Zadanie 1.
Szkło ´scianki akwarium ma niewielk ˛ a grubo´s´c i współczynnik załamania n s , natomiast współ- czynnik załamania wody wynosi n w . Mała ryb- ka pływa w odległo´sci d od ´scianki (jej wew- n ˛etrznej strony), o´swietlona przez punktowe, izotropowe ´zródło ´swiatła, umieszczone tu˙z przy
´sciance
a) w wodzie,
b) na zewn ˛ atrz akwarium.
Przy przej´sciu ´swiatła z powietrza (poprzez
´sciank ˛e akwarium) do wody jest pochłania- ny ułamek jego pocz ˛ atkowego nat ˛e˙zenia równy 1 − η, gdzie 0 < η < 1. Pomi´n pochłanianie
´swiata w wodzie oraz jego odbicie na granicy o´srodków.
Ile wynosi I b /I a — stosunek nat ˛e˙ze´n o´swietle- nia rybki w obu przypadkach? Nat ˛e˙zenie o´swietlenia I definiujemy jako stosunek mocy padaj ˛ acego promieniowania do pola o´swietlonej powierzchni.
Dla n s = 1 , 50, n w = 1 , 33, d = 0, 2 m, η = 0, 7 okre´sl, w którym przypadku rybka jest lepiej o´swietlona.
Prosta poprowadzona od ´zródła ´swiatła do ry- bki jest prostopadła do ´scianki.
Zadanie 2.
Rozwa˙zmy solenoid o promieniu r i długo´sci l z
R i promieniu r 2 , przy czym r 1 < r 2 ≪ l. Ob- wód p ˛etli zawiera kondensator o pojemno´sci C, pocz ˛ atkowo nienaładowany. P ˛etl ˛e nało˙zono na solenoid (patrz rys.) w ci ˛ agu czasu T ≪ RC.
Wyznacz warto´s´c ładunku elektrycznego na kondensatorze natychmiast po przemieszczeniu p ˛etli.
Pomi´n pole magnetyczne wytwarzane przez p ˛etl ˛e.
Zadanie 3.
Wózek o całkowitej masie M posiada ruchomy zderzak zako´nczony spr ˛e˙zyn ˛a o stałej spr ˛e˙zys- to´sci k (patrz rysunek). Ruch zderzaka wzgl ˛e- dem wózka powoduje (poprzez koło z ˛ebate o promieniu r) obrót koła zamachowego o momen- cie bezwładno´sci I.
Wózek uderza z pr ˛edko´sci ˛ a V o w pionow ˛ a ´scian ˛e.
Wyznacz przyspieszenie wózka w zale˙zno´sci od czasu, jaki upłyn ˛ ał od chwili uderzenia zderzaka o ´scian ˛e.
Jaki warunek musz ˛ a spełnia´c M , k, I, V 0 , r, aby wózek w pewnym momencie si ˛e zatrzymał?
Pomi´n tarcie, mas ˛e spr ˛e˙zyny i zderzaka oraz momenty bezwładno´sci kół wózka. Pocz ˛ atkowo sp ˛e˙zyna jest nienapr ˛e˙zona, a koło zamachowe nie obraca si ˛e. O´s obrotu koła zamachowego nie przesuwa si ˛e wzgl ˛edem wózka. Masa M zawiera mas ˛e koła zamachowego.
Rozwa˙z tylko sytuacj ˛e, gdy zderzak wystaje
Rozwi ˛ azanie zadania 1
Rozwa˙zmy sytuacj ˛e w rzucie na płaszczyzn ˛e prostopadł ˛a do ´scianki — jak np. na powy˙zszym rysunku. Niech α b ˛edzie k ˛ atem, jaki skrajny promie´n padaj ˛ acy na rybk ˛e tworzy z normaln ˛ a do płaszczyzny ´scianki akwarium. Poniewa˙z grubo´s´c szkła ´scianki jest bardzo mała, w obu rozwa˙zanych przypadkach ten k ˛ at jest w przybli˙zeniu taki sam. W sytuacji przedstawionej na rysunku jest on dany wzorem α ≈ h/2 d , gdzie wykorzystali´smy fakt, ˙ze h ≪ d (rybka jest mała). W przypadku a) k ˛ at α jest k ˛ atem, jaki tworzy rozwa˙zany promie´n z normalna do ´scianki akwarium tu˙z po wyj´sciu ze ´zródła. W przypadku b) k ˛ at β, jaki tworzy rozwa˙zany skrajny promie´n z normaln ˛a do ´scianki akwarium tu˙z po wyj´sciu ze ´zródła, jest wi ˛ekszy z powodu załamania — patrz rysunek poni˙zej.
Stosuj ˛ ac prawo Snelliusa kolejno do załamania na granicy powietrze-szkło i załamania na granicy
szkło-woda otrzymujemy (patrz rysunek powy˙zej)
gdzie wykorzystali´smy to, ˙ze k ˛aty s ˛a małe (rybka jest mała). Zauwa˙zmy, ˙ze powy˙zszy wzór obo- wi ˛ azuje równie˙z dla dowolnych innych skrajnych promieni padaj ˛acych na rybk ˛e, np. je´sli rozwa˙zymy sytuacj ˛e w płaszczy´znie prostopadłej do ´scianki oraz płaszczyzny rozwa˙zanej dotychczas.
Poniewa˙z ´zródło jest izotropowe, nat ˛e˙zenie o´swietlenia rybki jest proporcjonalne do k ˛ata bryłowego okre´slonego przez te promienie wychodz ˛ ace ze ´zródła, które nast ˛epnie padaj ˛ a na rybk ˛e. Ten k ˛ at bryłowy w przypadku a) jest proporcjonalny do α 2 , natomiast w przypadku b) jest proporcjonalny do β 2 . Uwzgl ˛edniaj ˛ ac, ˙ze przy przej´sciu z powietrza do wody cz ˛e´s´c promieniowania jest pochłaniana, otrzymujemy
I b /I a = η · (n w ) 2 (2)
≈ 1, 24 > 1. (3)
Poniewa˙z w rozpatrywanym przypadku I b /I a > 1, rybka jest lepiej o´swietlona w przypadku b).
Rozwi ˛ azanie zadania 2
Zgodnie z prawem Faradaya siła elektromotoryczna indukowana w p ˛etli wynosi E = − dΦ
dt , (4)
gdzie Φ jest przechodz ˛ acym przez p ˛etl ˛e strumieniem indukcji pola magnetycznego. Zatem pr ˛ ad, jaki by płyn ˛ ał w p ˛etli, przy pomini ˛eciu napi ˛ecia na kondensatorze wyniósłby
I = E
R = − 1 R
dΦ
dt . (5)
St ˛ ad ładunek, jakim zostałby naładowany kondensator przy pomini ˛eciu napi ˛ecia na kondensatorze wyniósłby
Q = − Φ k − Φ p
R , (6)
gdzie Φ p jest pocz ˛ atkowym strumieniem indukcji magnetycznej przechodz ˛ acym przez p ˛etl ˛e, a Φ k
— ko´ncowym.
Pole magnetyczne wewn ˛ atrz solenoidu mo˙zna wyznaczy´c np. z prawa Ampere’a, otrzymuj ˛ac B = µ 0
NI 0
l ,
gdzie µ 0 jest przenikalno´sci ˛ a magnetyczn ˛ a pró˙zni. Poniewa˙z w du˙zej odległo´sci od solenoidu nie ma pola magnetycznego, a pole przekroju poprzecznego solenoidu wynosi πr 2 1 , mamy
Φ p = 0, Φ k = µ 0 πr 2 1 I 0 N
l . (7)
Zatem
Q = − µ 0 πr 1 2 I 0 N
Rl . (8)
Przy takim ładunku napi ˛ecie na kondensatorze wyniosłoby U = Q
C = − µ 0 πr 2 1 I 0 N
RCl . (9)
Gdyby na kondensatorze przez cały czas przemieszczania p ˛etli było napi ˛ecie U, to odpłyn ˛ ałby z niego ładunek o warto´sci
Q 2 = − U
R T = − T
RC Q. (10)
Poniewa˙z RC T ≪ 1, zatem |Q 2 | ≪ |Q| i w dobrym przybli˙zeniu szukany ładunek wynosi
µ
0πr
2 1
