Zadania Arkusz 5

Zadania Arkusz 5 Równania i Nierówności

1. Rozwiąż równania:

i) |x + 3| + |x| = 7, ii) |x + |x + 1|| = 3, iii) x² − 2x − 3 = 0,

iv) x(x²− 2x + 3) = 0, v) x⁴ − 1 = 0,

vi) x³ − 2x²+ 2x − 1 = 0, vii) _x−1³ = _x+2¹ ,

viii) _x2^2x−9 = _x+2¹ , ix) _x+1³ + _x+2² = _x−1¹⁰ ,

x) √2x + 3 = 5,

xi) √

3x + 1 −√

x− 1 = 2, xii) x +√10x + 6 = 9, xiii) 2^x−4 = (√

2)^2−3x, xiv) 4 · 2^x2 = 2^3x,

xv) ^!2₃^"3x−7=^!3₂^"7x−2, xvi) 4^x− 9 · 2^x+ 8 = 0, xvii) log₃(3^x− 8) = 2 − x,

xviii) log₂^!1₂ + x^"= log₂ ¹₂ − log2x, xix) log₄(log₃(log₂x)) = ¹₂.

O d p o w i e d ź. i) x = −5 lub x = 2; ii) x = 1; iii) x = −1 lub x = 3; iv) x = 0;

v) x = −1 lub x = 1; vi) x = 1; vii) x = −7/2; viii) x ∈ ∅; ix) x = −4 lub x = −1, 4;

x) x = 11; xi) x = 1 lub x = 5; xii) x = 3 lub x = 25; xiii) x = 2; xiv) x = 1 lub x = 2;

xv) x = 0, 9; xvi) x = 0 lub x = 3; xvii) x = 2; xviii) x = 1/2; xix) x = 512.

2. Rozwiąż nierówności:

i) x² − 2x − 3 ! 0, ii) −x² + 4x − 4 ! 0, iii) x(x²− 2x + 3) > 0,

iv) x(x²− 4x + 3) > 0,

v) x⁴(x + 2)³(x − 1)(x + 1)² <0, vi) |x| + 2x > 2,

vii) _x2¹−1 <0, viii) 1 − ²x " 0,

ix) ^4−x_x−5 " _1−x¹

x) _x+1³ + _x+2² < _x¹⁰₋₁, xi) √

x− 2 + x > 4, xii) 3^x >27,

xiii) 5^2x2−1 ! 5^−x, xiv) log₂(2 + x) > 3,

xv) log¹

2 |x + 1| < 2.

O d p o w i e d ź. i) x ∈ [−1, 3]; ii) x ∈ (−∞, +∞); iii) x ∈ (0, +∞); iv) x ∈ (0, 1) ∪ (3, +∞); v) x ∈ (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1); vi) x ∈ (2/3, +∞); vii) x ∈ (−1, 1); viii) x ∈ (−∞, 0) ∪ [2, +∞); ix) x ∈ (1, 5); x) x ∈ [−4, −2) ∪ [−1, 4; −1) ∪ (1, +∞); xi) x ∈ (3, 6);

xii) x ∈ (3, +∞); xiii) x ∈ [−1, 1/2]; xiv) x ∈ (6, +∞); xv) x ∈ (−∞, −5/4)∪(−3/4, +∞).

3. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

i) f(x) = _x¹2 − ²_x + 3, ii) f(x) = _1−x^x 2,

iii) f(x) = log₅(x²− 7x + 12), iv) f(x) = _{ln x}¹ ,

v) f(x) =√

x²− 1,

vi) f(x) = 2^x+3, vii) f(x) = 6^√x,

viii) f(x) =^#1−x_1+x +_ln(−x+3)¹ , ix) f(x) =^#log¹

2

2x+1 x+2 .

O d p o w i e d ź. i) x ∕= 0; ii) x ∕= −1 i x ∕= 1; iii) x < 3 lub x > 4; iv) x > 0 i x ∕= 1;

v) x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞); vi) x ∈ R; vii) x ( 0; viii) x ∈ (−1, 1]; ix) x ∈ (−1/2, 1].

4. Narysować wykres funkcji:

1

Zadania Arkusz 5 i) f(x) = −x + 4,

ii) f(x) = ¹₃x− 2, iii) f(x) = x²− 2x + 3,

iv) f(x) = x²− 5x + 6, v) f(x) =√

x− 4,

vi) f(x) = 2^x, vii) f(x) = log₂x, viii) f(x) = |x + 2|,

ix) f(x) = |x| + |x − 1|.

O d p o w i e d ź. Wykorzystać stronę www.wolframalpha.com wpisując odpowiednie nazwy funkcji: abs() dla wartości bezwzględnej, sqrt() dla pierwiastka itp.

2