Pytania egzaminacyjne  Algebra I r. astron. (2004)

Pytania egzaminacyjne  Algebra I r. astron. (2004)

1. Równo±¢ zbiorów a równo±¢ ukªadów uporz¡dkowanych.

2. Dziaªanie wewn¦trzne i zewn¦trzne  denicja i przykªady.

3. Grupy, podgrupy, grupy przemienne  denicja i przykªady.

4. Pier±cie«, pier±cie« przemienny, pier±cie« z jedynk¡  denicja i przykªady.

5. Denicja i przykªady ciaªa.

6. Izomorzm grup i pier±cieni.

7. Denicja macierzy.

8. Transpozycja i sprz¦»enie hermitowskie macierzy i iloczynu macierzy.

9. Macierze symetryczne, antysymetryczne, hermitowskie i antyhermitowskie

 denicja i przykªady.

10. Udowodnij, »e (Mm,n(K), +)jest grup¡.

11. Mno»enie macierzy  denicja i wªasno±ci.

12. Udowodnij, »e (Mn,n(K), +, ·)jest pier±cieniem.

13. Rekurencyjna denicja wyznacznika i jej zastosowanie do macierzy trze- ciego stopnia.

14. Denicja aksjomatyczna wyznacznika.

15. Kiedy wyznacznik macierzy jest równy zero ?

16. Wyznacznik iloczynu macierzy, macierzy transponowanej i macierzy sprz¦-

»onej hermitowsko.

17. Operacje elementarne i ich macierze.

18. Redukcja macierzy do postaci trójk¡tnej jako sposób obliczania wyznacz- nika.

19. Denicja i warunek istnienia macierzy odwrotnej.

20. Podaj i udowodnij wzór dla odwrotno±ci iloczynu macierzy.

21. Krótki opis sposobów oblicznania macierzy odwrotnej.

22. Posta¢ zredukowana i posta¢ caªkowicie zredukowana macierzy. Rz¡d ma- cierzy.

1

23. Zdeniuj ukªady Cramera i wyprowad¹ wzór na ich rozwi¡zania.

24. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

25. Udowodnij, »e wielomiany nad ciaªem K tworz¡ pier±cie«.

26. Dzielenie wielomianów.

27. Zasadnicze twierdzenie algebry.

28. Reguªa Kartezjusza.

29. Kiedy wielomian jest podzielny przez dwumian ? Podaj dowód.

30. Ró»nice mi¦dzy faktoryzacj¡ wielomianów nad ciaªami liczb rzeczywistych i zespolonych.

31. Denicja i zastosowanie rugownika.

32. Podaj denicj¦ i kilka przykªadów przestrzeni liniowej.

33. Podprzestrze« przestrzeni liniowej  denicja i przykªady.

34. Udowodnij, »e ukªad wektorów liniowo niezale»nych nie mo»e zawiera¢

wektora zerowego.

35. Warto±¢ wyznacznika Wro«skiego jako kryterium niezale»no±ci liniowej.

36. Denicja bazy i jej zwi¡zek z wymiarem przestrzeni liniowej.

37. Co to jest forma dwuliniowa.

38. Macierz formy dwuliniowej; formy symetryczne, antysymetryczne, alter- nuj¡ce i hermitowskie.

39. Iloczyn skalarny i norma  denicja i przykªady.

40. Co to jest baza ortonormalna i jak j¡ otrzymujemy z bazy dowolnej.

41. Co to jest przeksztaªcenie liniowe i kiedy nazywamy je automorzmem ? 42. Co to s¡ macierze ortogonalne i na czym polega ró»nica mi¦dzy grup¡

O(n)a SO(n) ?

43. Zagadnienie wªasne macierzy.

2