Rachunek Prawdopodobie«stwa MAP1181 Wydziaª Matematyki, Matematyka Stosowana
Lista 5. Rozwi¡zanie zadania 5.4 - dodatkowy podpunkt (c) Opracowanie: Patrycja W¦grzyn
Zadanie 5.4
(c) Dobierz staªe a i b tak, aby funkcja F (x) =
0 dla x ¬ 0, ax+ b dla 0 < x ¬ 1, 1 dla x > 1
byªa dystrybuant¡
pewnej zmiennej losowej X o rozkªadzie ci¡gªym. Wyznacz g¦sto±¢ f(x) tego rozkªadu.
Rozwi¡zanie:
Funkcja F jest dystrybuant¡ pewnej zmiennej losowej X o rozkªadzie ci¡gªym, gdy speªnia trzy warunki konieczne (1, 2, 3) oraz jeden warunek dostateczny (4):
1. F jest ci¡gªa na R, 2. F jest niemalej¡ca na R, 3. limx→−∞F (x) = 0, limx→∞F (x) = 1,
4. F0(x)istnieje poza (co najwy»ej) sko«czon¡ liczb¡ punktów.
Ad. 3
x→−∞lim F (x) = lim
x→−∞0 = 0 V lim
x→∞F (x) = lim
x→∞1 = 1 ∀a,b Ad. 1
∀a,b funkcja F jest ci¡gªa na przedziaªach (−∞, 0), (0, 1) i (1, ∞), poniewa» zadana jest funkcjami elementarnymi na tych przedziaªach.
Aby funkcja ta byªa ci¡gªa na R, potrzeba i wystarczy zatem, aby byªa ci¡gªa w punktach 0 i 1, czyli
»eby zachodziªo:
lim
x→0+F (x) = F (0) (= lim
x→0−F (x))
x→1lim+F (x) = F (1) (= lim
x→1−F (x)) ⇔
x→0lim+(ax+ b) = a0+ b = 0
1 = a1+ b ⇔
( b = −1 a = 2 Zatem warunek 1 speªniony jest ⇔ a = 2, b = −1. Funkcja F ma wtedy posta¢:
F (x) =
0 dla x ¬ 0, 2x− 1 dla 0 < x ¬ 1, 1 dla x > 1
(1)
Wystarczy teraz zbada¢, czy F postaci (1) speªnia warunki 2. i 4.
Ad. 2
• F postaci (1) jest staªa na przedziaªach (−∞, 0) i (1, ∞),
• ∀x∈(0,1) F0(x) = 2xln 2 > 0 ⇒ F niemalej¡ca na (0, 1),
• F ci¡gªa na R.
1
Wynika st¡d, »e F postaci (1) jest niemalej¡ca na R.
Ad. 4 Mamy
F0(x) =
0 dla x < 0,
? dla x = 0, 2xln 2 dla 0 < x < 1,
? dla x = 1, 0 dla x > 1
Funkcja F jest wi¦c ró»niczkowalna na R poza (by¢ mo»e) dwoma punktami: 0 i 1.
Wniosek:
Funkcja F jest dystrybuant¡ pewnej zmiennej losowej X o rozkªadzie ci¡gªym ⇔ a = 2 i b = −1.
G¦sto±¢ tego rozkªadu to:
f (x) =
0 dla x ¬ 0, 2xln 2 dla 0 < x ¬ 1, 0 dla x > 1
2
