Analiza Matematyczna Wykłady 12-13 Zastosowania całek

Analiza Matematyczna Wykłady 12-13 Zastosowania całek

Wydaje mi si¸ e, że ta wersja wykładów jest lepsza od poprzedniej, bo jest bardziej zwarta i bardziej nowoczesna. Wprowadzenie poj¸ ecia addytywnej funkcji zorientowanego przedziału po- zwoliło ujednolicić zastosowania całek poprzez przedstawienie pewnego schematu, na którym te zastosowania si¸ e opieraj¸ a.

Addytywna funkcja zorientowanego przedziału Definicja

Addtywn¸ a funkcj¸ a zorientowanego przedziału nazywamy odwzorowanie

(α, β) → J (α, β),

które każdej parze punktów (α, β) z ustalonego przedziału [a, b] przyporz¸ adkowuje liczb¸e J (α, β), w taki sposób, że dla dowolnej trójki punktów α, β, γ ∈ [a, b] spełniona jest równość

J (α, γ) = J (α, β) + J (β, γ).

Nast¸epuj¸ ace twierdzenie podaje warunek dostateczny na to aby addytywna funkcja była generowana przez całk¸e.

Twierdzenie

Jeśli dla addytywnej funkcji J (α, β) określonej dla punktów α, β ∈ [a, b], istnieje funkcja f całkowalna na [a, b] i taka, że

inf _x∈[α,β] f (x)(α − β) ≤ J (α, β) ≤ sup _x∈[α,β] f (x)(β − α)

dla dowolnych a ≤ α < β ≤ b, to

J (α, β) = Z b

a

f (x)dx.

Dowód

Niech P = {x ₀ , x ₁ , . . . , x _n } b¸edzie dowolnym podziałem przedziału [a, b] i niech m _j = inf {f (x) : x ∈ [x j−1 , x j ]} oraz M j = sup{f (x) : x ∈ [x j−1 , x j ]} dla j = 1, 2, . . . , n.

1

Z określenia addytywnej funkcji J , dla dowolnego przedziału [x _j−1 , x _j ] zachodz¸ a nierów- ności

m _j ∆x _j ≤ J(x _j−1 , x _j ) ≤ M _j ∆x _j

Sumuj¸ ac te nierówności i korzystaj¸ ac z addytywności funkcji J (α, β), otrzymujemy

L(f, P ) =

n

X

j=1

m _j ∆x _j ≤ J(a, b) ≤

n

X

j=1

M _j ∆x _j = U (f, P )

Wybierzmy dowoln¸ a liczb¸e  > 0. Wówczas istnieje podział P przedziału [a, b] taki, że U (f, P ) − L(f, P ) < . Mamy zatem

Z b a

f (x)dx −  < L(f, P ) ≤ J (a, b) ≤ U (f, P ) <

Z b a

f (x)dx +  St¸ ad

J (a, b) − Z b

a

f (x)dx    

< 

. Wobec dowoności liczby  > 0 otrzymujemy tez¸e twierdzenia .  Przejdziemy teraz do zastosowań powyższego twierdzenia.

Obj¸ etość bryły obrotowej

Przypuśćmy, że trapez krzywoliniowy aABb, obraca si¸e wokół osi Ox. Chcemy obli- czyć obj¸etość otrzymanej w ten sposób bryły. Oznaczmy przez V (α, β) obj¸etość bryły otrzymanej przez obrót trapezu αf (α)f (β)β. Z własności miary obj¸etości otrzymujemy nast¸epuj¸ ace zwi¸ azki:

V (α, γ) = V (α, β) + V (β, γ) oraz

π inf _x∈[α,β] f (x)
2

(β − α) ≤ V (α, β) ≤ π sup _x∈[α,β] f (x)
2

(β − α) Z twierdzeia wynika, że

V (a, b) = π Z b

a

f ² (x)dx

Zadanie 1

Obliczymy obj¸etość bryły powstałej przez obrót krzywej y = b q

1 − ^x _b

(górna połowa

2

elipsy) wokół osi Ox.

Rozwi¸ azanie

Ze wzgl¸edu na symetri¸e obliczymy obj¸etość bryły odpowiadaj¸ ac¸ a odcinkowi [0, a].

Mamy wi¸ec

V (a, b) = 2πb Z a

0

 1 − x ²

a ²



dx = 4 3 πab ² .

Obliczyliśmy obj¸etość elipsoidy. W szczególności, gdy a = b = R otrzymujemy wzór na obj¸etość kuli V (R) = ⁴ ₃ πR ³ .

Długość wykresu funkcji Definicja

Wykresem funkcji Γ w przestrzeni R ³ nazywamy odwzorowanie ci¸ agłe Γ : t → (x(t), y(t), z(t)

Jeśli przez l(α, β) oznaczymy długość drogi przebytej w przedziale czasu α ≤ t ≤ β to

dla a ≤ α < β ≤ b zachodz¸ a nierówności

l(αγ) = l(α, β) + l(β, γ);

inf _t∈[α,β] |v(t)|(β − α) ≤ l(α, β) ≤ sup _t∈[α,β] |v(t)|(β − α)

Na podstawie twierdzenia o zwi¸ azku addytywnej funkcji zorientowanego przedziału z całk¸ a Newtona

l(a, b) = Z b

a

|v(t)|dt = Z b

a

p (x ⁰ ) ² + (y ⁰ ) ² + (z ⁰ ) ² dt

Jeżeli pr¸edkość ciała dana jest funkcj¸ a w postaci jawnej f (x), to długość przebytej drogi obliczamy ze wzoru

l(a, b) = Z b

a

|v(t)|dt = Z b

a

p 1 + (f ⁰ (x)) ² dx

Zadanie 2

Obliczymy długość okr¸egu o promieniu R. Równania parametryczne okr¸egu:

 x = R cos t, y = R sin t

3

gdzie parametr t ∈ [0, 2π].

Długość okr¸egu jest wi¸ec równa l(0, 2π) =

Z 2π 0

p (−R sin t) ² + (R cos t) ² dt = R Z 2π

0

dt = 2πR

Pola powierzchni brył obrotowych

To zagadnienie pozostawiliśmy bez zmiany w porównaniu z wykładem dotycz¸ acym zastosowania całek w pliku calki.pdf, zamieszczonym na stronie autora tekstu

4