Zadania Arkusz 6 Pochodna funkcji - Różniczkowanie

(1)

!f(x) ± g(x)^"^′ = f^′(x) ± g^′(x);

(1)

!f(x) · g(x)^"^′ = f^′(x) · g(x) + f(x) · g^′(x);

(2)

#f(x)

g(x)

$_′

= f^′(x) · g(x) − f(x) · g^′(x)

(g(x))² ;

(3)

!f(g(x))^"^′ = f^′(g(x)) · g^′(x);

(4)

(xⁿ)^′ = nxⁿ⁻¹, (e^x)^′ = e^x, (a^x)^′ = a^xln a, (ln x)^′ = 1

x, (log_ax)^′ = 1 xln a. (5)

1. Obliczyć pochodne funkcji w dowolnym punkcie x:

i) f(x) = −2;

ii) f(x) = 2x³− x²; iii) f(x) = 4√x − 3 ln x;

iv) f(x) = 1 x; v) f(x) = 1

√x;

vi) f(x) =√³x;

vii) f(x) = x¹³;

viii) f(x) = (x²− x + 1)²;

ix) f(x) = x√x + ln(x²) − (x − 1)³; x) f(x) = x

√3

x − ln

% 1

√x

&

.

O d p o w i e d ź. i) f^′(x) = 0; ii) f^′(x) = 6x²− 2x; iii) f^′(x) = ^√²_x−_x³; iv) f^′(x) = −x¹²; v) f^′(x) = −_2x√x¹ ; vi) f^′(x) = ₃√3¹

x²; vii) f^′(x) = 13x¹²; viii) f^′(x) = 4x³ − 6x² + 4x − 2;

ix) f^′(x) = ³₂√

x+ ²_x − 3x²+ 6x − 3; x) f^′(x) = ₃√²3

x +_2x¹.

2. Za pomocą wzoru (2) na pochodną iloczynu zróżniczkować funkcje:

i) f(x) = (9x²− 2)(3x + 1);

ii) f(x) = (3x + 11)(6x²− 5x);

iii) f(x) = x²(4x + 6);

iv) f(x) = (2 − 3x)(1 + x)(x + 2);

v) f(x) = (x²+ 3)x⁻¹;

vi) f(x) = xe^x; vii) f(x) = x²ln x;

viii) f(x) = x5^x; ix) f(x) = e^xlog₂x;

x) f(x) = √xe^xln x.

O d p o w i e d ź. i) f^′(x) = 18x · (3x + 1) + (9x² − 2) · 3; ii) f^′(x) = 3 · (6x²− 5x) + (3x + 11) · (12x − 5); iii) f^′(x) = 2x · (4x + 6) + x²· 4; iv) f^′(x) = −3 · ((1 + x)(x + 2)) + (2 − 3x) · (1 · (x + 2) + (1 + x) · 1); v) f^′(x) = 2x · x⁻¹+ (x²+ 3) · (−x⁻²); vi) f^′(x) = 1 · e^x+ x · e^x; vii) f^′(x) = 2x · ln x + x²·_x¹; viii) f^′(x) = 1 · 5^x+ x · 5^xln 5; ix) f^′(x) = e^x· log2x+ e^x·_{x ln 2}¹ ; x) f^′(x) = _2√x¹ · e^xln x + √x · (e^x· ln x + e^x· ¹_x).

3. Za pomocą wzoru (3) na pochodną ilorazu zróżniczkować funkcje:

i) f(x) = 2x − 3 x+ 1 ; ii) f(x) = 5x

x²+ 1; iii) f(x) = 1

x+ ln x; iv) f(x) = 1 + e^x

1 − e^x

v) f(x) = e^x x− 2; vi) f(x) = x

e^x+ 2x; vii) f(x) = e^−x; viii) f(x) = xe^−x;

ix) f(x) = ln x x . 1

(2)

Zadania Arkusz 6 O d p o w i e d ź. i) f^′(x) = 2·(x+1)−(2x−3)·1

(x+1)² ; ii) f^′(x) = ^5·(x²_(x^+1)−5x·2x2+1)² ; iii) f^′(x) =

0·(x+ln x)−1·(1+¹x)

(x+ln x)² ; iv) f^′(x) = ^e^x^(1−e_(1−e^x^)−(1+ex)² ^x^)e^x; v) f^′(x) = ^e^x^(x−2)−e_(x−2)2^x^·1; vi) f^′(x) = ^1·(e^x^+2x)−x(e_(ex+2x)²^x⁺²⁾; vii) f^′(x) = ^0·e_(e^x^−1·ex)² ^x; viii) f^′(x) = ^1·e_(e^x^−x·ex)² ^x; ix) f^′(x) = ¹^x^{·x−ln x·1}_x2 .

4. Za pomocą wzoru (4) na pochodną złożenia zróżniczkować funkcje:

i) f(x) = (3x²− 13)³; ii) f(x) = (8x³− 5)⁹; iii) f(x) = 1

x⁴+ 3x; iv) f(x) = √³

x⁴− 2x

v) f(x) = ln(x⁵); vi) f(x) = e^−x²⁺³; vii) f(x) = ln(e^2x+ 3); viii) f(x) = e^e^ex.

O d p o w i e d ź. i) f^′(x) = 3(3x² − 13)² · (6x); ii) f^′(x) = 9(8x³ − 5)⁸ · (24x²); iii) f^′(x) = −_(x⁴_+3x)¹ ² · (4x³ + 3); iv) f^′(x) = ¹

3√³

(x⁴−2x)² · (4x³− 2); v) f^′(x) = _x¹5 · (5x⁴);

vi) f^′(x) = e^−x²⁺³· (−2x); vii) f^′(x) = _e2x¹+3 · (e^2x· 2); viii) f^′(x) = eêêx · eê^x · e^x. 5. Obliczyć pochodne funkcji:

i) f(x) =^'^x+1_x₋₁; ii) f(x) = 1

'√

x+ x²; iii) f(x) = ^log_1+x⁷^2x2 ;

iv) f(x) = e^√^{ln x};

v) f(x) = 1 + xe^x 1 − xe^x; vi) f(x) = x^x; vii) f(x) =^!1

x

"ln x

; viii) f(x) = (1 + x²)^x⁻². O d p o w i e d ź. i) f^′(x) = −^√_x2−1(x−1)¹ ; ii) f^′(x) = −₂√√ ¹

x+x²(√x+x²) · (_2√x¹ + 2x); iii) f^′(x) = ^{x ln 7}¹ ^(1+x_(1+x²^)−log2)² ⁷^2x·2x; iv) f^′(x) = e^√^{ln x}·₂^√¹_{ln x}·¹_x; v) f^′(x) = ^2e_(1−xe^x^(1+x)x)²; vi) Ponieważ f(x) = e^{x ln x}, to f^′(x) = e^{x ln x}· (ln x + x · _x¹) = x^x(lnx + 1); vii) Podobnie jak poprzednio f(x) = e^{ln x·ln}¹^x = e^{−(ln x)}², więc f^′(x) = e^{−(ln x)}²· (−2 ln x) ·¹_x; viii) f(x) = e(x−2) ln(1+x²), więc f^′(x) = e(x−2) ln(1+x²)· (ln(1 + x²) + (x − 2) ·_1+x^2x²).

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