LXIII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA

LXIII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA

CZ ˛ E´S´ C TEORETYCZNA Za ka˙zde zadanie mo˙zna otrzyma´c maksymalnie 20 punktów.

Zadanie 1.

Pewien akrobata potrafi utrzyma´c si ˛e dotykaj ˛ ac r ˛ekoma sufitu, a nogami ´sciany, przy czym k ˛ at, jaki tworzy on z pionem, wynosi 45

. Współczynniki tarcia r ˛ ak o sufit oraz nóg o ´scian ˛e s ˛ a sobie równe i wynosz ˛ a µ. Wyznacz minimaln ˛ a sił ˛e N

, z jak ˛ a akrobata musi naciska´c na ´scian ˛e (składow ˛ a prostopadł ˛ a do ´sciany), oraz odpowiadaj ˛ ac ˛ a jej sił ˛e N

, z jak ˛ a musi on naciska´c na sufit (składow ˛ a prostopadł ˛ a do sufitu).

Rys. 1. : Schematyczny rysunek akrobaty utrzymuj ˛ acego si ˛e mi ˛edzy ´scian ˛ a a sufitem.

Sufit jest poziomy, a ´sciana — pionowa. Akrobata nie jest zgi ˛ety, jego ci ˛e˙zar wynosi P , a ´srodek masy znaj- duje si ˛e dokładnie w połowie odległo´sci mi ˛edzy dło´nmi a stopami.

Zadanie 2.

Solenoid bez rdzenia ma N zwojów drutu o zerowym oporze nawini ˛etych na powierzchni ˛e walcow ˛ a o promie- niu r i wysoko´sci l, przy czym

≪ r ≪ l . Ko´nce drutu s ˛ a zwarte, a w chwili pocz ˛ atkowej nat ˛e˙zenie pr ˛adu w obwodzie było równe I. Rozwa˙z wymienione poni˙zej, niezale˙zne od siebie sytuacje. W punktach 1 i 2 przyjmij,

˙ze drut jest wiotki.

1. Jednakowo na całej długo´sci spłaszczono solenoid (zdeformowano jego przekrój), tak ˙ze powierzchnia przekroju zmalała dwukrotnie.

a) Oblicz ko´ncowe nat ˛e˙zenie pr ˛adu w obwodzie.

b) Oblicz prac ˛e mechaniczn ˛ a wykonan ˛ a podczas tego spłaszczenia solenoidu.

2. Solenoid równomiernie rozci ˛ agni ˛eto do długo´sci 2l (przy czym obowi ˛ azuje warunek

≪ r).

a) Oblicz ko´ncowe nat ˛e˙zenie pr ˛adu w obwodzie.

b) Oblicz prac ˛e mechaniczn ˛ a wykonan ˛ a podczas tego rozci ˛ agania.

3. Przyjmijmy, ˙ze rozwa˙zany solenoid jest spr ˛e˙zyn ˛a o stałej spr ˛e˙zysto´sci k. Wyznacz długo´s´c swobodn ˛a l

tej spr ˛e˙zyny wiedz ˛ac, ˙ze gdy płynie przez ni ˛a pr ˛ad o nat ˛e˙ze- niu I i nie działaj ˛ a ˙zadne siły zewn ˛etrzne, to ma ona długo´s´c l. Przyjmij, ˙ze g ˛esto´s´c zwojów przy ´sciskaniu i rozci ˛ aganiu pozostaje jednorodna.

Zadanie 3.

Stwierdzono, ˙ze temperatura wył ˛aczonego czajnika elek- trycznego, wypełnionego pewn ˛ a ustalon ˛ a ilo´sci ˛ a wody, zmienia si ˛e w czasie zgodnie ze wzorem:

T (t) = (T

− T

) e

+ T

,

gdzie T

jest temperatur ˛ a w chwili t = 0, T

— tem- peratur ˛ a otoczenia, α — stał ˛ a, natomiast e — podstaw ˛ a logarytmów naturalnych (e ≈ 2,718).

Gdy wł ˛ aczono czajnik, okazało si ˛e, ˙ze energia elek- tryczna potrzebna do osi ˛ agni ˛ecia przez czajnik tem- peratury T

pocz ˛ awszy od temperatury otoczenia T

wynosiła E

. Moc grzałki w tym przypadku wynosiła P

.

W wyniku zmiany napi ˛ecia zasilaj ˛ acego moc grzałki spadła do P

. Ile wynosi w tej sytuacji energia elek- tryczna potrzebna do osi ˛ agni ˛ecia przez czajnik temper- atury T

pocz ˛ awszy od temperatury otoczenia T

? Podaj wyniki liczbowe dla T

= 20

C, T

= 100

C, P

= 500 W, E

= 250000 J, α = 0, 001 1/s, oraz dwóch warto´sci P

: a) P

= 300 W, b) P

= 200 W.

Przyjmij, ˙ze pojemno´s´c cieplna czajnika z wod ˛a, czyli ilo´s´c ciepła niezb ˛edna do zmiany jego temperatury o je- den stopie´n, jest stała, a w danej chwili ka˙zda cz ˛e´s´c czaj- nika oraz woda maj ˛ a tak ˛ a sam ˛ a temperatur ˛e. Grzałka jest umieszczona wewn ˛ atrz czajnika tak, ˙ze cała dostar- czona do niej energia jest przekazywana czajnikowi i wodzie. Ilo´s´c wody w czajniku jest taka sama we wszys- tkich rozwa˙zanych sytuacjach.

Uwaga: dla małych x

e

≈ 1 + x.

Rozwi ˛ azanie zadania 1.

Niech siła tarcia r ˛ ak o sufit wynosi T ₁ , siła tarcia stóp o ´scian ˛e — T 2 .

Warunki równowagi s ˛ a nast ˛epuj ˛ ace (patrz. Rys. 2. — zaznaczono na nim siły działaj ˛ ace na akrobat ˛e):

Rys. 2.: Siły działaj ˛ ace na akrobat ˛e.

w pionie: P = T 2 − N 1 ,

w poziomie: T 1 = N 2 ,

równowaga momentów sił: (T 2 + N 1 ) ₂ ^{√ l} ₂ = (T 1 + N 2 ) ₂ ^{√ l} ₂ ,

(1)

gdzie l jest długo´sci ˛ a akrobaty od dłoni do stóp.

Poniewa˙z siły nacisku nie mog ˛a by´c ujemne, a P > 0, z pierwszych dwóch z powy˙zszych równa´n wynika, ˙ze równie˙z T 1 ≥ 0, T 2 ≥ 0.

Dodatkowo musz ˛ a by´c spełnione warunki wynikaj ˛ ace z definicji współczynnika tarcia

T 1 ≤ µN 1 , (2)

T 2 ≤ µN 2 . (3)

Oczekujemy, ˙ze minimalne N 2 odpowiada skrajnemu przypadkowi, tzn. T 1 = µN 1 lub T 2 = µN 2 . Odpowiada to oczekiwaniu, ˙ze zwi ˛ekszenie µ powoduje zmniejszenie minimalnego N 2 . Przyjmiemy takie zało˙zenie i sprawdzimy, ˙ze jest ono spełnione na podstawie ko´ncowych wyników.

Zakładaj ˛ ac, ˙ze w skrajnym przypadku T 2 = µN 2 , otrzymamy N 2 = P

2 (µ − 1) = T 1 , N 1 = 2 − µ

2 (µ − 1) P, T 2 = µP

2 (µ − 1) . (4)

Warunek 0 ≤ T 1 ≤ µN 1 w poł ˛ aczeniu z powy˙zszym daje 0 ≤ _2(µ−1) ^P ≤ µ _2(µ−1) ^2−µ P , czyli µ − 1 > 0 oraz 1 ≤ (2 − µ) µ. Ten warunek nie mo˙ze by´c spełniony — maksymalna warto´s´c (2 − µ) µ to 1 i jest osi ˛ agana dla µ = 1. Zatem zało˙zenie, ˙ze w skrajnym przypadku T 2 = µN 2 nie mo˙ze by´c spełnione.

Zakładaj ˛ ac, ˙ze w skrajnym przypadku T 1 = µN 1 otrzymamy N 1 = P

2 (µ − 1) , T 1 = µP

2 (µ − 1) = N 2 , T 2 = 2µ − 1

2 (µ − 1) P. (5)

Warunek 0 ≤ T ₂ ≤ µN ₂ w poł ˛ aczeniu z powy˙zszym daje 0 ≤ _2(µ−1) ^2µ−1 P ≤ µ ² _2(µ−1) ^P czyli µ − 1 > 0

oraz 2µ−1 ≤ µ ² . Warunek 2µ−1 ≤ µ ² jest spełniony zawsze, zatem nasze zagadnienie ma rozwi ˛ azanie

je´sli µ > 1 — działaj ˛ ace siły s ˛ a wtedy dane wzorami (5). Zauwa˙zmy, ˙ze N 2 = _2(µ−1) ^µP = ^P ₂

1 + _µ−1 ¹  jest (dla µ > 1) malej ˛ ac ˛ a funkcj ˛ a µ, czyli jest spełnione zało˙zenie, ˙ze minimalne N 2 odpowiada skrajnemu przypadkowi z (2), (3).

Zatem ostatecznie

N 1 = P

2 (µ − 1) , N 2 = µP

2 (µ − 1) , (6)

przy czym, aby sytuacja opisana w zadaniu była mo˙zliwa, µ musi by´c wi ˛eksze od 1.

Punktacja zadania 1.

Warunki równowagi sił i momentów sił (wzory (1) lub równowa˙zne) — 3 pkt.

Przyj ˛ecie, ˙ze minimalne N 2 odpowiada jednemu ze skrajnych przypadków T 1 = µN 1 lub T 2 = µN 2

(punkt nie przysługuje za zapis, z którego wynika ˙z ˛adanie spełnienia obu warunków jednocze´snie) — 1 pkt.

Siły nacisku przy zało˙zeniu T 2 = µN 2 (wzory (4)) lub argumentacja pozwalaj ˛ aca na odrzucenie tego przypadku) — 2 pkt.

Siły nacisku przy zało˙zeniu T 1 = µN ₁ (wzory (5)) — 2 pkt.

Wybór wła´sciwego rozwi ˛ azania z uzasadnieniem (wzory (6)) — 2 pkt.

Rozwi ˛ azanie zadania 2.

Zgodnie z prawem Faradaya siła elektromotoryczna indukowana w obwodzie wynosi E = − ^dΦ _dt , gdzie Φ jest strumieniem pola B. Je´sli opór drutu jest bardzo mały, to ta siła elektromotoryczna spowoduje przepływ bardzo du˙zego pr ˛adu. Taki pr ˛ad b ˛edzie wytwarzał pole magnetyczne przeciw- stawiaj ˛ ace si ˛e zmianie Φ. W granicy oporu d ˛ a˙z ˛acego do zera wytworzone pole magnetyczne mo˙ze by´c dowolnie du˙ze, czyli w tej granicy strumie´n pola B przechodz ˛acy przez powierzchni ˛e ograniczon ˛a drutem nie mo˙ze si ˛e zmienia´c. Zatem przy opisywanych w zadaniu deformacjach solenoidu nat ˛e˙zenie pr ˛ adu zmieni si ˛e tak, by strumie´n pozostał stały.

Z prawa Ampère’a wynika, ˙ze wewn ˛atrz solenoidu (poniewa˙z jest to standardowy wzór szkolny, nie przedstawiamy jego wyprowadzenia)

B = µ 0 I N

l , (7)

gdzie µ 0 jest przenikalno´sci ˛ a magnetyczn ˛ a pró˙zni.

To pole jest równoległe do solenoidu, a jego warto´s´c jest taka sama w ka˙zdym punkcie przekroju i nie zale˙zy od kształtu tego przekroju. Mamy zatem

Φ = BS, (8)

gdzie S jest polem przekroju poprzecznego solenoidu.

1a) Poniewa˙z S zmalało dwukrotnie, a Φ = const, zatem indukcja B musiała dwukrotnie wzrosn ˛a´c.

Z wzoru B = µ 0 IN/l wynika, ˙ze nat ˛e˙zenie pr ˛adu wzrosło dwukrotnie.

1 b) Pocz ˛ atkowa energia pola magnetycznego wynosiła E m = _2µ ¹

B ² · πr ² l (g ˛esto´s´c energii pola pomno˙zona przez obj ˛eto´s´c zawart ˛a wewn ˛atrz solenoidu; mo˙zna równie˙z oprze´c si ˛e na wzorze E ^m = LI ² /2). Dwukrotny wzrost B oznacza czterokrotny wzrost g ˛esto´sci energii, a po pomno˙zeniu przez dwukrotnie mniejsz ˛ a obj ˛eto´s´c otrzymujemy podwojenie energii pola. Wykonana praca jest wi ˛ec równa pocz ˛ atkowej energii:

W = E m = µ 0 π

2l N ² r ² I ² (9)

2a) Warunek ^2l _N ≪ r oznacza, ˙ze wydłu˙zenie solenoidu nie poci ˛agnie za sob ˛a zmniejszenia r, wi ˛ec skoro Φ = const, to i B = const. Na podstawie wzoru B = µ 0 IN/l wnioskujemy, ˙ze w tym przypadku równie˙z nast ˛api dwukrotny wzrost nat ˛e˙zenia pr ˛adu.

2b) Wykonana praca jest równa ró˙znicy ko´ncowej i pocz ˛atkowej energii pola magnetycznego W = µ 0 π

2 · 2l N ² r ² (2I) ² − µ 0 π

2l N ² r ² I ² = µ 0 π

2l N ² r ² I ² . (10)

Jest to taki sam wynik jak w pkt. 1 b).

3. Zgodnie z pkt. 2 energia pola magnetycznego spr ˛e˙zyny o długo´sci l x wynosi E m = 1

2µ 0

B ² · πr ² l x , (11)

przy czym B = µ 0 IN/l jest stałe. Całkowita energia E c = E m + 1

2 k (l x − l ₀ ) ² = 1 2µ 0

B ² · πr ² l x + 1

2 k (l x − l ₀ ) ² (12) jest minimalna w stanie równowagi, czyli dla l x = l. Korzystaj ˛ ac ze wzoru na minimum funkcji kwadratowej otrzymamy

l = l 0 − 1 k

1 2µ 0

B ² · πr ² . St ˛ ad

l 0 = l + 1 k

1 2µ 0

B ² · πr ² = l + 1 k

µ 0

2 N ²

l ² πr ² I ² . (13)

Przepływ pr ˛ adu powoduje wi ˛ec takie skrócenie spr ˛e˙zyny, jakby działała na ni ˛a siła ´sciskaj ˛aca F = ^µ ₂

^N _l

πr ² I ² .

Punktacja zadania 2.

Warunek Φ = const wraz z uzasadnieniem — 2 pkt.

Wzory (7) oraz (8) — 1 pkt.

Dwukrotny wzrost nat ˛e˙zenia pr ˛adu w przypadku 1. — 1 pkt.

Wykonana praca w przypadku 1. (wzór (9)) — 1 pkt.

Dwukrotny wzrost nat ˛e˙zenia pr ˛adu w przypadku 2. — 1 pkt.

Wykonana praca w przypadku 2. (wzór (10)) — 1 pkt.

Energia całkowita w przypadku 3. (wzór (12)) — 1 pkt.

Długo´s´c swobodna spr ˛e˙zyny (wzór (13)) — 2 pkt.

Rozwi ˛ azanie zadania 3.

Gdy grzałka jest wył ˛ aczona, zmiana temperatury czajnika od chwili t do chwili t + ∆t jest dla małych ∆t równa

∆T = (T P − T O ) e ^{−αt−α∆t} − (T P − T O ) e ^−αt = 

e ^−α∆t − 1 

(T P − T O ) e ^−αt = −α∆t (T P − T O ) e ^−αt . (14) Oznacza to, ˙ze szybko´s´c, z jak ˛a czajnik o temperaturze T oddaje ciepło otoczeniu (lub pobiera, je´sli T < T O ), wynosi

C ∆T

∆t = −Cα (T P − T O ) e ^−αt = −Cα (T − T O ) , (15) gdzie C jest pojemno´sci ˛ a ciepln ˛ a czajnika z wod ˛ a.

Gdy jest wł ˛ aczona grzałka o mocy P , szybko´s´c dopływu energii do czajnika o temperaturze T wynosi w sumie −Cα (T − T O ) + P , zatem równanie na szybko´s´c zmian temperatury czajnika przyjmie posta´c

C ∆T

∆t = −Cα (T − T O ) + P. (16)

Z matematycznego punktu widzenia jest to takie samo równanie, jak równanie C ^∆T _∆t = −Cα (T − T O ), pod warunkiem zamiany stałej T O na T O + _αC ^P . Zatem gdy grzałka jest wł ˛ aczona, zale˙zno´s´c tempe- ratury czajnika z wod ˛ a od czasu jest opisana wzorem

T (t) =



T P − T O − P αC



e ^−αt + T O + P

αC . (17)

W przypadku T P = T O ten wzór sprowadza si ˛e do T (t) = − P

αC e ^−αt + T O + P

αC . (18)

Je´sli grzałka oddała energi ˛e E 1 , to czas jej pracy wynosił t ₁ = E ₁ /P ₁ , co daje nast ˛epuj ˛ acy zwi ˛ azek mi ˛edzy E 1 i T K :

T K = − P 1

αC e ^−α

+ T O + P 1

αC . (19)

St ˛ ad mo˙zemy wyznaczy´c C

C = 1 − e ^−α

T K − T O

P 1

α . (20)

Zauwa˙zmy, ˙ze dla małych α ^E _P

otrzymaliby´smy po prostu C = E 1 / (T K − T O ).

Je´sli moc grzałki wynosi P 2 , nale˙zy we wzorze (19) zamieni´c P 1 na P 2 a E 1 na E 2

T K = − P 2

αC e ^−α

+ P 2

αC + T O . (21)

St ˛ ad mo˙zemy wyznaczy´c E 2

E 2 = − P 2

α ln



1 + (T O − T K ) αC P 2



(22)

= − P 2

α ln

 1 −

1 − e ^−α

 P ₁ P 2



. (23)

Zauwa˙zmy, ˙ze dla P 1 = P 2 otrzymamy E 1 = E 2 . Taki wynik otrzymamy równie˙z gdy α ^E _P

≪ 1 oraz α ^E _P

2

≪ 1 — odpowiada to pomini ˛eciu strat energii. Zauwa˙zmy równie˙z, ˙ze nie mo˙zna wyznaczy´c E 2 , gdy 1 −

1 − e ^−α



P

P

≤ 0, co odpowiada T K − T O > P 2 / (αC) — grzałka o mocy P 2 nie jest w stanie doprowadzi´c czajnika do temperatury T K .

Podstawiaj ˛ ac dane liczbowe otrzymamy:

E 2 ≈ 3, 2 · 10 ⁵ J, dla P 2 = 300 W, (24) E ₂ ≈ 8, 2 · 10 ⁵ J, dla P ₂ = 200 W. (25) Punktacja zadania 3.

Równanie na szybko´s´c zmian temperatury (bilansu cieplnego) (wzór (16)) wraz z uzasadnieniem

— 3 pkt.

Zale˙zno´s´c temperatury od czasu przy wł ˛aczonej grzałce (wzór (18)) — 2 pkt.

Pojemno´s´c cieplna (wzór (20) lub równowa˙zny) — 1 pkt.

Energia zu˙zyta w przypadku grzałki o mocy P 2 (wzór (23) lub równowa˙zny) — 2 pkt.

Dyskusja otrzymanego wyniku (zauwa˙zenie, ˙ze dla T K − T O > P 2 / (αC) otrzymanie temperatury ko´ncowej nie jest mo˙zliwe) — 1 pkt.

Wyniki liczbowe (wzory (24) oraz (25)) — 1 pkt.