Pozna´nAD31grudnia2011 KompilacjaiopracowanieTadeuszJ.Jopek Wielko´scifizyczneiichmiaryUkładJednostekSI Wykład

Wykład

Wielko´sci fizyczne i ich miary Układ Jednostek SI

Kompilacja i opracowanie Tadeusz J. Jopek

(Ad Usum Internum)

Pozna´n AD 31 grudnia 2011

Spis tre´sci

1 Wst˛ep 3

1.1 Wielko´sci fizyczne i ich miary . . . . 4

1.2 Mi˛edzynarodowy Układ Jednostek SI . . . . 4

1.3 Pomiary wielko´sci fizycznych . . . . 7

1.4 Model obserwacji . . . . 8

Zako´nczenie pracy

Rozdział 1 Wst˛ep

Streszczenie

Nie ma komu napisa´c I nie wiadomo czy b˛edzie komu.

Słowa kluczowe: Wielko´sci fizyczne, jednostki miary, układ jednostek SI, pomiar, pom- miar bezpo´sredni i po´sredni, obserwacja, model funkcjonalny, model stochastyczny^a

a[Modyfikowano AD 2011, Luty 08.]

4 Wst˛ep

1.1 Wielko´sci fizyczne i ich miary

Przedmiotem bada´n fizyki, astronomii jest wystepuj ˛aca w ró˙znej postaci i formie materia oraz generowane przez ni ˛a oddziaływania. Badania polegaj ˛a na rozpoznaniu i ustaleniu cech fizycznych materii jako takiej, obiektów składaj ˛acych si˛e z materii a tak˙ze sposobu oddziaływania tych obiektów mi˛edzy sob ˛a. W zakres zainteresowa´n fizyki i astronomii wchodzi jedynie to co dotyczy obiektów materialnych, co daje si˛e bada´c metodami fi- zycznymi.

Cechy fizyczne obiektów materialnych jak i cechy zachodz ˛acych mi˛edzy nimi oddzia- ływa´n, cz˛e´sciej nazywane s ˛a wielko´sciami fizycznymi, np.: masa, g˛esto´s´c, szybko´s´c, czas, napi˛ecie elektryczne, siła ... . Umownie, dowoln ˛a wielko´s´c fizyczn ˛a b˛edziemy oznaczali liter ˛a X .

Fizyka i astronoma interesuj ˛a jedynie te wielko´sci, które daj ˛a si˛e mierzy´c, czyli takie wielko´sci fizyczne X , którym potrafi ˛a przypisa´c pewn ˛a liczb˛e — liczbow ˛a miar˛e, ozna- czymy j ˛a symbolem X.

Poniewa˙z miary X tej samej wielko´sci fizycznej X mog ˛a by´c wyra˙zone w ró˙zny sposób, np. w ró˙znych jednostkach, liczbie X musi towarzyszy´c informacja o jednostkach w jakich została podana. Bez tej dodatkowej informacji mogliby´smy popa´s´c w bł˛edne przekonania np. porównuj ˛ac ze sob ˛a masy tego samego obiektu zmierzone w kilogramach i tonach.

Dlatego pełna informacja o wielko´sci fizycznej X musi składa´c si˛e z jej liczbowej miary X oraz jednostki [X]. Co zapisujemy zwi˛e´zle jako

X = X [X] (1.1)

Np. Temperatura T = 273.15 [K]

1.2 Mi˛edzynarodowy Układ Jednostek SI

W celu ułatwienia współpracy naukowo technicznej, miary wielko´sci fizycznych nale˙zy podawa´c zgodnie z uzgodnionymi w skali ´swiatowej standardami. Opracowano ró˙zne standardy, z których najpowszechniej stosowanym jest Mi˛edzynarodowy Układ Jedno- stek SI ( SI od francuskiego Le Système international d’unités). Instytucj ˛a uprawnion ˛a do tworzenia, modyfikacji i ogłaszania Mi˛edzynarodowego Układu Jednostek SI jest Mi˛e- dzynarodowe Biuro Wag i Miar w Pary˙zu(BIPM).

Układ SI opracowano w roku 1960 w oparciu o starszy układ jednostek MKS (metr- kilogram-sekunda). Inne dawne układy jednostek jak układ cgs (centymetr-gram-sekunda) czy jego warianty nie odergrały wi˛ekszej roli w tworzeniu układu SI.

W układzie SI wprowadzono szereg nowych nazw jednostek miar, podano ich nowe definicje, ale nie oznacza to, ˙ze układ SI jest układem statycznym — jego jednostki nadal

1.2 Mi˛edzynarodowy Układ Jednostek SI 5

Tablica 1.1: Jednostki podstawowe Układu SI.

Nazwa jednowstki Symbol jednostki Wielko´s´c fizyczna

metr m długo´s´c

kilogram kg masa

sekunda s czas

amper A nat˛e˙zenie pradu elektrycznego

kelwin K temperatura termodynamiczna

mol mol ilo´s´c substancji

kandela cd ´swiatło´s´c (kierunkowa)

Tablica 1.2: Jednostki uzupełniaj ˛ace, bezwymiarowe Układu SI.

Nazwa Symbol Wielko´s´c Obja´snienie jednostki jednostki fizyczna

radian rad k ˛at Jednostk ˛a k ˛ata jest kat o wierzchołku w ´srodku okr˛egu, rozpi˛ety na łuku okr˛egu o długo´sci promienia okr˛egu.

Na pełnym okr˛egu rozpi˛ety jest k ˛at 2π rad.

steradian sr k ˛at bryłowy Jednostk ˛a k ˛ata bryłowego, jest k ˛at bryłowy

o wierzchołku w ´srodku sfery o promieniu r , rozpiety na cz˛e´sci sfery o powierzchni r². Na całej

sferze rozpi˛ety jest k ˛at 4π sr.

s ˛a tworzone i definiowane drog ˛a ugody mi˛edzynarodowej w miar˛e post˛epu technologicz- nego.

Mi˛edzynarodowy Układ SI obejmuje zbiór jednostek, ich definicje, nazwy oraz zbiór przedrostków do nazw jednostek. Zbiór jednostek dzieli si˛e na dwa podzbiory:

• zbiór siedmiu jednostek podstawowych, nominalnie wymiarowo od siebie niezale˙z- nych (patrz tabela1.1),

• zbiór jednostkek pochodnych, definiowanych za pomoc ˛a jednostek podstawowych oraz zbiór jednostek uzupełniaj ˛acych (patrz tabele1.2oraz1.3),

W praktyce metrologicznej napotykamy jeszcze dodatkowe jednostki nie nale˙z ˛ace for- malnie do układu SI, ale których wykorzystanie wraz z jednostkami SI jest akceptowane.

Obok jednostek podstawowych, w układzie SI wyst˛epuj ˛a dwie jednostki bezwymiarowe, powstałe w wyniku podzielenia dwóch tych samych podstawowych jednostek SI i dlatego traktowanych przez BIPM jako jednostki pochodne. Formalnie ich jednostk ˛a SI s ˛a po pro- stu liczby 1, posiadaj ˛a jednak nazwy by unikn ˛a´c nieporozumie´n w wypadku napotkania jedynie liczb bezwymiarowych.

W celu ułatwienia zapisu, do ka˙zdej nazwy jednostki mo˙zna doda´c przedrostki b˛ed ˛ace całkowitymi wielokrotno´sciami liczby 10. Np. przedrostek kilo oznacza mno˙znik 1000,

6 Wst˛ep

Tablica 1.3: Wybrane jednostki pochodne Układu SI posiadaj ˛ace własne nazwy.

Nazwa Symbol Wielko´s´c fizyczna Okre´slenie za Okre´slenie za

jednostki jednostki pomoc ˛a innych pomoc ˛a podst.

jednostek SI jednostek SI

herc Hz cz˛estotliwo´s´c, cz˛esto´s´c 1/s s⁻¹

newton N siła, ci˛e˙zar mkg/s² mkgs⁻²

pascal Pa ci´snienie, napr˛e˙zenie N/m² m⁻¹kgs⁻²

d˙zul J energia, praca, ciepło N m m²kgs⁻²

watt W moc, moc promieniowania J/s m²kgs⁻³

coulomb C ładunek elektryczny, sA sA

strumie´n elektryczny

volt V napi˛ecie elektryczne, W/A = J/C m²kgs⁻³A⁻¹

ró˙znica potencjału, siła elektromotoryczna,

farad F pojemno´s´c eleketryczna C/V m⁻²kg⁻¹s⁴A²

ohm Ω opór elektryczny, V /A m²kgs⁻³A⁻²

impedancja, reaktancja

siemens S przewodno´s´c elektryczna 1/Ω m⁻²kg⁻¹s³A²

weber Wb strumie´n indukcji magnetycznej J/A m²kgs⁻²A⁻¹

tesla T indukcja magnetyczna V s/m² = kgs⁻²A⁻¹

= W b/m²= N/Am

henr H indukcyjno´s´c magnetyczna V s/A = W b/A m²kgs⁻²A⁻² współczynnik indukcji własnej

Celsius ^◦C temperatura Celsjusza t^◦_C = t_K− 273.15 K

lumen lm strumie´n ´swietlny cdsr cd

lux lx nat˛e˙zenie o´swietlenia lm/m² m⁻²cd

becquerel Bq radioaktywno´s´c 1/s s⁻¹

(rozpad na jednostk˛e czasu)

gray Gy dawka zaabsorbowana J/kg m²s⁻²

promieniowania jonizuj ˛acego

sievert Sv dawka równowa˙zna J/kg m²s⁻²

promieniowania jonizuj ˛acego

katal kat aktywno´sc kataliktyczna mol/s s⁻¹mol

1.3 Pomiary wielko´sci fizycznych 7

Tablica 1.4: Przedrostki akceptowane w Mi˛edzynarodowym Układzie Jednostek SI.

Nazwa jotta zetta eksa peta tera giga mega kilo hekto deka

Symbol Y Z E P T G M k h da

Mno˙znik 10²⁴ 10²¹ 10¹⁸ 10¹⁵ 10¹² 10⁹ 10⁶ 10³ 10² 10¹ Nazwa decy centy milli micro nano pico femto atto zepto jokto

Symbol d c m µ n p f a z y

Mno˙znik 10⁻¹ 10⁻² 10⁻³ 10⁻⁶ 10⁻⁹ 10⁻¹² 10⁻¹⁵ 10⁻¹⁸ 10⁻²¹ 10⁻²⁴

przedrostek mili oznacza mno˙znik 0.001, st ˛ad jednostka milimetr oznacza jedn ˛a tysi˛eczn ˛a metra, kilometr oznacza tysiac metrów. Przedrostki nie mog ˛a by´c ł ˛aczone, np. zamiast jedna milionowa kilograma mo˙zemy powiedzie´c miligram a nie mikrokilogram. W tabeli 1.4podano przedrostki akceptowane w Układzie Jednostek SI.

1.3 Pomiary wielko´sci fizycznych

Słowa pomiar, obserwacja b˛ed ˛a dalej traktowane jako posiadaj ˛ace to samo znaczenie.

Mog ˛a oznacza´c zarówno ci ˛ag operacji jak i jego rezultat. Ale znaczenie słowa pomiar jest szersze, bowiem wyniki procedur opracowania (wyrównywania) bezpo´srednich po- miarów, w szczególno´sci rezultay numeryczne uzyskane w oparciu o wielko´sci zmie- rzone, tak˙ze nazywane s ˛a pomiarami, obserwacjami. I wła´snie takie obserwacje bezpo-

´srednie jak i po´srednie (opracowane, wyrównane, przetworzone dane pomiarowe) maj ˛a fundamentalne znaczenie dla nauki i techniki — poznajemy otaczj ˛acy nas ´swiat poprzez pomiary, obserwacje wielko´sci charakteryzujace materi˛e i zjawiska.

Nauk ˛a zajmuj ˛ac ˛a si˛e pomiarami jest metrologia. Przedmiotem metrologii s ˛a pomiary u˙zytkowe (technika, handel ...) ale tak˙ze pomiary o charakterze naukowym. Nie be- dziemy wkraczali na teren tej nauki, dla naszych potrzeb, ograniczymy si˛e jedynie do prostego przykładu ukazuj ˛acego, ˙ze z wykonywaniem pomiarów, obserwacji wi ˛a˙z ˛a si˛e bardzo gł˛ebokie i trudne problemy.

Potoczne rozumienie koncepcji pomiaru nie stwarza problemów; gdy chcemy zmie- rzy´c np. długo´s´c stołu, zgadzamy si˛e, ˙ze w tym celu trzeba wzi ˛a´c miark˛e i zmierzy´c co trzeba. Jednak uwa˙zniejsza analiza tego co rozumiemy przez pomiar długo´sci prowadzi do nast˛epuj ˛acych wniosków:

1. numeryczny odczyt, dokonany w efekcie pewnego procesu reprezentuje rezultat pomiaru,

2. pomiary wykonywane s ˛a poprzez odniesienie si˛e do wzorców (wzorzec metra, ...), najcz˛e´sciej za pomoc ˛a aparatów, przyrz ˛adów, w których wykorzystano odpowied- nie zjawiska fizyczne (mo˙ze poza przypadkami prostego zliczania wyst˛epowania zjawisk),

3. mierzenie oznacza wykonanie ci ˛agu fizycznych operacji, które mog ˛a składa´c si˛e tak˙ze z ci ˛agu operacji jak: ustawienie instrumentu, kalibracja, przykładanie, nasta- wianie, porównywanie, etc.,

8 Wst˛ep

4. mierzenie dokonywane jest przez porównanie ze standardami, te za´s ustalane s ˛a moc ˛a konwencji, nierzadko arbitralnej (jednostki, wymiar),

5. gł˛ebsze wnikni˛ecie w poj˛ecie obserwacji ujawnia, ˙ze nierzadko obserwacje odno- szone s ˛a do teoretycznych koncepcji nie posiadaj ˛acych odpowiedników w ´swiecie fizycznym. Np. s ˛a nimi abstrakcje geometryczne napotykane przy pomiarach od- legło´sci, k ˛atów etc. Wybieramy dan ˛a koncepcj˛e w celu opisu tych fragmentów natury, które s ˛a dla nas interesuj ˛ace jak koncepcje: poło˙zenie gwiazdy, jasno´s´c gwiazdy, komety,

6. wykonywanie pomiarów jest procesem, ci ˛agiem operacji. Ich rezultat czerpie zna- czenie jako pomiar jedynie na mocy powi ˛aza´n z koncepcjami teoretycznymi, któ- rych dotyczy i na których si˛e opiera.

Abstrakcje teoretyczne, do których odnosz ˛a si˛e obserwacje nosz ˛a nazw˛e modelu, który w nauce i technice ma niemal zawsze posta´c matematyczno fizyczn ˛a. Pomimo, ˙ze kon- cepcja modelu mo˙ze wydawa´c si˛e istotn ˛a jedynie dla teoretycznych rozwa˙za´n, jej dobre zrozumienie wyra´znie usprawnia zaprojektowanie obserwacji i opracowywanie rezulta- tów pomiarowych.

1.4 Model obserwacji

B˛edziemy interesowali si˛e modelem obserwacji, tzn. teoretyczn ˛a koncepcj ˛a, za pomoc ˛a której opisywana jest jaka´s sytuacja w ´swiecie fizycznym — np. zmiana blasku gwiazdy, poło˙zenie komety. Opis nie musi by´c wyczerpuj ˛acy, mo˙ze dotyczy´c jedynie tych aspek- tów przyrody, które stanowi ˛a przedmiot naszego zainteresowania. W zale˙zno´sci od tego co zamiarzamy opisa´c, budowane s ˛a ró˙zne modele. Mo˙zna te˙z zbudowa´c kilka modeli opisuj ˛acych ten sam problem. Model zast˛epuje nam realnie istniej ˛ac ˛a sytuacj˛e w celu łatwego dokonania pewnych oszacowa´n.

W modelu obserwacji b˛edziemy wyró˙zniali dwie składowe : model funkcjonalny i model stochastyczny. Pierwsza składowa obejmuje ogólny opis własno´sci deterministycz- nych rozwa˙zanego problemu, druga okre´sla i opisuje własno´sci stochastyczne zmiennych wyst˛epuj ˛acych w modelu funkcjonalnym, w szczególno´sci tych zmniennych, które re- prezentuj ˛a wielko´sci pomiarowe. Dysponuj ˛ac modelem wł ˛aczamy do´n obserwacje. Ob- serwacje wła´snie po to s ˛a robione aby ustali´c warto´sci jednego b ˛ad´z wielu parametrom modelu.

W astronomii i geodezji mamy do czynienia z ró˙znymi modelami np. :

• w celu wyznaczenia odległo´sci na powierzchni Ziemi, kształt Ziemi modelujemy za pomoc ˛a, sfery, elipsoidy obrotowej albo geoidy.

• do obliczenia poprawki refrakcyjnej w pozycyjnych obserwacjach ciał niebieskich wykorzystujemy tzw. model płaskiej atmosfery b ˛ad´z model atmosfery radialnie symetrycznej,

1.4 Model obserwacji 9

• powstawanie obrazu w optyce astronomicznej — mo˙zemy posłu˙zy´c si˛e tu modelem opartym na teorii optycznej Gaussa,

• w fotografii astronomicznej przyjmuje si˛e, ˙ze obraz fotograficzny powstaje w wy- niku projekcji centralnej,

• grawitacyjne pole Ziemi stanowi model sił w geodezji sateliternej,

• orbita keplerowska, orbita oskulacyjna to modele trajektorii ruchu ciał niebieskich.

By przekona´c si˛e do konstruowania modelu obserwacji, rozwa˙zmy prosty przykład. Mamy wyznaczy´c parametry nieznanego trójk ˛ata, interesuje nas kształt albo jego rozmiary. Ma- tematyczny model problemu powinien ułatwi´c nam ustalenie minimalnej liczby elemen- tów (zmniennych) potrzebnych do jednoznacznego rozwi ˛azania postawionego zadania.

W omawianym przykładzie, z modelu matematycznego (teoria trójk ˛ata płaskiego) wiemy,

˙ze kształt trójk ˛ata da si˛e ustali´c gdy znamy dwa k ˛aty lub dwa boki i jeden k ˛at. Je´sli inte- resowałby nas rozmiar trójk ˛ata, to nie zostanie on ustalony poprzez zmierzenie wył ˛acznie k ˛atów. Rozwa˙zania tego typu pozwol ˛a nam podj ˛a´c wła´sciw ˛a decyzj˛e je´sli chodzi o zakup przyrz ˛adów niezb˛ednych w celu wykonania postawionego zadania.

Model funkcjonalny nie zawsze formułowany jest w sposób do ko´nca jawny, dlatego mo˙ze si˛e zdarzy´c, ˙ze zawiera on wiele elementów, których obecno´sci trzeba si˛e domy-

´sla´c. A je´sli modele geometryczne nie s ˛a skomplikowane i daj ˛a si˛e łatwo wizualizowa´c, wówczas elementy modelu i ´swiata fizycznego cz˛esto przestaj ˛a by´c odró˙zniane. Trzeba stale pami˛eta´c, ˙ze w naturze nie ma takich obiektów jak punkty, k ˛aty czy współrz˛edne.

S ˛a to jedynie elementy modelu funkcjonalnego stosowane do opisu odpowiednich obiek- tów naturalnych czy zwi ˛azków mi˛edzy nimi. Np. geodeta twierdzi, ˙ze mierzy odległo´s´c, a to oznacza, ˙ze odwołuje si˛e do dwóch obiektów traktowanych jako dwa punkty geo- metryczne. Bywa, ˙ze zamiast odległo´sci mi˛edzy nimi w bezpo´srednim geometrycznym znaczeniu, geodeta mo˙ze mierzy´c jej rzut na płaszczyzn˛e czy te˙z na ziemsk ˛a elipsoid˛e.

Modele funkcjonalne s ˛a zatem konstrukcj ˛a wygodn ˛a do dokonania analiz, a ze ´swia- tem realnym poł ˛aczone s ˛a za pomoc ˛a obserwacji.

W najprostszych przypadkach pomiarowych obserwacje odnosz ˛a si˛e w sposób bezpo-

´sredni do jakiego´s elementu modelu. Jednak cz˛esto tak nie jest gdy˙z mo˙ze si˛e to okaza´c wysoce niepraktyczne. Np. odległo´s´c do sztucznego satelity Ziemi wygodniej jest mie- rzy´c za pomoc ˛a laserów. Zatem w takich obserwacjach mierzony jest czas propagacji impulsu laserowego, nie odległo´s´c w sensie geometrycznym. I aby wykonane pomiary czasu poł ˛aczy´c z modelem wyznaczanej odległo´sci, do prostego modelu wyznaczania od- legło´sci trzeba wprowadzi´c sporo dodaktowej teorii (propagacja prominiowania elektro- magnetycznego w atmosferze Ziemi, kalibracja lasera). Poci ˛aga to konieczno´s´c wł ˛acze- nia nowych zmiennych, nowych formuł matematycznych. Przykład ten ilustruje bardzo charakterystyczn ˛a cech˛e miernictwa, mianowicie powi˛ekszenie si˛e modelu w efekcie po- ł ˛aczenia go z obserwacjami. Powi˛ekszenie to sprawia, ˙ze zwykle czeka nas długi proces obliczeniowy zanim bezpo´srednie rezultaty obserwacji zostan ˛a powi ˛azane z modelem.

W praktyce proces pomiarowy zawsze podlega wpływom, które nie mog ˛a by´c w pełni kontrolowane. Podczas powtarzania obserwacji objawia si˛e to drobn ˛a zmienno´sci ˛a uzy-

10 Wst˛ep

skiwanych wyników. Zmienno´sci tej nie daje si˛e powi ˛aza´c z jak ˛a´s pojedyncz ˛a przyczyn ˛a natury fizycznej. Takie losowe, stochastyczne zmiany wyników obserwacji, jak inaczej mówimy fluktuacje wyników, uwa˙zane s ˛a za podstawow ˛a własno´s´c pomiarów i aby te własno´sci nale˙zycie uj ˛a´c, odwołujemy si˛e do ró˙znych koncepcji statystycznych. Ustale- nie statystycznych własno´sci elementów modelu najcz˛e´sciej nie jest łatwym zadaniem.

By pozna´c te własno´sci mo˙zna dokona´c stosownej liczby powtórze´n obserwacji, co bywa kosztowne, ale mo˙zna te˙z zało˙zy´c, ˙ze pewne statystyczne prawidłowo´sci (odkryte na pod- stawie wsze´sniejszych pomiarów dokonanych w podobnych warunkach), stosuj ˛a si˛e rów- nie˙z do aktualnej sytuacji. Musimy wówczas stara´c si˛e o utrzymanie odpowiednich wa- runków w jakich bie˙z ˛ace pomiary s ˛a dokonywane.

Bywa, ˙ze jako statystyczne własno´sci obserwacji akceptujemy pewne bardzo grube przybli˙zenia. Np. niekiedy w astronomii i geodezji obserwacje traktowane s ˛a jako sta- tystycznie niezale˙zne, jako jednakowo dokładne, jako nieskorelowane. Czynimy tak ze wzgl˛edu na ch˛e´c uproszczenia problemu b ˛ad´z ze wzgl˛edu na spore trudno´sci w ustaleniu dokładno´sci poszczególnych obserawcji, oszacowaniu korelacji etc.

Cało´s´c tego typu zało˙ze´n o własno´sciach statystycznych interesuj ˛acych nas zmien- nych nazywana jest modelem stochastycznym. Wchodz ˛a tu tak˙ze parametry, którym przed procesem wyrównania obserwacji nadano z takich czy innych wzgl˛edów pewne warto´sci, a tak˙ze te, których warto´sci zostan ˛a dopiero wyznaczone. Wreszcie wchodz ˛a tu czynniki zwi ˛azane z jako´sci ˛a wykorzystywanej aparatury czy te˙z bł˛edami osobowymi obserwatora.