WEKTORYLOSOWERozk laddyskretnywektoralosowego(X,Y)jestwyznaczonyprzeztablic¸eY\Xx

WEKTORY LOSOWE

Rozk lad dyskretny wektora losowego (X, Y ) jest wyznaczony przez tablic¸e

Y \X x1 x2 x3 ...

y₁ p(x₁, y₁) p(x₂, y₁) p(x₃, y₁) ...

y₂ p(x₁, y₂) p(x₂, y₂) p(x₃, y₂) ...

... ... ... ... ...

gdzie p(x_i, y_j) = P(X = xi, Y = y_j). Liczby p(x_i, y_j) spe lniaj¸a nast¸epuj¸ace warunki:

p(x_i, y_j) ≥ 0 oraz

X

i,j

p(x_i, y_j) = 1.

Rozk lady brzegowe zmiennych X oraz Y to zbiory liczb P(X = xi) oraz P(Y = yj) takie, ˙ze:

P(X = xⁱ) = X

j

p(xi, yj),

P(Y = yj) = X

i

p(x_i, y_j).

Rozk lad ci¸ag ly wektora losowego (X, Y ) jest wyznaczony przez g¸esto´s´c praw- dopodobie´nstwa f (x, y) ≥ 0, podan¸a warunkiem

Z

R

Z

R

f (x, y)dxdy = 1.

Dla A ∈ B(R²) prawdopodobie´nstwo dane jest wzorem P ((X, Y ) ∈ A) =

Z

A

f (x, y)dxdy.

Dystrybuanta wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem

F (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) =

x

Z

−∞

y

Z

−∞

f (u, v)dvdu,

zatem

f (x, y) = ∂F (x, y)

∂x∂y . Rozk lady brzegowe zmiennych X oraz Y ::

f_X(x) =

∞

Z

−∞

f (x, y)dy,

f_Y(y) =

∞

Z

−∞

f (x, y)dx.

X, Y - niezale˙zne ⇔ F_X,Y(x, y) = F_X(x)F_Y(y) ⇔ f_X,Y(x, y) = f_X(x)f_Y(y).

1

Warto´s´c oczekiwana Z = g(X, Y ) dana jest wzorem

EZ = E(g(X, Y )) = Z

R

Z

R

g(x, y)f (x, y)dxdy.

Kowariancja zmiennych X i Y dana jest wzorem

Cov(X, Y ) = E[(X − EX)(Y − EY )] = E(XY ) − EXEY.

St¸ad

Cov(X, X) = E(X − EX)² = V ar(X).

Wsp´o lczynnik korelacji zmiennych X, Y dany jest wzorem corr(X, Y ) = Cov(X, Y )

pV ar(X)V ar(Y ),

je˙zeli D²X > 0, D²Y > 0, oraz corr(X, Y ) = 0 w przeciwnym przypadku.

2