liczby nieparzyst^ > 1. Znalezc element odwrotny do 2 w pierscieniu Z„.
15. Podac przyklad takiej pary pierscieni R i S, 2e R a S. R nie ma dzielnikow zera, S ma dzielniki zera.
16. PL jest podpierscieniem P2, a e P it a jest dzielnikiem zera w P2 ■ Czy st^d wynika, Ze a jest dzielnikiem zera w P , ?
17. Dla kaidej liczby naturalnej (a takze kardynalnej) n wskazac pier- fcien, ktory ma co najmniej n elementow i ktorego wszystkie elementy poza 0 i 1 dzielnikami zera.
18. Wykazac, te jezeli pierscien P jest skoriczony, u e P, to u jest odwracalny •*> i f = 1 dla pewnej liczby naturalnej n.
19. Wskazac wszystkie z dokladnoscia do izomorfizmu ciala, ktore nie maj<i podpierscieni wlasciwych.
20. Niech RR b^dzie pierscieniem funkcji rzeczywistych na prostej R'.
a W jego podpierscieniem generowanym przez funkcje stale oraz funkcj?
/ (jc) = x. Jak nazywaj^ si? elementy pierscienia W1
21. Wykazad, Ze kaZdy podpierscien P ciala Q skoriczenie generowany nad Z moie bye przedstawiony w postaci Z |
j,
n — liezba naturalna.22. Cialo K jest podpierscieniem pierscienia K" = K x K x ... x K
ft
(przek^tna). Wykazac, ie jesli cialo K jest nieskonezone, to pierscien Kn jest generowany nad K przez pojedynezy element. Wskazac taki element.
29
23. Niech K bqdzie cialem m-elementowym. Wykazac, te pierscien K"
jest generowany nad K przez pojedynczy element wtedy i tylko wtedy, gdy n < m.
'24. Niech Pi , P2 b?da pierscieni ami, a H pewnym zbiorem homomor- 'X fizmow P, -* P2- Zbior W <= Px jest opisany przez warunek:
p e W o wszystkie elementy H przyjmujq w p t? sama wartosc.
Udowodnic, ze W jest podpierseiemem.
25. Wykazac, ze nie istnieje homomorfizm pierscieni h: Z [ j' 2] —► - Z W 3].
26. Automorfizmem pierscieni a P nazywamy izomorfizm P na P. Wy
kazac, ze jedynym automorfizmem pierscieni a Z2 x Z , jest toisamoSc.
27* Podac przyklad pierscienia P o tcj wlasnosci, ze nie istnieje homo
morfizm z [y ] -* P.
28. Niech P bydzie pierscieniem, a F cialem prostym. Udowodnic, ze istnieje co najwvZej jeden homomorfizm F P.
29. Niech P bydzie pierscieniem niezerowym. Wykazac rownowaznosc nastepujacych warunkow:
1° P zawiera podpierscieh izomorficzny z Q, 2° istn eje homomorfizm Q w P,
3° dla kazdej liczby penvszej p element p • 1 jest odwracalny w P, 4“ dla kazdej liczby naturalnej n element n ■ 1 jest odwracalny w P.
Pierscien spetniajacy le warunki nazywamy Q-algebrq.
§ 2. Pierscien wielomianow, pierscien szeregow formalnych 1. Czy jest podpierscieniem piersciema Z[X] zbior wielomianow a) w ktorych wyraz wolny jest podzielny przez 7,
b) w ktorych suma wspolczynnikow jest 0, c) takich, ze /(5) jest podzielne przez 5, d) w ktorych wspolczynnik przy X jest 0,
e) w ktorych wspdlczynniki przy nieparzystych pot^gach X sa zerowe, f) postaci 1 + (X2 + 1).?, gdzie g jest dowminym wielomsanem z Z[X], g) postaci 2 / +( X2+l)g, gdzie f , g e Z[X],
h) postaci X • / + ( X2 +1 )g, gdzie / , g e Z[X] ? 30
2. Wykazac, ie pierscieri P[X] wielomianow jednej zmiennej o wspdf- czynnikach w P nie ma dzielnikow zera wtedy i tylko wtedy, gdy P nie ma dzielnikow zera.
3*. Wykazac, ze jesli wielomian / e P[X], gdzie P jest pierscieniem, jest dzielnikiem zera w P[X], to istnieje a e P, a # 0 , takie, ze a f = 0.
4. Wykazac, ie P1[X]xP2[X] =; (P, x P 2)[Jf].
5. Niech P b^dzie pierscieniem, G — grupy z dzialaniem *, P§ — zbio- rem przeksztalceri G -* P rownych prawie wsz?dzie 0. Jezeli a e G, to przez a oznaczmy przeksztaicenie G -* P dane wzorem
Wykazac, ie w zbiorze P j istnieje dokladnic jedna struktura pierScienia (na ogol nieprzemiennego) z dziataniami © i O taka, ie
i f ® g) (<*) = f(o)+g(a) dla f , g e Pg, a e G,
Pierscieri ten nazywamy algebrq grupowq grupy G nad pier&cieniem P i oznaczamy PtCK1).
Ponizej dzialania w pierscieniu P[G] b^dziemy oznaczali zwykfymi symbolami + i
Wykazac, ze pierscieri P[G] jest przemienny wtedy i tylko wtedy, gdy grupa G jest grupy przemienny. Udowodnii, ie zbior {tr}^ generuje pierscieri P[G] nad P i kaidy element tego pierscienia moie bye zapisany w postaci a la l +a2b 2+ ... +ana,, gdzie a, e P, a ^ G .
6. a) Niech G b^dzie grupy cykliczny rz?du n. Udowodnic, ie algebra grupowa Q[G] jest cialem izomorfieznym z rozszerzeniem ciala Q o pier- wiastek pierwotny stopnia n z I.
b) Niech G = {..., X~2, A'-1, 1, X, X 1, ...} b?dzie grupy cykliczny nie- skonezony, a P dowolnym pierscieniem. Wykazac, ie pierscieri P[G] jest generowany nad P przez elementy X, X ~ l. Dowie££, ze oba jego podpier- scienie P[X] i P[X 1] sy izomorfiezne z pierscieniem wielomianow jednej zmiennej nad P. Pierscieri P[G] oznaczamy w tym przypadku przez P[X, 1IX}.
7. W pierscieniu szeregow formalnych P[[A']], gdzie P jest pierscieniem, wyznaczyc szeregi
(') Scislcj algebra grupowa nazywamy pierscieri P[G] wraz % zanurzeniem P -*
—*■ P[G]f a a * 1 .
1, gdy a = t, 0, gdy a ^ r.
a 0 r = a, x dla a , r e G.
31
a) c)
( ! - * ) • 2 * r , b) Z x n E ( " W n =0
{ ' - T x - T
n = 0 Ba0
— y 2 — ' ^ y3 _ * ^ ^ vw
4 2 - 4 - 6 2 - 4 - 6 - 8 gdy P = R.
8. Wyznaczyc szereg ( l+ 2 y ) " J w pierscieniu Z5[[A"]].
9. a) Niech P b^dzie dowolnym pierscieniem. Wykazac, ze szereg a0+ a i X + a 2X 2+ ... e P[[Jf|] jest elementem odwracalnym tego pierscie
nia wtedy i tylko wtedy, gdy a0 jest elementem odwracalnym pierscienia P.
b) Wywnioskowac st^d, ze szereg formalny n zmiennych o wspotczyn- nikach z data jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyraz wolny jest rozny od zera.
10. W pierscieniu A" [[A", k]] rozwazmy podpierscien K[A"][[k]], tj. pier- scien szeregow formalnych zmiennej Y o wspolczynnikach w K[X] oraz podpierscien A'[[kJ] [.V], tj. pierscieri wielomianow zmiennej X o wspol- czynnikach z A[ [k]]. Wykazac, Ae A"[[k]] [A1] 'y A'[A] [[>']].
11. Wykazac, ze pierscien Z 3 nie jest generowanv nad Z przez poje- dynczy element (por. 1,22).
12. Wykazad, ze pierscieri Z[T] x Z(7']me jest generowany nad Z przez pojedynczy element.
13. P jest pierscieniem. W pierscieniu /’[A'] rozwazamy podpierscien {w g P[X]\ n-(0) = w(l)}. Wykazac, ze jest to podpierscien skonczenie ge
nerowany nad P.
14. Dany jest homomorfizm pierscieni/ : P, — P2. Wykazac, Ae dla dowolnego ukladu c1( c2... c„ elementow pierscienia P2 istnieje doklad- nie jeden homomorfizm h: P, [A",, X 2, ..., A„] -» P2 taki, Ae
1) dla a e / ' i jest h(a) = f(a), 2) dla i = 1 ,2 , . . . , n jest /i(A,) = ct .
15. Podac przyktad pierscienia P oraz homomorfizmu Z[ X2] P, ktory nie przedluAa sig do homomorfizmu Z[X] P.
16. Wykazac, ze nie istnieje epimorfizm ZIA"] -+ Z[A\ V], 17. Wykazac, Ac nie istnieje epimorfizm Z[X] -+ Q.
18. Podac przyktad pierscienia P izomorficzncgo z pierscieniem P[A'J.
19. Opisac automorfizmy pierscienia Z[X].
20*. Obliczycliczb^automorfizmow pierscieniaZ„[A']dlan = 2, 3 ,... ,7.
32
21. Jsisli
p 11 P12 ••• Pin
Pit P*2 • * Pnn_
jest macierzq kwadratowq o wspolczynnikach z pierscienia P, to jej wy- znacznik detA e P definiujemy tak samo, jak w przypadku macierzy nad ciatem. Pokazac, ze
a) istnieje taka macierz A, 2c A • A = A >A - det/t • /, gdzie / jest macierzy jednostkowq,
b) macierz A jest odwracaJna z lewa ■«. det,4 jest elementem odwracal- nym o A jest odwracalna z prawa o A jest odwracalna.
22. Niech A = (pu) b^dzie macierzq n x n o wspolczynnikach z pier
scienia P takq, ze det.4 jest elementem odwracalnyin i niechp x, p 2, b$dq elementami pierscienia P. Pokazac, i s istnieje dokiadnie jeden auto- morfizm a pierscienia P[X...X„] taki, i s 1° a(c) = c dla c e P, 2° <x(Xi) =
ft
= Pt + S pijXj dla i = 1 , 2 , ..., n. Automorfizm tej postaci nazywamy liniowq nieosobliwq zamianq zmiermych. Wskazac dla n — 2 automorfizm, ktory nie jest liniowq nieosobliwq zamianq zmiennych.
§ 3. Dzielenie wielomianow, pierwiastki, pochodna wielomianu, funkcja wielomianowa
1. Wskazac wielomiany / , g e Z 6[X] takie, i s iloraz i reszta z dzielenia / przez g nie sq wyznaczone jednoznacznie.
2. Wyznaczyc iloraz i reszt^ z dzielenia wielomianu f przez g, gdy a) f (X) = SX3 +2X2 - X - 7, g(X) = X 2 + 3X~ 1 w Z[X], b) f { X ) = 5X3+2X2- X - 1 , g(X) = X 2+ 3 X ~ \ w Z S[X], c) f (X) = 3X*-2X+A, g(X) = X* +\ w Z[X).
3. Pomnozyc wielomian / przez odpowiedni element, a nastqpnie wy- znaczyc iloraz i reszt? przy dzieleniu przez g:
a) f ( X) = X * ~ 3X2 + 5, g(X) = 2X2 - 3X+ 1 w Z[X], b) f ( X) = X * - 3 X 2 + 5,' g{X) = I X 2 - 3 X + \ w Z6 [A"].
4. Wskazac przyklad takich wielomianow f , g e Z 6[AT], Ze przy dowol- nym a e Z 6 takim, i s a ■ /# 0 nie jest wykonalne dzielenie z resztq wielo-
2 Z b io r zadari z alg eb ry 33
mianu a ■ f przez g, tzn. nie istniejq q, r e Z 6[X], str < sty, spelniaj^ce 0‘f — q g + r .
5. Wielomian o wspolczynnikach rzeczywistych daje przy dzieleniu przez X —2 reszte 1, przy dzieleniu zas przez ^ - 1 daje reszte 2. Jakq reszte daje ten wielomian przy dzieleniu przez (X— I) (X—2) ?
6. Wielomian o wspolczynnikach z Z s daje przy dzieleniu przez X+]
reszte 2, przy dzieleniu przez X+2 — reszte 3, przy dzieleniu przez X + 3 — reszt? 1. Jakq reszte da ten wielomian przy dzieleniu przez ( X + 1) (X+2) x
x (A"+3)?
7. Wykazac, ze dla kazdego ciqgu wielomianow f 0 += 0, / , , / 2, e e K[X\t st/) = j oraz dowolnego wielomianu g e K[X], sty = n istnieja jednoznacznte wyznaczone elementy a0, ak, . . . , a„ e K takie, 2e g = a0f 0 +
+ ° l / l + +<*nfn-
8. Udowodnic nastepuj^ce twierdzenie (schema! Hornera):
Jeili f (X) - anX" + a„^l Xn~1 + ... + a1X + a 0 e P[X], a e P , to wspol- czynniki ilorazu b„.l X"~l + ... + b xX+b0 otrzymanego z dzielenia/ przez X — a spetniaj^ zaleinoSd: b , ^ l = aK, bk = ak+l+abk+t dla k = 0, 1, ...
2, reszta zas z tego dzielenia (rowna f(a)) jest rowna a0 + ab0.
9. Stosujqc schemat Hornera obliezye w C[X] iloraz i reszte z dzielenia a) X * - 2 X 1+4X2- 6 X + 8 przez X - l ,
b) 2XS - 5 X 3- B X przez X+3, c) 4X3+ X 2 przez X + \ + i , d) X 3- X 2- X przez A '- l+ 2 i.
10. Stosujqc schemat Hornera obliezye w Z S[X] iloraz i reszte z dzie- lenia
a) 2X* + 3X3+ X 2 + 2X+4 przez X + 2 t b) 3Xs +4X2 + 3 przez X+4.
11. W pierscieniu P[X] okreslamy roZniczkowanie wielomianow wedlug nastepuj^cej zasady: D\P[X] -* P[X] , /* -+ /', przy czym
1) (aXn)’ - n ■ aXn~1 dla n > 1, a e P, 2) a' = 0,
3) (a„X"+ +«o)' = («»**)'+ - +«o-
Wielomian / ' okreslony w ten sposob nazywamy pochodnq wielomianu f Wykazac, ze
a) (J+g)’ = f ' + g ' , b) ( f gy = / ' g + f - g \ c) (af)' = a ■/', gdy a e P .
^ 3 4
12. Niech K b?dzie cialem. Wyznaczyc wszystkie wielomiany z K[X], ktorych pochodna jest wielomianem zerowym.
13. Wykazac, ie je£ !i/jest wielomianem o wspolczynnikach w dowol- nym pierscieniu P i dla pewnego a s P jest /(c) = 0, to krotnosc pier- wiastka a jest wigksza od I f ‘{a) — 0.
14. Wykazac, te wielomian f e K[X] ma pierwiastki wielokrotne w pew- nym rozszerzeniu ciala K wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wspolny dzielnik wielomiandw / i / ' b?d^cy wielomianem stopnia dodatniego o wspolczyn
nikach z K.
15. Wykazad, ie jesli wielomian / o wspolczynnikach z ciala K nie jest iloczynem wielomianow stopnia > 1 i jego pochodna nie jest wielomianem zerowym, to wielomian / nie ma w iadnym rozszerzeniu ciala K pierwiast- kow wielokrotnych.
U w a g a . Jeieli char A" = 0, to zaloienie o pochodnej jest automa- tycznie spelnione dla wielomianow stopnia > 0.
16. Pochodne wyzszych rz?dow wielomianu definiujemy indukcyjnie
y t " > = ( y e * * - 1> ) '_
Wykazac, ze pochodne rz?du > n dla wielomianu stopnia n sq rowne zeru. Obliczyc wszystkie pochodne wielomianu
a) X s + 2X*+5X3- l 3 X z + \ \ X + \ 0 e Z [ X ] , b) X 3 + 3X2 + 4JT+ 2 e Z 5 [Jf],
c) X 6+ X 5+ 2X *+ X2 + 2 e Z 3[X], d) 2X* + 3X3 + 2X2 + X + 1 e Z4 [X],
17. Wykazac, ie jesli P jest dziedzinq calkow itosci,/e P[X], oraz a e P jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu / , to /(a) = /'( c ) = /" ( c ) —
= ... = / (*-1>(a) = 0. Jesli P jest cialem charakterystyki 0, to ponadto / “ >(«) * o.
18. Niech P b?dzie dziedzinq caHowitosci. Wykazac, ze jesli dla / e e P[X], a e P jest /(c) = / '(a) = ... = /<*-” («) = 0, / “ >(«) * 0, to a jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu /.
19. Dla jakich wartosci a wielomian X 3—3aX2 + 3X—a eQ[X] ma pier
wiastki wielokrotne?
20. Przy jakich wartosciach c, b wielomian aX"+ ' + b X n+ 1 e Q[X] dzieli si? przez (X— l)2?
21. Wyznaczyc krotnosc pierwiastka 2 wielomianu X S — 6X*+13X3 — - \ 4 X z + \2 X- %e Q[ X ).
3* 35
22. Niech K b?dzie cialem charakterystyki 0, Wyznaczyc wszystkie wielomiany w K[X\ podzielne przez swq pochodmp
23. K jest cialem charakterystyki 0. Pokazac, ie dia kazdego h e K oraz ciagu (clt c2, c 3, ...) elcmentow ciaia K o prawie wszystkich wyra- zach rownych 0 istnieje dokladnie jeden wielomian f e K[X] taki, ie y<-)(/>) = c, dla n = 0 , 1 ,2 , ...
24. K jest cialem charakterystyki p # 0. Rozwaiamy przeksztalcenie K[X] K N (zbidr ci^gdw) dane wzorem /►-► (/(0 ),/'(0 ), / " ( 0 ) ,...) . Opisac obraz tego przeksztalcenia. Jak wygladaja przeciwobrazy elementow K N1
25. Wielomian X s rozwinqc wedlug pot?g ( X — 1)
a) nad cialem Q stosuj^c schemat Homera lub wzor Taylora,
b) nad cialem Z 2 stosajqc schemat Homera. Czy m oina zastosowac wzor Taylora ?
26. Dla / e K[X] oznaczmy przez f odpowiedniq funkcje wielomianow^
K -*• K, a przez Df pochodn^ wielomianu / . Podac przyklad ciaia K i ta- kiego wielomianu / , ie / = 0, ale D f 0.
27. Przy oznaczeniach z poprzedniego zadaaia dla funkcji wielomiano- wej / definiujemy funkcj? pochodnq { /)' nast?pujqco: ( /) ' = Df.
Czy ta definicja jest poprawna?
28. Niech f ( X) = X 2jrX+2. Obliczyc f(u) dla a) u = (1 ,0 ,2 ) w pierScieniu Z 3,
b) u = 2 w pierscieniu Z 3, c) u - T 1 w pierscieniu Z[T],
ro oi . . .
d) u = L q w pierScieniu macierzy 2 x 2 nad pierScieniem Z4.
29. Udowodnic, ie jezeli P jest dziedzing calkowitoSci,
f{X) = anX ‘ + a„^t X n- t + ... +a0 e P[X], a„eP*, (xlt x2, x a), gdzie Xi e P, jest ciggiem pierwiastkdw wielomianu/, przy czym pierwiastek A'-krotny wystfpuje w tym ci^gu k-krotnie, to
Xi + x 2+ ... +x» = - "-1 ,
i ^*-2
X l X 2 + X l X 3 + ... = — --- ,
X i X 2 ... X n ( - i r — . 36 •
Powyzsze wzory nazywamy wzorami Viete'a.
30. Pokazac na przykladzie, Ze wzory Viete’a nie S3 prawdziwe dla wie- lomianow nad pierScieniem z dzielnikami zera.
31. Niech Xj, x 2, x 3 bqd^ pierwiastkami wielomianu aX3 + bX2 + cX+
+ d e C[X] (uwzgledniamy krotnofci 1 zakladamy, ze a # 0). Obliczyc a) x\ + x \ + x j , b) (*! + x 2) (xj + x3) (x2 + x 3),
c ) ---t- + - i - , je2eli x f , x 2, ^ o.
x l X 2 X 3
32. Suma dwoch pierwiastkow wielomianu 2X3~ X 2 — 1X + c e Q[X]
wynosi 1. Wyznaczyd c.
33*. Niech a , , a2, , ar oraz bt , b2, ..., br b^d^ elementami ciala K, przy czym af ^ a3 dla i j. Wskazac wielomian w e K[X) taki, i t w(at) =
= bi dla kazdego i. Co mozna powiedziec o zbiorze wieloiftianow w spel- niaj^cych ten warunek?
34. Dany jest zbior a2 t . .. , ar} cz K. Wskazac uklad bx. b 2, ..., br elementow K o nast^pujqcej wlasnosci: nie istnieje wielomian w e K[X]
taki, i t w(aj) = b, dla i = 1 ,2 , .. ., r i st w < r — 1. (Nie istnieje wi?c na ogol wielomian interpolacyjny nizszego stopnia nii wielomian Lagrange'a — patrz 33).
35. Dowiesd, ze jeieli K jest cialem skonczonym, to katde prze- ksztalcenie K K jest funkcja wielomianow^ (o wspolczynnikach z K).
36. K = {ai, a2, ..., a„} jest cialem skonczonym. Wskazai wielomian h 6 K[X] o nastQpuj^cej wlasnosci: wielomiany f , g e X [ X ] wyznaczaja t?
samq funkcj? wielomianow^ wtedy i tylko wtedy, gdy h \ f —g.
37. Niech a , , a2, . . . , a, b^d^ takimi elementami pierscienia P, i t a,- — aj sq odwracalne dla i # j oraz niech bl , b 2, ..., br b?d3 dowolnymi elemen
tami P. Wskazac wielomian a> e P[X] laki, i t w(ai) = bt ,
38. Wykazac, i t nie istnieje wielomian w e Z[X] taki, ze w(0) = 0, w(2) = 1.
39. Wykazac, i t jesli P jest nieskoriczonq dziedzin^ calkowitoici, to istnieje funkcje f : P — P, ktore nie S3 wielomianowe.
40. Czy ka£da funkcja/: Z4 —► Z4 jest funkcje wielomianowe?
41. Niech {a,, a2, ..., ar} b^dzie podzbiorem ciala K. Wykazac, 2e przeksztalcenie K[X] -> K x K x ... xK, w >-* (**’(<*,), w(a2), ..., w(ar)) jest
r
epimorfizmem pierscieni. Znalezc jego j^dro.
37
42. Dany jest podzbior {pt , p 2, przestrzeni K",pt - (j»n , p i2, ...
oraz ukfad b l , b 2, . . . , b r elementdw ciata K. Pokazac, 2e istnieje wielomian w e K[Xt , ...,X„) laki, ie nip,) = b, dla wszystkich i.
§ 4. Ideal
Niech K bgdzie cialem. Czy jest idealem w pierscieniu K[X. Y] zbior wielomianow
a) bez wyrazu wolnego, b) postaci £ ki Y‘, k , e K'
c) bez wyrazu wolnego i bez jednomianow stopnia 1, d) postaci f (X, Y) = a X - a Y + b X 2+ c XY + d Y 2+ ...,
e) spelniaj^cych warunek f ( X , Y) = f ( X , - Y ) , gdy char A" * 2, f) spelniajqcych warunek / ( X . Y) = f ( Y , X),
g) postaci ( X - 1) • /+ Y- g. gdzie / , g e Y].
Jezeli tak, to podac moiliwie maly zbior generatorow.
^Sj^Ktore spoSrod zbiorow podanych w 2.1 idealami pierscienia ZIX]?
Ktore z nastfpuj^cych zbiorow sq idealami w pierscieniu P funkcji ct^glych rzeczywistych na odcinku <0. 1>:
a) ( / e P: /(0) = /{ 1) = 0}, b) {/£/> : /(0) = 2/(1)}.
N^Sprawdzic, 2e nastgpuj^ce przeksztalcenia / : P -* P' s^ homomor- fizmami. Kaidy z ideatow ker / opisac przez podanie generatorow
a) P = Z x Z , P' = Z, /(( a , 6)) = a, _ b) P = Q[X], P' - C, f (w(X)) -
c) P = R[X), P' = C, f (w(X)) = *([/2),
d) P = K[X, Y], P' = K[X], f(w(X, r ) ) = w(X, X).
5. Niech P bgdzie pierscieniem funkcji R' -* R \ a X podzbiorem R'.
a) Udowodnic, is zbior { / e P: = 0} jest idealem w P, b) Czy kazdy ideal w P jest tej postaci ?
Niech /, , / 2 beds* idealami w Q[X, K]. Rozstrzygn^c czy /, c I2, A = h , l\ / 2, gdy:
a) /, = (X, Y), 12 = (2X, X - Y),
b) /, = (X 2, Y2,XY), t 2 = ( ( X - Y ) 2, X Y , X 2), c) /, = (.X 2 Y 2), I2 = ((X+ Y ) \ { X - Y ) 2), 38
d) / , = ( x * + i , r 2+ 1), i 2 = ( X -y,x2+ i), e) /, = tX*,XY), I2 = ( X(X2- Y J)).
7. Wykazac, ze produkt dwoch cial jest pierscieniem maj^cym cztery idealy. Opisac je. Jak uogoinic ten wynik na produkt prosty n dal ?
8. Oznaczmy przez e, element (1 ,0 , 0) pierscienia Z". Opisac pod- pierscien w Z" generowany nad Z przez el t 'a, nast?pnie ideal generowany w Z" przez et ,
^ ^ N ie c h P b?dzie pierscieniem, Ix, I2 idealami w P. Wykazac, ze zbiory
a) / , + / 2 = {a + b: a e f x, b ^ I 2) (suma idealow), b) /, 12 = ctibi■. at e l , , bt e I2} (iloczyn idealow), c) h - h — {a e P : A ab e I,} (iloraz idealow)
wskazac przyklady takie, aby w d) i e) nie zachodzily rownosci.
10. Niech P b?dzie podpierscieniem pierscienia S. Udowodnic, ie row- no waine s<| nasttjpujgce warunki:
1° kaidy homomorfizm pierscieni h: P P' przedluia si? do homo- morfizmu h : S -» P\
2° istnieje ideal / c S taki, ie grupa addytywna S + jest suing prosty swoich podgrup P + i I +.
(jjy Wykazac, ie nast?pujgce idealy w podanych pierscieniach nie sg glowne:
a) {X, Y) w K[X, Y], b) (2, X) w Z[X], c*) (2, 1 - / 5 ) w Z[]TS\.
12. Udowodnic, ie nast?pujgce pierScienie sg dziedzinami idealow glow- nych:
a) podpierscien Zj ^ J ciata Q, b) podpierScieri K[X, \/X] ciala K(X).
Uogolnienie tych stwierdzen znajdzie Czytelnik w 1V.4.4.
13. Niech Ki b?dg cialami dla / = 1,2, .... a pierscieri p = n pr°
sg idealami w P. Wykazac, ie j l ) _ h h <= h n / 2 = I, <= 1\ +I 2,
h - h 3 A 3 ■ ^)>
duktem tych cial.
a) Opisac idealy glowne w pierscieniu P.
b) Wskazac w P ideal, ktory nie jest gldwny.
39
14. P jest pierscieniem z poprzedniego zadania.
a) Wykazac, Ze dla kazdego i zbior
M t = {( a, ,a2, . . . ) e P : a, = 0}
jest ideatem maksymalnym w P.
b*) Wykazac, Is P ma ideaty maksymalne rdZr.c od M,.
15. Udowodnic, is ideal ( X2—2, Y) jest maksymalny w Q[X, Y], ale nie jest maksymalny w R[X, Y],
(l<i. a) Wykazac, is ideal (2 + /) pierscienia Z[/J jest maksymalny.
b) Wykazac, is ideal (3 + } 2) pierscienia Z[y2] jest maksymalny.
17. Niech n e Z, n > 0. Wykazac, Ze liczba idealow maksymalnych w Z„ jest rowna liczbie wszystkich dzielnikow pierwszych liczby n.
18. Wykazac, ze kazdy ideal maksymalny w pierscienia CR(I) funkcji ci^glych rzeczywistych w przedziale 1 = <0, I> jest postaci / Xa = {/:
f (* o) = 0}.
19. Wykazac, ze istnieje ideal maksymalny w pierscieniu C&{I) funkcji ci^glych rzeczywistych w przedziale / = (0, I), ktory nie jest postaci J Xo =
= {/: f i x 0) - 0}.
20. Wykazac, Ze ideal pierscienia skonczonego jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy jest maksymalny.
21. Niech / : P -*■ P' bgdzie homomorfizmem pierscieni. Wskazac od- powiedniosd wzajemnie jednoznaczn^ mi?dzy idealami pierwszymi pierscie
nia P', a tymi idealami pierwszymi pierscienia P, ktore zawieraja jqdro homomorfizmu /.
22. a) Niech / : P -*■ P' b?dzie epimorfizmem. Wykazac, Ze jeZeli m ' jest idealem maksymalnym w P', to / * ‘(Tn') jest idealem maksymalnym
w P.
b) Czy zaloZenie, Ze / jest „na’’ jest istotne?
23. / je s t epimorfizmem pierscieni P -+/*', a m jest ideatem maksymal
nym w P. Co moZna powiedziec o zbiorze /(ttt)?
24. Wykazac, ze kazdy ideal w pierscieniu Z[\/d], gdzie d jest liczby calkowita, jest postaci (n, a + b y d ) , gdzie n , a , b e Z,
25. Wskazac moZliwie maly zbior generatorow ideatu
| / e K[X, Y): /(0 ,0 ) = 0, - BL (0,0) = o[
pierscienia K[X, Y], 40
§ 5. Kongruencje, pierscien ilorazowy
1. Udowodnic, ze rownanie X f + X i + X 2 + 5 = 0 nie ma rozwi^zania w liczbach catkowitych.
2. Wykazac, 4e uktad rownan
nie ma rozwi^zania w liczbach catkowitych.
3. Udowodnic, 4e rownanie X ”+ X n~1 + ... +1 = 0 ma pierwiastek w pierscieniu Z } o n 2 + 2n ^ 0(mod6).
4. lie rozwi^zan w pierScieniu Z[T]!{T~) ma rownanie X 2 — 0?
5. Wykazac, 4e rownanie X x + Y 2 — I0(AT— 1) nie ma rozwiqzan w pier
scieniu
a) Z, b) Z[T], c) Z[7]/(27’*+2).
6. Dany jest uktad rownan
gdzie/; wielomianami o wspotczynnikach catkowitych. Niech p i q b^d^
liczbami naturalnymi wzgl^dnie pierwszymi takimi, 4e uktad (U) ma roz- wi^zanie w pierscieniu Z p oraz rozwi^zanie w pierscieniu Z q. Wykazac, ze ma on tak4e rozwi^zanie w pierscieniu Z pq.
7. Dana jest liczba pierwsza p i liczba naturalna r. Wskazac wielomian f e Z[X] unonnowany i taki, 4e
t) / ma pierwiastek rzeczywisty,
2) / nie ma pierwiastka w pierscieniu Z pr,
3) dla kaidej iiczby naturalnej 1 < n < pr wielomian / ma pierwiastek w pierscieniu Z„.
8*. a) Niech p > 2 bgdzie Iiczby pierwsz^. Wykazac, ze w ciele Z p row
nanie
ma pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy p = 4Ar + l, gdzie k jest liczbq naturaln^.
b) Wskazac te pierwiastki, gdy p = 4 k + 1.
9. Przedstawic w postaci Z„ pierscien P/T, jeieli 3 X + Y + Z + T = 1, J ir+3K - z - 2r = 3, 23T - y + 3Z + 4r = 0
(U)
(♦) X 2+ l = 0
41
a) P = Z6, / = {0, 2, 4}, b) P = Z[i], / = (2 + 1), c) P = Z[|/2], / = (3 + j/2).
10. Niech d b?dzie liczbq catkowit^, ktora nie jest kwadratem liczby calkowitej, a — dowolna liczby cafkowitij. Udowodnic, i t Z[\fd]/(a + \ rd) =;
Z„, gdzie n = \a2~d\.
11. Wykazac, i t pierscienie Z [ X ] ( ( X - 1) i Z[X]j(2X- !) nie sq izomor- ficzne.
12. Wykazac, i t pierscienie Q [ X ] j ( X - \ ) { X - 2 ) oraz Q[X]/(X2) nie s<t izomorficzne.
13. Wykazac, ie dowolny element pierscienia P mozna przedstawid i to na jeden sposob w postaci (*)
a) P = Z[X]/(2X), (.): c+
b) P = Z[X, Y]/(X2- Y 3), (* ):/(m )+ g ([A ']) [Y]+h([X]) [Y2], c) P = Z[X, Y]/ (X2- Y 3), (*): M([K]) + H-([K])m,
d> p = z[3r, n / ( z , n 2, (*)■■ a + f c m + c m ,
e) P = /![A']/(+■" + /•, A"1-1 + ... + 0 , gdzie R jest dowolnym pierscie- niem, (*): .t0+ j 1[A']+ ... + s„_1[Z"‘ 1]. Wynika st^d w szczegolnoSci b) i c) (dlaczego?)
Pokazad, jak si? mnozy elementy zapisane w postaci (*).
14. Dla dowolnego pierscienia P pierscienie P[X, Y] f(XY- 1) i P Ja\ (por. 24b)) s^ izomorficzne.
15. Pierscienie C[X, Y]/(X2 + Y 2 — ]) oraz C | X, A_j izomorficzne.
16. Rozwazmy podpierscien Z[ X2, A-3] pierscienia Z[X].
a) Ktore z wielomiandw w(X) = ^ aiX i naleia do Z \ X 2, X 3] ? r = 0
b*) Udowodnic, i t pierscienie Z[X2, X 3] i Z[U, W]/(U2- IP3) sa izo
morficzne.
17. Niech Cr(R) oznacza pierscieri funkcji ciqgtych R -+ R. Dla usta- lonego przedzialu / - (a, b) R' rozpatrujemy ideal / = { / e Cr(R):
/ |y = 0}. Oznaczmy przez CH(/) pierscieh funkcji ciqgtych / —*■/?.
a) Wykazac, i t istnieje dokladnie jeden homomorfizm h : CR( R ) l f ->
-*■ Cfi(/) taki, ie [/]> -»/| y oraz i t jest on izomorfizmem.
b) Czy twierdzenie b?dzie prawdziwe, jeieli przedzial <a , b) zastqpimy przez <a, b) ?
42
18. Niech I bgdzie idealem pierscienia P. Zaloimy, te h: P -> s jest homomorfizmem pierscieni o nast^puj^cych wlasnosciach:
a) *</) = 0,
b) Jezeli g: P P' jest tafeira homomorfizmem pierscieni, ze #(/) = o, to istnieje doktadnie jeden homomorfizm g : S -* P\ dla ktorego nast?pu- j^cy diagram jest przemienny
p ± . P ' h""- 'g
s
Udowodnic, is wowczas istnieje izomorfizm i: S ~ P/I i to taki, ze dia
gram
P
(*) s -=• p i i
gdzie / — epimorfizm naturalny, jest przemieimy.
19. P jest pierscieniem, / c 7 s<( idealami w P. Wykazac, ze ( P i m m - p v
Symbol J j l oznacza tu obraz idealu J przy naturalnym epimorfizmie P -*■ PII.
20. W diagramie
h ---h
n n
* P x - S - P t
I 1
p i i h ~ p * i h
/ijesttak im homomorfizmem pierscieni Pt -* P2, ktory przeprowadza ideai I\ w ideal I2, strzalki pionowe oznaczaj^ epimorfizmy naturalne. Pokazac, i£ istnieje doktadnie jeden homomorfizm zaznaczony strzalki przerywana, ktory czyni diagram przemiennym.
21. He jest homomorfizmow pierscieni
a) Z[X, kj -* Z n, b) Z[X, 1IX] ^ Z K, c) Z [ X \ X 3] - » z 5, d) Z[X]j(X3) -» Z24, e) Z[Jf, Y, Z]/(X1 + Y 2 + Z 2 - 1) -* Z, f) Z[X]/(X3- 1 ) - C?
43
22. Niech. k : R*-* C oraz j : /?*=-» R[X]/(XX — 1) b?d^ zwyktymi zanurze- niami. He jest homomorfizmow f : R[X]j(Xx- 1) ~* C takich, ze f j = k !
23. Dany jest pierscien P oraz wielomiany / , , e P[Xl , ...,X„].
Rozwaiamy homomorfizm h: P - P[X, , . . . , *„]/</,, p ^ [p). Wy- kazac, ie rownowazne warunki:
1) h jest zanurzeniem oraz kaidy homomorfizm pierscienia P w do- wolny pierscien P‘ przedluia si? do homomorfizmu pierscienia P[Xt , ...
. . . . j y / c / i ...f j w />'.
2) Uklad rownan (*): f ( X , , ..., X„) = 0 dla i = 1,2, .... m ma roz- wi^zanie w pierscieniu P.
24. a*) Niech A: P -* Sb?dzie homomorfizmem pierscieni. Udowodnic, ie pierScien S jest izomorficzny z pierscieniem postaci
/’[{Aj, }*ea\ ! ({f? }^B) >
gdzie pewnymi elementami pierscienia wielomiandw />[{X^}^], a ponadto izomorfizm ten moina dobrac tak, by diagram
P - l — S
\ \ / s M
S' byl przemienny.
U w a g a. Jesli A jest epimorfizmem, to m oina przyjac A = 0 .
b) Udowodnic, ie dowolny pierscien jest izomorficzny z pierscieniem postaci
(*) Z[{Xa ({//I }^es) •
25. Nast?puj%ce pierScienie przedstawii w moiliwie prosty sposob w po
staci (*) z zadania 24: a) Z x Z, b) Z \ c) Z„, d) z [ j ] , e) 2 gdzie p , q liczbami naturalnymi wzgl?dnie pierwszymi, f) Z[|/2], g) Z[i], h) Z[T\xZ[T), i)Q.
26. Liczby naturalne p i q s^ wzgl?dnie pierwsze. Przedstawic nast?pu- j^ce podpierscienie Z[X] w moiliwie prosty sposdb w postaci (*) z zad. 24:
a) Z[XP], b*) Z[X", X*].
27. Niech K b?dzie cialem, a / = aa + al X X ... +a„Xn wielomianem, at e K, a0 ¥= 0, n > 1. Znalezc element odwrotny do [Af] w piersciepiu
28. Znalezc elementy odwracalne w pierscieniu JC[X]!(X"), gdzie K jest cialem.
44
29. Jeieli P jest pierScieniem bez dzielnikow zera, a e P oraz / jest takim ideatem w P, ie a P+I = P, to [a] jest elementem odwracalnym w pierscieniu Pjl.
30. Sformutowac i udowodnic twierdzenie odwrotne do podanego w po- przednim zadaniu.
§ 6. Elementy nierozkladalne, rozklad na czynniki
1. Wykazac, ie podany element a jest nierozkladalny w nastepuj^cym pierscieniu:
a) a = 2 + y ^ 5 w Z[\f~- 5], b) a = 3 w Z[/], c) a = 2 + i w Z[i], d) a = * * + 1 w Q[X], e) a = ^ + r w Q[X, Y].
2. Znalezd elementy nierozkladalne w pierscieniu z [ ' l .
3. Znalezc elementy nierozkladalne w pierscieniu K ^ X, jeieli K jest ciatem afgebraieznie domkni^tym,
4. Jeieli P jest podpierScieniem ciala Q skonezenie generowanym nad Z, to P ma nieskonezenie wiele elementow nierozkladalnych niestowarzy- szonych mi?dzy sobq.
Zob. tez nast^pne zadanie.
5. Pgdad wszystkie z dokiadnosci^ do stowarzyszenia elementy nieroz- kladalne w picrscicniach
Pi = j — eQ: m — nieparzystej.
Pi =
m eQ: 21 m oraz 3 l m?, Pi == [ M l
U w eQ(X): g ( 0 ) * 0 ,
p * = l w e < 3 W : * (0)
6. Niech P b?dzie dziedzin^ calkowitosci. W zbiorze P — {0} rozpa- trujemy relacj? rownowaznosci a ~ b o a i b sq stowarzyszone. W zbiorze
45
klas abstrakcji n = P — {0}/ — rozpalrujemy relacj? (cz^sciowego) porz^d- ku: [a] < [6] <=> a\b (sprawdzic poprawnosc definicji !). Naszkicowac zbior uporzqdkowany (n, $ ) dla pierscieni Plt P2, P} , z poprzedniego za- dania. Rozwaiyc uogoinienia tego zadania.
7. Wielomiany X* - 2 . X*+2, X h — 2 rozioiyc na czynniki nierozktadalne nad cialem a) Q, b) R, c) C.
8. Wielomian JT6— I rozloiyc na czynniki nierozktadalne nad cialem a) Z 2, b) Z 3> c) Z 5.
9*. Udowodnic, ic wielomian Xp — a e Q[X], gdzieg jest liczbij pierwszq, jest rozktadalny w Q[X] wtedy i tylko wtedy, gdy ma pierwiastek wymierny.
10. Wykazad, te para x , y jest rozwiazaniem rownania X 2 — ^ Y 2 = 1 w liczbach naturalnych wtedy i tylko wtedy, gdy
x = i ((3 + 2 /2 ) " + ( 3 - 2 /2 ) * ) , y = — ^ ( ( 3 + 2 / 2 ) " - (3 ~ 2 /2 )")-
4 \ 2
11. Niech d b^dzie liczbq calkowitq, ale nie kwadratem liczby catko- witej. Wykazac, ze jeieli element a + b y d pierscienia Z[\ d] jest nieroz- kladalny, to nierozkladalny jest rowniei element a —b y d.
12. Niech a i b b^dq. liczbami calkowitymi wzgl^dnie pierwszymi.
a) Wykazac, le jeieli a jest liczbq nieparzystq, to elementy a-\-b] 2 i a —b y 2 pierscienia Z[y 2] sq wzgl^dnie pierwsze.
b) Znalezc najwi?kszy wspolny dzielnik tych elementow w przypadku, gdy a jest liczbq parzystq.
13. Wykazac, ie kazda liczba calkowita dodatnia ma nastgpujqcy roz- ktad na elementy pierwsze w pierscieniu Z[i]
n = Pai'pV - Pk'zi'zl' ■■■ 4 ’z?',
gdzie p i t p i , . . . , P k sq liczbami pietwszymi nierozktadalnymi w Z[t], Z i , z 2, ■■■, zr sq nierzeczywistymi elementami pierwszymi w Z[i], a wy- kladniki af, fij sq liczbami calkowitymi nieujemnymi.
14*. Niech p b?dzie liczba pierwszg. Wykazac, ie rownanie X 2+ Y 2 =
— p ma co najwyzej jedno rozwiazanie w liczbach naturalnych takich, ie x < y.
15. Niech p > 2 bydzie liczbq pierwszq. Wykazac, ze rownowaine sq warunki:
46
!“ p jest elementem rozkladalnym pierscienia Z[i], 2° p jest sumq dwoch kwadratdw liczb calkowitych, 3° p = l(mod4)
16. Wykazac, ie wSrod liczb pierwszych jest nieskoriczenie wiele a) elementow nierozkladalnych pierscienia Z[i],
b) elementow rozkladalnych pierscienia Z[i].
17. Wykazad, ie Z[\^5] jest pierScieniem bez jednoznacznosci rozkladu.
18. AT jest cialem. Wykazad, ie podpierScien K[X2, Af3] pierScicnia K[X]
jest dziedzini) bez jednoznacznosci rozkladu.
19. Wykazad, ie jesli wielomiany f , g e K[X,, . . . . X,] nie maj^ wspdl- nego dzielnika stopnia > 0, to wielomian
F i X , ...X„,X,+ l) = f{Xt , . . . , X„)Xm+ , + g i X , , . . . , X H) jest nierozkladalny w dowolnym rozszerzeniu ciala K.
20. Jeieli p i q elementami wzgl^dnie pierwszymi dziedziny idealow gldwnych P, to Pjipq) ^ Pl(p)x P!iq).
§ 7. Cialo ulamkow, szeregi Laurent a
1. Jeieli P jest dziedziny calkowitosci, to przez (P) oznaczamy cialo ulamkdw pierscienia P. Wykazad, ie jeteli P, jest podpierscieniem dzie
dziny calkowitosci P2 i P 2 c (P,), to (P,) — (P2).
2. a) Jeieli P jest dziedziny idealow glownych, a (/*) jej cialem ulamkow, to kaidy element (P) m oie bye przedstawiony w postaci —, gdzie x, y e P X
oraz ideal ( x, y ) jest rowny P,
b) Czy twierdzenie jest prawdziwe, jeieli zaloiyd jedynie, ie P jest dziedzintt calkowitosci ?
3. Podad przyklad dziedziny calkowitosci P oraz wielomianu unormo- wanego / e P[X] takiego, ie / ma pierwiastek w zbiorze {P) — P,
4. Niech P b^dzie dziedziny calkowitosci, a # 0 jej elementem, a / — idealem. Rozwaiamy podpierScien P[a~'] ciala (P) i jego ideal /■ />[o-1].
Zanurzenie P*~* P[a~l] indukuje homomorfizm h: P \ I -* P[a~')fI P[a~'\.
Udowodnid, ie jeieli a P+I = P, to h jest izomorfizmem pierscieni.
5. Niech f e K [ X , , X 2, . . . , X M] b?dzie wielomianem nierozkladalnym.
Wykazad, ie cialo ulamkow pierscienia K[Xl t XH]l(f) jest rozszerze- niem przest$pnym stopnia n — 1 ciala K.
47
6*. Niech n b^dzie liczby naturaln^, n > 1. Wykazac, ze cialo ufam- kdw pierscienia C[X, Y]j(X*+Y* + 1) oraz cialo C(X) sq izomorficznymi rozszerzeniami ciala C wtedy i tylko wtedy, gdy n = 2.
7. Niech K([X)') oznacza cialo utamkow pierscienia szeregow formal- nych W[[JH] nad cialem K. Wykazac, i t kazdy niezerowy element ciata
GO
AT((A')) moina zapisac jcdnoznacznie w postaci X c ■ £ bc+nX", gdzie c jest
n = 0
liczb% calkowit^, £>c+„ e K oraz bc # 0.
Element ten piszemy tei w postaci (dla c < 0)
bcX c+bc+lX c+l+ ... + b _i X ~ ' +b0+ b l X+ ...
czfic Rlowna
00
albo X bxX" i nazywamy szeregiem Laurenta.
— 00
8. Inkluzja K[X] <=. A^[[A"]] prowadzi do inkluzji K(X) c /^((A')). Zna- lezc szereg Laurenta odpowiadajqcy funkcji wymiemej X+ 1 .
zl zi
9. Szereg Laurenta T a„X” nazwiemy okresowym, jezeli istnieje taka liczba calkowita k i naturalna r, i t dla kaidej liczby naturalnej n ^ k mamy an+r = a„.
a) Wykazac, ie jezeli szereg 5^a„Xn c K((X)) jest okresowy, to jest funkcji wymiernt}.
b) Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne ?
10*. Niech K b?dzie cialem skohczonym. Wykazac, i t szereg s e X((X)) jest funkcji wymiern^ wtedy i tylko wtedy, gdy jest okresowy.
§ 8. Elementy nilpotentne
1. Element x picrScicnia P (nickoniccznic przemiennego) nazywamy nilpotentnym, jeieli x" = 0 dla pewnej liczby naturalnej n. Znalezc elementy nilpotentne w pierScieniach
a) Z 1B, b) Zm, c) R[X\/(f), gdzie f e R [ X ] .
2. a) Wykazad, i t zbidr elementow nilpotentnych pierscienia (przemien
nego) stanowi ideal tego pierScienia.
b) Podac przyklad pierscienia nieprzemiennego, ktorego elementy nil
potentne nie stanowi^ idealu.
48
3. Czy elementy a pierscienia P takie, ze a1 = 0 stanowiq ideal?
4. Dowiesc, Ze w pierscieniu Z„ elementy a spetaiaj^ce rownanie a2 = 0 stanowi^ ideal.
5. Niech a e P, a2 — 0, Wykazac, Ze przeksztalcenie n >-* 1 +na jest homomorfizmem grupy Z + w grup? P*.
6. Wykazac, te jeZeli w pierscieniu P dla pewnej liczby pierwszej p mamy p- 1 = 0, to przyporz^dkowanie a *-» a +1 wyznacza odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna pomi?dzy zbiorem {a e P: ap = 0} a zbiorem
{ be P: f = 1}.
7. W pierscieniu P dla pewnej liczby naturalnej n mamy n- 1 = 0 , a element b — 1 jest nilpotentny.
a) Wykazac, te istnieje liczba naturalna m taka, ze bm = 1.
b) Wskazac tak^ liczby m, jeieli r jest liczby naturaln^, dla ktorej
( b - l ) ' = 0. '
8. Niech / <= P b^dzie idealem, ktdrego wszystkie elementy sq nilpo- tentne. Wykazac, te zbior 1 + / jest zawarty w grupie P* i jest jej pod- grup^.
9. Wskazac przyklad takiego pierscienia P, te grupa (addylywna) ele- mentow nilpotentnych v(P) nie jest izomorficzna z grupq (multyplikatywn^)
1+»-(/>).
10. W pierscieniu Z[[3f|] okreslamy nastepuj^c^ metryk? q : dla szeregow s, t e Z[[X]], s # t istnieje taka liczba calkowita nieujemna n, is A'"|(.v — /), aleAr"+t 1 (s—/). Przyjmujemy wtedy g(r, t) = Jezeli s = t, to q(s, t) =
= 0 (wykazac, Ze funkcja q istotnie jest metryk^I). Udowodnic, is dla dowolnego pierscienia P istnieje odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna mi?dzy elementami nilpotentnymi w P, a homomdrfizmami ci^glymi z pier-
f scienia Z[[Jkj] z metryk^ q w pierScieri P z metryk^ dyskretn^.
11. a) Wykazac, te w dowolnym pierscieniu skonczonym liczba elemen- tow nilpotentnych nie przekracza polowy liczby wszystkich elementow.
b) Dla kazdej liczby naturalnej n istnieje skonczony pierscieh o co najmniej n elementach, z ktdiych dokladnie polowa, to elementy nilpo- tentne.
12. Mowimy, Ze element x pierscienia P jest nilpotentny rz(du r (r jest liczby natu ral^), jeZeli x' = 0, y 1 ^ 0. Niech elementy x t i x 2 b<;da nilpotentne rz^du odpowiednio r t i r2. Jaki jest rzqd nilpotentny elementu (xx, x 2) pierscienia Pt x P2?
4 Z b io r 2&daA z alg eb ry 49
W zadaniach 13-21 oznaczonych ■ zakladamy, i t P jest <2-algebr^
(patrz 1.29).
13." Dla elementu nilpotentnego x e P przyjmijitty
e x p M - iHi
(dla elementu, ktory nie jest nilpotentny ta definicja me mialaby sensu).
Niech v(P) oznacza grup? (addytywn^) elementdw niipotentnycb pierscie- nsa P. Udowodnid, te exp jest horaomorfizmem grupy v(P) w grupg P.
14." Niech y b?dzie elementem nilpotentnym w P. Oznaczmy przez lo g (l+ y ) element y —~ y 2 + y j 3— ... (suma jest w istocie skonezona).
Udowodnid, ze
a) przeksztalcenielog: 1 +y i-* log(l +y) jest izomorfizmetn grupy (mul- typlikatywnej) 1 +v(P) na grup? (addytywn?) v{P),
b) jest to przeksztalcenie odwrotne do przeksztalcenia exp z poprzed- niego zadania.
15.' Dla z e P oraz i naturalnego oznaczmy przez G)
element z(z — 1) ... ( z - l + 1) . . . . (M
--- Tj- - t przyjmijmy dodatkowo (0J = 1. Dla elementu ml- potentnego u niech (k-H 1)* oznacza element 1 + + ... (>).
Wykazad, i t dla elementu nilpotentnego x mamy (oznaczenia z 13) (exp (x))1 = exp (xz) .
16.“ JeZeli y - 1 jest elementem nilpotentnym w P, to
(♦) y 1 = exp (z logy)
dla dowolnego z e P .
U w a g i . 1. Bez zaioicn o y te symbole nie mialyby sensu.
2. Wzor (*) mo2e sluzyc za definicj? y z.
17." Jeieli y e 1 +v(P), u e P, to y u G v(P).
1®.* Niech x, y e 1 + r(P), u, w e P, c e Z. Wykazad, ie poniZsze sym
bole majtt sens oraz zachodz^ rownosci:
50
( x y f = **/» x*+w = = (x*)w, xc' 1 = x c (1 jest tu jedynk^ P).
(*) Wz6r Newtona, ktory ma sens dla z naturalnego, stuzy tu, jak widad, za definicj?.
19. ■ Niech a b^dzie takim elementem pierscienia P, te a* = 0 (podac przyktad taki, aby a3 / 0). Obliczyd (a + 1)", V a + 1 (n — liczba naturalna), ( a + l ) ("+n' ‘, exp (a), lo g(a+ l).
Sprawdzid, czy exp (log(a + 1)) = a+ 1 .
20. ® x jest takim elementem pierscienia P, te x - 1 jest nilpotentny.
Wykazac, te istnieje w P taki element y ^ 0, ze xy = 1.
21. ® Dia elementu nilpotentnego x e P przyjmijmy
cos* = 1_ _ + — - . . . Udowodnic, ze
a) sin2x + c o s2x = 1,
b) sin(x-+y) — sinxcosy+cos.vsin.y, gdzie y rowniez jest elementem nilpotentnym.
22. a) Wykazac, i t jezeli element a pierscienia P nie jest nilpotentny, to rodzina tych ideafow, ktore rozlqczne ze zbiorem { l , o , a 2, a3, ...}
ma element maksymalny i jest on idealem pierwszym.
bj Wywnioskowac st^d, te przeciecie wszystkich ideafow pierwszych pierscienia jest zbiorem jego elementow nilpotentnych.
23. Radykalem pierscienia P nazywamy cz?sc wspolnq wszystkich idea- low maksymalnych tego pierscienia (ozn. 3i(P)), Mowimy, te pierscien P jest bez radykalu, jeteli 3{P) — 0. Udowodnic, te
a) Dla dowolnego pierscienia P pierscien P/dt(P) jest bez radykalu.
b*) Jeteli pierscien P jest skonczenie generowany nad pewnym swoim podcialem, to ideal M(F) jest zbiorem elementow nilpotentnych w P, a wiec jest rowny czQsci wspolnej ideafow pierwszych pierscienia P. (Sko- rzystac z twierdzenia Hilberta o bazie i z twierdzenia Hilberta o zerach).
24. Mowimy, te pierscien P jest artinowski, jeteli dla kaZdego ciagu idealow w P
/, => / 2 => / 3 => ...
istnieje taka liczba naturalna n, i t } n = fn+l = ...
a) Wykazac, te jeteli pierscien jest skonczenie wymiarowa przestrze- niij nad pewnym swym podciafem, to jest on artinowski. Wskazac przyktad pierscienia artinowskiego, ktory nie jest ciafem.
b) Udowodnic, te pierscien artinowski bez dzielnikow zera jest cialem.
«♦ 51
25.* Powiemy, ze pierscien jest pdlprosty, jeZeli jest on izomorficzny . produktem prostym skoriczonej liczby ciai(').
Wykazad, Ze pierscien jest pdlprosty wtedy i tylko wtedy, gdy jest artinowski i bez radykalu.
§ 9. Zadania rozne
Podac przyklad pierscien ia P, i jego obrazu homomorficznego Pz ^ 0 tak, aby
a) Pj nie mial dzielnikow zera, Pz ntiai dzielniki zera, b) Pi mial dzielniki zera, P2 nie mial dzielnikow zera,
c) Pi nie mtal rdinych od zera elementow nilpotentnych, P2 mial elementy nilpotentne,
d) Pi mial eiementy nilpotentne, P, nie mial.
2. Kazdy z niezerowych pierscieni Ps dla i = 1,2 ma et elementow, w tym Oi elementow odwracalnych, rf, wla£ciwych dzielnikow zera oraz nt elementow nilpotentnych. lie elementow odwracalnych, wtasciwych dziel- nikow zera, elementow nilpotentnych ma pierscien P, x P 2? (Przyjmujemy, Ze zero nie jest wlasciwym dzielnikiem zera, natomiast jest elementem nil- potentnym).
3. Jeteli A jest zbiorem, to zbior 2A z dzialaniami U+V — (U—V) u u ( V —U), U V = Uc\V jest pierscieniem. Jakim dzialaniom w pierScie- niu 2A odpowiada operacja s umy U u F i uzupelnienia A — U zbiorow ? Pokazac, Ze kaMy element pierscienia 2* poza zerem i jedynk^ jest dziel
nikiem zera. Z jakich zbiordw sklada si? ideal glowny (U) dla U a A?
Opisac warstwy wzgledem takiego idealu. Wykazac, ze pierscien 2A jest izomorficzny z pierscieniem funkcjt na zbiorze A o wartosciach w ciele Z 2.
4. Niech U i W b?d^ eiementami pierscienia 2A. Wykazac, Ze uklad rownari
X + Y = U, X Y = W
ma w tym pierscieniu rozwiqzanie wtedy i tylko wtedy, gdy U ■ W = 0.
lie jest wowczas rozwi^zan ?
5. Wykazac, Ze 2A jest pierscieniem idealow glownych wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zbiorem skoriczonym. Wskazac przyklad idealu, ktory nie jest glowny w pierscieniu 2A w przypadku, gdy A jest zbiorem nieskori- czonym.
C ) Jest to definicja pierscienia przemiennego polprosrego. Definicj? ogolniejsz^, od- noszqca sic do pierscieni niekoniecznie przemiennych znajdzie Czytclnik w [LJ.
52
6. Wykazac, ie w picrscieniu 2A zbior Ix = {Z 62*: 2} dla x e A jest ideatem maksymalnym. Czy kaidy ideal maksymalny jest tej poslaci ?
7. Niech f : A -* B b^dzie przeksztalceniem zbiordw. Oznaczmy przez 2f przeksztalcenie 2f \ 2 B-> 2A, U >-» Wykazad, ie 2^ jest homomor- fizmem piericieni. Opisac jqdro i obraz tego homomorfizmu.
8. Ktore z nastppujacych podzbiorow pierscienia K[X] (K jest cialem) podpierscieniami, a ktore sq idealarrii ?
J \ = { / 6 K[X]: /(D) = 0}, P2 = { / e * I Z ] : / '( 0 ) = 0}, P3 = { f e K [ X ] : f " ( 0 ) = 0}.
9. Ci$g (a !, a2, ...) liczb wymiernych nazywamy ciqgiem Cauchy'ego, jeieli
A V A
k , l > . N * * |a*-</|| < —,n N ft, I n
natomiast ciqgiem zbieinym do 0, jeieli
A V A ^ ^ w < 7 -
h N k a
Niech P b^dzie pierscieniem ci^gdw Cauchy’ego, a. I — idealem w P zlo- ionym z ci^gow zbieznych do 0. Wykazac, ie P /I as R. (Jest to konstrukcja Cantora ciaia liczb rzeczywistych).
10*. K jest ciatem skonczonym a f e K[X] wielomianem o niezerowym wyrazie wolnym. Wykazac, ie / dzieli Xn—l dla pewnego n.
11. Niech P b^dzie pierscieniem niekoniecznie przemiennym i takim, ze P+ jest grupa cykliczn^. Dowicsc, ie pierscien P jest izomorficzny b^dz z Z, b^dz z Z, dla pewnego n.
12. Opisad grupy automorfizmdw pierScieni podanych w zadaniach 2.19 i 2.20.
13*. Dany jest niesprzeczny uklad rownan
flu + o l2X 2+ ... = 0, (U) ...
Omi + am2 X}~b ... +amnXnx b m ~ 0
o wspdlczynnikach z ciaia K tworz^cych macierz (a,j) rz?du r oraz dany
S
jest uklad wielomianow / ; = ct + £ dyTj e K[T1, T2, ..., TJ, gdzie i = 7=1
= 1 , 2 , . . . , n. Niech I oznacza ideal pierscienia K[Xx, X2, X „ ] genero- wany prze2 lewe strony ukladu (U).
53
Wykazac, ie rdwnowazne sq warunki:
S ,
1° Uklad (xi = ct + y dijtj)i-1.2....». gdzie sq parametrami z ciafa 7“ 1
jest rozwiijzaniem ogolnym ukladu (U) w ciele K, a s = n — r.
2° Uklad (/i)j=i.2....B jest rozwi^zaniem ukladu (U) w pierscieniu K[Tt , T2...Tr\ oraz homomorfizm K[Xt , X 2, . . . , X n\/I K[TY, T2, ...
7j] staly na K i taki, ze [Xt] Th jest izomorfizmem.
14. a) Podac kilka przykladow homomorfizjndw pierscienia Q[X, Y]j(X2 + Y 2 - 1) w pierscien Q.
b) Co moina powiedziec ohomomorfizmach Q [X, Y]/(X"+Y"~ 1 j -» Q, jezeli n jest ustalon^ liczb^ > 2 ?
15. Niech P = Q[T\I(T2) i niech a e P b?dzie klas^ elementu T. lie pierwiastkow w pierscieniu P ma wielomian aX e P[X] ?
16*. K jest ciatem algebraicznie domkni?tym charakterystyki p. DIa a e K niech Pa = K[X,Y]/(X2 + aY2 + a2—a). Dla jakich wartoSci p i a pierscien Pa
a) ma elementy nilpotentne, b) ma dzielniki zera,
c) jest dziedzin^ idealow glownych,
d) jest dziedzinq z jednoznacznosci^ rozkiadu ?
17. Pierscien P nazywamy lokalnym, jezeli ma doktadnie jeden ideal maksymalny (wyjaimenie tej nazwy znajdzie Czytelnik np. w [B a] IX,
§3.1). Udowodnic, ie dla pierscienia P rdwnowaine s$ warunki:
1° P jest pierscieniem lokalnym,
2° P ma ideal wlasciwy zawierajqcy wszystkie pozostale idealy wlasciwe tego pierscienia,
3n Elementy nieodwracalne w P stanowi^ ideal.
18. Wykazaf, ie nast^puj^ce pierscienie S4 lokalne:
a) pierscien tych liczb wymiernych, ktore m oina zapisac w postaci alb, gdzie b nie jest podzielne przez ustalon^ liczb? pierwsz^ p,
b) pierscien tych funkcji wymiernych <p e K(Xt , X2, ..., X„), ktore m oi
na zapisac w postacif/g, f , g e K[X2 , X 2, .... Xn], przy czymg(0, 0 , . . . , 0)
* 0,
c) Z4, Z 2 7 i ogolnie Pjm" , gdzie P jest dowolnym pierScieniem, Ttt — idealem maksymalnym, n — liczb^ naturaln^,
d) K[[Xl t X 2, . , . , X a]].
19. Charykterystykq pierscienia P (ozn. char PJ nazywamy rz^d jedynki 54
lego pierscienia w grupie P + , gdy rzqd ten jest skonezony. W przeciwnym razie przyjmujemy charP = 0. Niech P b?dzie pierscieniem lokalnym. Wy- kazac, ie char/5 jest zerem lub pot?gq liezby pierwszej.
20. K jest ciatem, A <= K podpierscieniem spetniajqcym warunek
Dowiesc, ie A jest pierscieniem lokalnym.
PierScieti spelniajqcy warunek (*) nazywamy pierscieniem waluaeji. Po- dac przyklad pierscienia waluaeji.
21. Niech X b^dzie przestrzeniq metryeznq, a x jej elementem. W pier- Scieniu CR(X) funkcji rzeczywistych ciaglych na X rozpatrujemy ideal
Ix — { /e Cr(A'): istnieje otoczenie V punktu x takie, ie = 0}.
Warstw^ funkcji / wzgl^dem ideatu Ix nazywamy kielkiem tej funkcji H> punkeie x, a CR(X)jIx pierscieniem kieikdw. Wykazae. ze jest to pierScieh lokalny, a jego ideal maksymalny sklada si^ z kielkow tych funkcji / , dla ktorych f (x ) = 0.
Powyisze pozostaje prawdq, jeieli w przypadku X = R' zamiast pier
scienia CR(X) rozpatrywad pierscien funkcji roiniczkowalnych lub glad- kich itp,
22. Poda£ przyklad podpierScienia ciala liczb wymiemych, w ktorym sq dokladnie dwa idealy maksymatne.
23. Niech a b?dzie elementem pierscienia P. Wykazad, ie na to, aby elementy 1, a, a2, a3, ... stanowily ciqg arytmetyezny (to znaezy a ~ 1 =
= a2 —a = ...) potrzeba i wystareza, aby (a— l)2 = 0.
24*. Zalozmy, ie w pierscieniu P # 0 wszystkie elementy n • 1, gdzie n jest liezbq naturalnq, sq odwracalne. Niech a e P. Udowodnic, ie rowno-
waine sq warunki:
1° istnieje wielomian w o wspolczynnikach w P taki, ie a" -- w(n) dla n = 0, 1 , 2 , 3 , ...
2° a jest elementem ©dwracalnym oraz istnieje wielomian w o wspol
czynnikach w P taki, ie ac = w’(c) dla kaidej liezby calkowitej c, 3° a - 1 jest elementem nifpotemnym.
U w a g a . Przyjmujemy 0° = 1.
25. Wykazad, ie nast?pujqce pierScienie nie sq noetherowskie:
a) nieskonezony produkt pierscieni niezerowych,
55
b) pierscien wielomianow nieskoriczenie wielu zmiennych o wspofczyn- nikach w pierscieniu niezerowym.
26. P jest pierscieniem noetherowskim, a v(P) idealem zioionym ze wszystkich elementow nilpotentnych. Wykazac, i s istnieje liczba naturalna r taka, ie (v(P))r — 0. Czy twierdzenie pozostaje prawdziwe, jeieli pomin^c' zaloienie, ie P jest pierscieniem noetherowskim?
27*. Wykazac, ze w pierscieniu noetherowskim bez dzielnikow zera kaidy element nieodwracalny rozny od 0 ma rozkiad na iloezyn elemen- tdw nierozkladalnych (chociai na ogol taki rozkiad nie jest jednoznaczny).
28*. Wykazac, ie dla dowolnego ciala K ciato funkcji wymiernych K(X) zawiera podpierscien, ktory nie jest pierscieniem noetherowskim.
29. Ideal pierwszy pierscienia P nazywamy minimalnym, jeieli nie za
wiera innego idealu pierwszego.
a) Niech K b?dzie cialem, / e K[Xx , X 2, ..., X„], Wskazac ideatv pierw- sze minimalne w pierscieniu X[Xt , X 2, ...,X„]/(f).
b) Wykazac, ie kaidy ideal pierwszy dowolnego pierscienia zawiera idea! pierwszy minimalny. 1
c*) Wykazac, ie pierscien noetherowski ma skoriczont} liczb? idealdw pierwszych minimalnych.
d) Podac przyklad pierscienia o nieskoriczenie wielu idealach pierw
szych minimalnych.
30. a) Niech P b?dziepierscieniem, a — jego elementem, I = (xt , x 2,...
..., .r„) — idealem, a m — liczb^ naturalnq. Wykazac, ie a e / " wtedy i tyl- ko wtedy, gdy istnieje wielomian jednorodny Fm e P[Xt , X 2, ..., stop- nia m taki, ie a = Fm(x x, x2, ..., x„).
b*) Tw. Krulla. Zatoimy, ie P jest pierscieniem noe herowskim, a / —
00
dowolnym idealem. Wykazac, is a s f j / " wtedy i tylko wtedy, gdy a e al m=* 1
{Skorzystac z tego, ie na mocy tw. Hilberta o bazie pierscien P[X2, X2,...
..., X„] jest noetherowski).
c) Wywnioskowac st^d, ie jeieli P jest pierscieniem noetherowskim lo-
GO
kalnym, a / jego idealem wlasciwym, to P | /" = (0).
m= [
d) Czy powyisze pozostanie prawdg, jeieli zamiast zakladac, ie P jest noetherowski zaloiymy tylko, ie / jest idealem skoriczenie generowanym?
![Aproksymacyjne własności projekcji Niech f ∈ C([a, b]) oraz k · k = k · k C([a,b]) . Niech dalej](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)