Logika Logika to nauka o poprawnym rozumowaniu.

Logika

Logika to nauka o poprawnym rozumowaniu. Omówimy niektóre działy logiki a dokładniej logiki matematycznej: rachunek zdań, rachunek kwantyfikatorów, indukcję matematyczną i definiowanie rekurencyjne. Są to pojęcia i tematy używane i stosowane w informatyce.

Rachunek zdań

Komputery w swej wewnętrznej strukturze (w procesorach) działają na ciągach binarnych (tzn.

ciągach zer i jedynek) i wynikami są również ciągi binarne. Zatem przekształcają ciągi binarne w ciągi binarne. Ale zdania logiczne również przekształcają ciągi binarne w ciągi binarne. Na przykład zdanie logiczne utworzone ze zmiennych boolowskich i spójników logicznych

przekształca pary binarne w wartości binarne, zgodnie ze znanymi własnościami spójników logicznych:

Podobnie dodawanie liczb binarnych (dwucyfrowych) możemy przedstawić za pomocą zdań logicznych

Zatem prawa rachunku zdań (a zwłaszcza ich przekształcenia) są ważnym elementem informatyki w konstrukcji sieci logicznych tworzonych z podstawowych bramek logicznych AND, OR, NOT, XOR itp.

Zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie (słowo) utworzone ze zmiennych boolowskich x, y, z, x

, x

, (tzn. przyjmujących tylko dwie wartości 0 i 1), nawiasów oraz spójników logicznych (zapożyczonych z języka potocznego):

1. „ i „ oznaczenie - koniunkcja x y 2. „ lub „ oznaczenie - alternatywa x y 3. „ jeśli …, to … „ oznaczenie - implikacja x y

4. „ …wtedy i tylko wtedy gdy … „ oznaczenie - równoważność x y 5. „ nieprawda, że … „ oznaczenie - negacja x

Oczywiście musi to być sensowne wyrażenie np.

jest zdaniem logicznym a wyrażenie nie jest .

Gdy zmiennym boolowskim w zdaniu logicznym A nadamy wartości 0 lub 1 co oznaczamy w(x)=0 lub w(x)=1, to całe zdanie uzyska również wartość logiczną którą oznaczamy w(A), gdy skorzystamy ze znanej tabeli wartości dla podstawowych spójników logicznych:

Uwaga dotycząca implikacji. Przyjęte wartości implikacji można uzasadnić rozważając zdanie:

„Jeśli odpowiesz na 3 pytania, to otrzymasz czwórkę” i analizując w których możliwych przypadkach uznamy je za prawdziwe; w implikacji x y x nazywamy poprzednikiem implikacji, a y następnikiem implikacji; również x nazywamy warunkiem dostatecznym (wystarczającym) dla y oraz y nazywamy warunkiem koniecznym dla x .

Przykład. Dla zdania logicznego A = dla wartości w(x)=0, w(y)=1 i w(z)=0 wartość zdania A jest równa w(A)=1. Dla zdania logicznegoA = x x mamy zawsze w(A) =1 bez względu na wartość zmiennej x.

W informatyce używa się jeszcze inne spójniki:

1. „ XOR „- alternatywa wykluczająca albo … albo … 2. „NAND” – zaprzeczenie koniunkcji

W celu uproszczenia zapisów przyjmujemy następującą hierarchię spójników:

Zdanie złożone nazywamy tautologią (lub prawem rachunku zdań) gdy jest ono prawdziwe (ma wartość 1) bez względu na wartości logiczne zmiennych wchodzących w jego skład.

Podstawowe tautologie i ich „zwyczajowe” nazwy:

1. Prawa przemienności koniunkcji i alternatywy

2. Prawa łączności koniunkcji i alternatywy

3. Prawa rozdzielności

4. Prawo identyczności

5. Prawa pochłaniania

6. Prawo podwójnego przeczenia

7. Prawo wyłączonego środka

8. Prawo sprzeczności

9. Prawa de Morgana

10. Prawo kontrapozycji

11. Definicja implikacji za pomocą alternatywy i negacji

12. Prawo zaprzeczenia implikacji

13. Definicja równoważności za pomocą implikacji i koniunkcji

14. Prawo Dunsa Szkota (inaczej ze sprzeczności można wyprowadzić „wszystko”)

Łatwo za pomocą „tabelki” sprawdzamy że powyższe zdania logiczne są tautologiami.

Oprócz tautologii, służących do upraszczania sieci logicznych będących podstawą działania

komputerów, w informatyce odgrywają pewną rolę zdania logiczne spełnialne. Zdanie logiczne

nazywamy spełnialnym, gdy istnieje wartościowanie zmiennych wchodzących w jego skład takie, że

wartość całego zdania jest równa 1. Zatem zdanie logiczne jest tautologią, gdy każde wartościowanie

nadaje mu wartość 1 a spełnialne, gdy przynajmniej jedno wartościowanie nadaje mu wartość 1.

Przykład. Zdanie logiczne spełnialne

dla na przykład wartościowania w(x)=0, w(y)=0, w(z)=0 ma wartość jeden. Dla wartościowania w(x)=1, w(y)=1, w(z)=0 całe zdanie ma wartość 0.

Zdanie logiczne, które nie jest spełnialne

Przez SAT oznaczamy zbiór zdań spełnialnych (od słowa satisfability). Sprawdzanie, czy dane zdanie jest sełnialne czy nie, jest prostsze, gdy sprowadzimy je do tzw. normalnej postaci. Mamy dwie, ważne postacie normalne zdań logicznych:

1. CNF – koniunktywna postać normalna (conjuctive normal form), 2. DNF – dysiunktywna postać normalna (disjunctive normal form).

Zdanie logiczne A jest w normalnej postaci CNF, gdy jest koniunkcją alternatyw zmiennych lub ich negacji

Zdanie logiczne A jest w normalnej postaci DNF, gdy jest alternatywą koniunkcją zmiennych lub ich negacji. Jest to postać analogiczna do powyższej z zamianą spójnika koniunkcji na alternatywę i odwrotnie.

Przykład.

Fakt. Każde zdanie logiczne można sprowadzić do normalnej postaci CNF i do normalnej postaci DNF.

Przykład sprowadzenia zdania logicznego do normalnej postaci CNF: stosujemy tautologie, w szczególności prawo podwójnego przeczenia, prawa de Morgana, prawa rozdzielności i inne.

Rozważmy następujące zdanie.:

Kolejne jego przekształcenia za pomocą tautologii dają równoważną CNF postać: