Zadania Arkusz 1
Macierze - Wyznaczniki
1. Wyznaczyć wszystkie wartości x, dla których zachodzi równość:
i)
x2 1 1 x
=
1 1 x 1
; ii)
1 x x2
=
x2 x 1
; iii)
0 2x 3x 4x 5x 6x
=
5x 6x 4x 3x 0 2x
.
O d p o w i e d ź. i) x = 1, ii) x = 1, x = −1, iii) x = 0.
2. Wyznaczyć macierz transponowaną AT do macierzy A, gdzie
i) A =
1 2 3 4
;
ii) A =
3 1 0 2 1 −1
;
iii) A =
1 3 2 0 −2 2
; iv) A = 0 1 2 3;
v) A =
−1 2
;
vi) A =
0 0 5 3
1 0 −2 4
−1 0 3 0
2 2 0 0
;
vii) A =4. 3. Dla danych macierzy
A=
4 −1 6 9
; B =
0 3 3 −2
; C =
8 3 6 1
znaleźć:
i) A + B; ii) C − A; iii) 3A; iv) 4B + 2C. 4. Wykonać działania (o ile można):
i)
4 2 3 5 −2 0
+
1 3 2 4 5 −1
; ii)
1 0 3
+
−2
−11
;
iii)
1 2 3 4 1 5
+
0 3 −1 1 4 1
;
iv) 3
1 2 2 1 3 −1
−
0 0 0 0 0 0
; v) 2I + 3I.
5. Dane są macierze:
A=
2 8 3 0 5 1
; B=
2 0 3 8
; C=
7 2 6 3
.
i) Obliczyć A · B. Czy można obliczyć B · A? Dlaczego ?
ii) Obliczyć B · C. Czy iloczyn C · B jest określony? Jeśli tak, obliczyć C · B. Czy to prawda, że B · C = C · B?
6. Wykonać, o ile można, działania:
i)
1 2 3 1
·
1 −14 2 0 1
; ii)
3 4
·5 −2; iii) 5 −2·
3 4
;
1
Zadania Arkusz 1
iv) 1 0 −2·
2 −11 0 0 −2
;
v)
0
−13
·2 −1 0 −1;
vi)
1 0
−2 −1
·
3
−4
;
vii)
1 3 2
·0 1 5 8;
viii)
1 0
−2 3
·
−1 3 2 0 1 −4
;
ix)
1 −1 −2
0 3 0
·
−12 0
;
x) −1 0 1 −2·
3
−10 1
;
xi)
2 0 1 5 3 1
·
1 −3 2 5
;
xii)
1 0
−1
·2 −2 3;
xiii)
1 0 −2 2 −3 −1
·
0 −1
4 1
−2 0
;
xiv)
3 1 2 0 1 −1
·
2 1 0
−1 0 1
;
xv)
1 −23 1 2 −1
·
0 0 0 0
;
xvi)
3 −1
−1 0
2 1
·
1 0
.
O d p o w i e d ź. i) nie istnieje, ii)
15 −6 20 −8
, iii)7, iv)2 3, v)
0 0 0 0
−2 1 0 1 6 −3 0 −3
,
vi)
3
−2
, vii)
0 1 5 8 0 3 15 24 0 2 10 16
, viii)
−1 3 2
2 −3 −16
, ix)
−3 6
, x)−5, xi)
11 222 −6 5 −4
, xii)
2 −2 3
0 0 0
−2 2 −3
, xiii)
4 −1
−10 −5
, xiv)
5 3 1 4 2 0 3 1 −1
, xv)
0 0 0 0 0 0
, xvi)
3
−12
.
7. Dane są macierze:
A=
3 −1
−1 0
2 1
; B =
1 2
; C =−1 0 3.
i) Obliczyć A · B i B · C
¯.
ii) Obliczyć (A·B)·C i A·(B ·C). Czy prawdziwa jest równość (A·B)·C = A·(B ·C)?
8. Dane są macierze:
I2 =
1 0 0 1
; I3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
; A=
1 2 3 2 0 3
.
i) Obliczyć I2· A i A · I3.
ii) Czy I2· A = A dla dowolnej macierzy A wymiaru 2 × 3? Czy A · I3 = A dla dowolnej macierzy A wymiaru 2 × 3?
9. Rozwiązać równania macierzowe:
2
Zadania Arkusz 1
i) 3 1 2 3 0
+ X+
−1 0 5 4
= X; ii) X +
1 0 2 0 2 0
= 14X−
0 2 0 4 0 0
;
iii)
3 0 0 3
· X = 2X −
6 4 5 2 6 3
;
iv) 2X −
3 5 3 4 2 4
= X +
2 4 2 4 2 3
.
O d p o w i e d ź. i) X =
−1 −3
−7 −2
, ii) X = −13
4 2 8 4 8 0
, iii) X = −
6 4 5 2 6 3
,
iv) X =
5 9 5 8 4 7
.
10. Obliczyć wyznaczniki:
i) 5; ii)
1 0 0 1
; iii)
1 −2 0 2 1 −1
1 3 0
; iv)
5 −1 −1
6 1 3
−2 −1 4
;
v)
1 2 3 4
;
vi)
2 −3 0 1 1 1 −2 0 0 1 −1 1
−1 0 2 3
;
vii)
2 1 3 0 1 −2 1 3 1
;
viii)
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1
;
ix)
2 1 1 0 2 1 0 0 1
.
O d p o w i e d ź. i) 5, ii) 1, iii) 5, iv) 69, v) −2, vi) −8, vii) 9, viii) 0, ix) 4.
11. Stosując wielokrotnie rozwinięcie Laplace’a obliczyć wyznacznik:
0 4 0 2 0 1 5 0 1 2 0 6 4 3 2 1 1 0 2 0 1 1 0 0 0 2 0 0 3 0 0 1 0 0 6 0
.
O d p o w i e d ź. −27.
12. Dane są macierze:
A=
2 3 1 0 −1 2 1 2 3
i B =
3 1 2 1 0 −2 2 1 3
.
i) Obliczyć wyznaczniki det(A · B) i det(B · A).
ii) Sprawdzić, czy det(A · B) = det(B · A) (Twierdzenie Cauchy’ego).
13. Wyznaczyć wszystkie liczby x spełniające równanie:
i)
x 2
−1 x
=
0 3 x 1
; ii)
x 1 2 x x 0
−1 1 2
=
x −1 2 x
;
iii)
1 x 2
x −1 x
−5 −5 4
= 0; iv)
0 1 1 1 0 x 1 x 1
= 0;
3
Zadania Arkusz 1
v)
1 x x x 1 x x x 1
= 0; vi)
x2 3 2 x −1 1
0 1 4
= 0.
O d p o w i e d ź. i) x = −2, x = −1, ii) x = −1 −√
3, x = −1 +√
3, iii) x ∈ ∅, iv) x = 1/2, v) x = −1/2, x = 1 vi) x = 0, x = −2.
4
