LX OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA

LX OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA

CZ ˛ E´S´ C TEORETYCZNA

Za ka˙zde zadanie mo˙zna otrzyma´c maksymalnie 20 punktów.

Zadanie 1.

W dwóch s ˛ asiednich wierzchołkach kwadratu o boku a umieszczono dwa gło´sniki, a w jednym z pozostałych wierzchołków — mikrofon (patrz rys.). Oba gło´sniki wysyłaj ˛ a d´zwi ˛ek o stałej cz ˛estotliwo´sci f ⁰ . Od gło´snika (1) do gło´snika (2) porusza si ˛e ze stał ˛ a pr ˛edko´sci ˛ a kr ˛ a˙zek odbi- jaj ˛ acy fale d´zwi ˛ekowe. Gło´sniki i mikrofon s ˛ a kierunkowe i tak ustawione, ˙ze d´zwi ˛ek z gło´sników nie dociera bezpo´srednio do mikro- fonu, a jedynie po odbiciu od kr ˛ a˙zka, gdy znaj- duje si ˛e on w przybli˙zeniu w połowie odległo´sci mi ˛edzy gło´snikami. Stwierdzono, ˙ze nat ˛e˙zenie d´zwi ˛eku docieraj ˛ acego do mikrofonu oscylowało z cz ˛estotliwo´sci ˛ a ν, przy czym ν ≪ f ⁰ .

Jaka jest pr ˛edko´s´c V kr ˛ a˙zka?

Pr ˛edko´s´c d´zwi ˛eku wynosi V ^d . Przyjmij równie˙z,

˙ze V /ν ≪ a oraz, ˙ze rozmiar kr ˛a˙zka jest znacznie mniejszy od a. D´zwi ˛ek odbija si ˛e tylko od kr ˛ a˙zka. Amplituda fali d´zwi ˛ekowej docieraj ˛ acej do mikrofonu od gło´snika (1) jest w przybli˙zeniu równa amplitudzie fali d´zwi ˛ekowej docieraj ˛ acej do mikrofonu od gło´snika (2).

Warto´sci liczbowe podaj dla f ⁰ = 1000 Hz, ν = 10 Hz, a = 20 m, V ^d = 340 m/s.

Zadanie 2.

nad identyczn ˛ a, umocowan ˛ a płytk ˛ a. Płytki s ˛ a podł ˛ aczone do stałego napi ˛ecia U (patrz rys.).

Wyznacz cz ˛estotliwo´s´c małych, pionowych dr- ga´n płytki, je´sli w stanie równowagi odległo´s´c mi ˛edzy płytkami wynosi d ⁰ , przy czym d ⁰ ≪ a.

Stała spr ˛e˙zysto´sci ka˙zdej ze spr ˛e˙zyn jest równa k. Pomi´n samoindukcj ˛e obwodu i opór powie- trza.

Wynik liczbowy podaj dla U = 1000 V, a = 0, 1 m, d = 0, 001 m, m = 0, 1 kg, k = 25 N/m.

Przyspieszenie ziemskie g = 9, 8 m/s, przenikalno´s´c elektryczna pró˙zni ǫ ⁰ = 8, 9 · 10 ⁻¹² F/m.

Uwaga: dla |x| ≪ 1, w przybli˙zeniu liniowym mamy (1 + x) ⁿ ≈ 1 + nx, ln (1 + x) ≈ x, gdzie n jest dowoln ˛ a liczb ˛ a rzeczywist ˛ a.

Zadanie 3.

Rozwa˙zmy układ przedstawiony na rysunku.

Walec o masie m ^w , promieniu R i momencie bezwładno´sci wzgl ˛edem osi symetrii obrotowej I ^w = m ^w R ² /2 toczy si ˛e bez po´slizgu i bez tar- cia tocznego po pochyłej (o k ˛ acie nachylenia α) cz ˛e´sci klocka, a klocek o masie m ^k przesuwa si ˛e bez tarcia po nieruchomym stole. Masa ci ˛e˙zarka wynosi m ^c .

a) dla danych m ^k , m ^c , R, α wyznacz mas ˛e walca m ^w , przy której walec mo˙ze spoczywa´c wzgl ˛e- dem klocka;

b) dla danych m ^w , m ^k , R , α wyznacz mas ˛e ci ˛e˙zarka m ^c , przy której klocek mo˙ze spoczy- wa´c wzgl ˛edem stołu;

c) dla (dowolnych) danych m ^k , R, m ^w , α oraz

I wersja rozwi ˛ azania zadania 1.

Poniewa˙z kr ˛a˙zek si ˛e porusza, cz ˛estotliwo´s´c odbitej fali d´zwi ˛ekowej b ˛edzie ró˙zna od f ⁰ (efekt Dopplera) i b ˛edzie wynosi´c

f = f 0

1 − V

V d

 /

1 + V cos α V d



, (1)

gdzie przyj ˛eli´smy, ˙ze kr ˛a˙zek oddala si ˛e od gło´snika, a k ˛at pod jakim fala uległa odbiciu wynosi α (α = 0 odpowiada odbiciu z powrotem do gło´snika). Obserwowany efekt zmian nat ˛e˙zenia odbieranego d´zwi ˛eku — dudnienie — bierze si ˛e nakładania si ˛e odbitych fal pochodz ˛ acych z obu gło´sników. Poniewa˙z cz ˛estotliwo´s´c dudnienia jest równa ró˙znicy cz ˛estotliwo´sci fal składowych, dostajemy, ˙ze

ν =

 

 f ⁰

1 − V

V d

 /

1 + V cos α 1

V d



− f ⁰

1 + V

V d

 /

1 + V cos α 1

V d

 

  (2)

=

 

 f ⁰ 2V

V d

 

  /

1 + V cos α 1

V d



, (3)

gdzie k ˛ at α ¹ to k ˛ at gło´snik (1) — kr ˛ a˙zek (znajduj ˛acy si ˛e w połowie odległo´sci mi ˛edzy głosnikami) — mikrofon. We wzorze (2) wykorzystali´smy fakt, ˙ze k ˛at gło´snik (2) — kr ˛a˙zek — mikrofon jest równy π − α ¹ , oraz, ˙ze dla d´zwi ˛eku pochodz ˛acego od gło´snika (2) nale˙zy we wzorze (1) zamieni´c V na −V .

Ze wzoru (3) mo˙zemy wyznaczy´c V

V = V d ν 2f 0

1 1 − 2 ^ν f

cos α 1

. (4)

Z warunków zadania wynika, ˙ze cos α ¹ ≈ 1/ √

5, zatem V = V _d ν

2f 0

1

1 − ₂ ^{√ ν} _{5 f}

(5)

Poniewa˙z ν ≪ f ⁰ , w przybli˙zeniu otrzymujemy

V ≈ V d

ν

2f ⁰ (6)

≈ 1, 7 m

s . (7)

Zauwa˙zmy, ˙ze ze wzoru (3) bez jawnego wyznaczania V wynika, ˙ze V/V d ≪ 1, a zatem przybli˙zenie (6) mo˙zna otrzyma´c wprost z (3) przybli˙zaj ˛ac 1 + ^{V cos α} _V

≈ 1.

Punktacja I wersji rozwi ˛ azania zadania 1.

Zauwa˙zenie, ˙ze obserwowany efekt zmian nat ˛e˙zenia d´zwi ˛eku to zjawisko dudnienia i podanie, ˙ze cz ˛es- totliwo´s´c dudnie´n jest równa ró˙znicy cz ˛estotliwo´sci dochodz ˛acych fal — 3 pkt.

Cz ˛estotliwo´sci fali "odbieranej" przez mikrofon (wzór (1) lub równowa˙zny) — 2 pkt.

Cz ˛estotliwo´sci dudnie´n (wzór (3) lub równowa˙zny) — 2 pkt.

Wynik ko´ncowy (6) lub (5) — 2 pkt.

Wynik liczbowy (7) — 1 pkt.

II wersja rozwi ˛ azania zadania 1.

Fale d´zwi ˛ekowe rozchodz ˛ a si ˛e jako małe zaburzenia g ˛esto´sci powietrza. Oznaczamy przez n(t) g ˛esto´s´c powietrza w danym punkcie, a przez n 0 g ˛esto´s´c równowagow ˛ a przy braku fal d´zwi ˛ekowych. Amplitud ˛e fal oznaczamy jako A(t) = n(t) − n ⁰ . Rozwa˙zmy sytuacj ˛e, w której gło´sniki w wierzchołkach kwadratu s ˛a wył ˛ aczone, a w kr ˛ a˙zku umieszczony jest gło´snik wysyłaj ˛acy fal ˛e w kierunku mikrofonu (patrz rys.). Poniewa˙z według tre´sci zadania pr ˛edko´s´c d´zwi ˛eku jest równa V d , to amplituda fal zarejestrowana przez mikrofon A m

w chwili t ma si ˛e do amplitudy fali wyemitowanej przez kr ˛ a˙zek A ⁰ nast ˛epuj ˛ aco A m (t) = γ ^′ A 0 (t ^′ ) = γ ^′ A 0 (t − d ^′

V d ), (8)

gdzie d ^′ = x ^′ / cos α ^′ jest odległo´sci ˛ a kr ˛ a˙zka od mikrofonu w chwili t ^′ , kiedy została wyemitowana fala d´zwi ˛ekowa dochodz ˛ aca do mikrofonu w chwili t, tj. spełniaj ˛ aca zale˙zno´s´c d ^′ = V d (t − t ^′ ), natomiast γ ^′ jest współczynnikiem odpowiadaj ˛ acym m. in. za osłabienie d´zwi ˛eku ze wzrostem odległo´sci d ^′ . Zauwa˙zmy, ˙ze powy˙zsza zale˙zno´s´c jest ogólna, bowiem nie skorzystali´smy jeszcze z ˙zadnych zało˙ze´n z tre´sci zadania.

Przejd´zmy teraz do problemu fal odbijaj ˛ acych si ˛e od kr ˛ a˙zka. Amplituda fali odbitej zmienia si ˛e w czasie, w zale˙zno´sci od tego, czy fale (zaburzenia g ˛esto´sci) pochodz ˛ace od dwóch gło´sników interferuj ˛a ze sob ˛a konstruktywnie czy destruktywnie. Poniewa˙z kr ˛ a˙zek znajduje si ˛e w polu fali stoj ˛acej wytworzonej przez oba gło´sniki, a odległo´s´c mi ˛edzy dwoma w ˛ezłami wynosi V _d /2f 0 , amplituda fal odbitych od kr ˛ a˙zka zmienia si ˛e z cz ˛estotliwo´sci ˛ a

ν 0 = V 2f 0

V d (9)

Poniewa˙z cz ˛estotliwo´s´c ta jest tego samego rz ˛edu co cz ˛estotliwo´s´c ν zarejestrowana przez mikrofon, a ν ≪ f ⁰ , wnioskujemy ˙ze V ≪ V d . Obliczmy teraz cz ˛estotliwo´s´c ν. U˙zyjemy w tym celu zale˙zno´sci (8). Rysunek poni˙zej pokazuje przykładowy przebieg zmienno´sci amplitudy fali odbitej od kr ˛a˙zka A ⁰ i zarejestrowanej przez mikrofon A m . Cz ˛estotliwo´s´c oscylacji obliczamy jako odwrotno´s´c czasu pomi ˛edzy kolejnymi maksi- mami powolnych zmian amplitudy (dudnie´n)

ν 0 = 1

τ ⁰ (10)

ν m = 1

τ m

t A

0

t A

m

γ

τ

τ

Poniewa˙z γ jest bardzo wolno zmienn ˛a funkcj ˛a czasu (charakterystyczny czas zmian jest rz ˛edu a/V , du˙zo wi ˛ekszym od 1/ν), nie ma ona wpływu na cz ˛estotliwo´s´c zarejestrowanych oscylacji. Obliczmy teraz ν m

bior ˛ ac pod uwag ˛e dwa kolejne maksima wyemitowane przez kr ˛ a˙zek w strzałkach fali stoj ˛acej w poło˙zeniach x ^′ 1 i x ^′ 2

ν = 1

τ m = 1

τ 0 + ^d

_V ^−d

≈ ν ⁰



 1

1 + _V

^x _τ

^−x _cos

_α



 . (11)

Poniewa˙z x ^′ 2 − x ^′ 1 = V τ 0 ≪ V d τ 0 , to w ramach przyj ˛etych zało˙ze´n ν = ν ⁰ , a wi ˛ec z równania (9) V = V _d ν

2f 0

. (12)

Punktacja II wersji rozwi ˛ azania zadania 1.

Przyj ˛ecie, ˙ze kr ˛a˙zek porusza si ˛e w polu fali stoj ˛acej powstałej przez interferencj ˛e fal pochodz ˛acych z gło´sników — 2 pkt.

Cz ˛estotliwo´sci zmian amplitudy fal odbitych od kr ˛ a˙zka (wzór (9) lub równowa˙zny) — 3 pkt.

Uzasadnienie, ˙ze V ≪ V d i w konsekwencji ν ≈ ν ⁰ — 2pkt.

Wynik ko´ncowy (6) — 2 pkt.

Wynik liczbowy (7) — 1 pkt.

Rozwi ˛ azanie zadania 2

Niech odległo´s´c mi ˛edzy płytkami wynosi d = d ⁰ + x. Płytki tworz ˛ a kondensator płaski o pojemno´sci C = ǫ 0 a ² /d, zatem warto´s´c ładunku na ka˙zdej z nich wynosi

Q = CU = ǫ ⁰ a ² U/d. (13)

Pole elektryczne pomi ˛edzy okładkami wynosi E pom = U/d i jest prostopadłe do ich powierzchni, nato- miast pole na zewnatrz kondensatora jest zerowe. ´Zródłem ró˙znicy jest pole elektryczne wytwarzane przez dan ˛ a płytke. Pole to jest symetryczne i prostopadłe do powierzchni płytki, zatem ka˙zda z płytek znajduje si ˛e w polu elektrycznym o nat ˛e˙zeniu E zew = U/ (2d). Górna płytka jest wi ˛ec przyciagana przez doln ˛ a sił ˛ a

F E = QE zew = ǫ 0 a ² U ² /  2d ²

(14)

Prócz tego na t ˛e płytk ˛e działaj ˛ a spr ˛e˙zynki oraz grawitacja, zatem równanie ruchu wisz ˛acej płytki ma posta´c

m d ² x

dt ² = −mg + 4k (∆l − x) − ǫ 0 a ² U ²

2d ² , (15)

gdzie ∆l jest wydłu˙zeniem spr ˛e˙zyny odpowiadaj ˛acym stanowi równowagi, a ∆l − x — wydłu˙zeniem spr ˛e˙zyny w danej chwili.

Dla małych x mamy d ⁻² = d ⁻² 0 (1 − 2x/d ⁰ ), zatem m d ² x

dt ² =

−mg + 4k∆l − ǫ 0 a ² U ² 2d ² 0

−

4k − ǫ 0 a ² U ² d ³ 0



x. (16)

Z warunku równowagi wynika, ˙ze niezale˙zny od x wyraz w powy˙zszym równaniu jest równy zeru.

Zatem otrzymujemy równanie ruchu oscylatora harmonicznego o cz ˛estotliwo´sci

f = 1 2π

 4k

m − ǫ 0 a ² U ² md ³ 0

(17)

≈ 1, 7 1

s . (18)

Punktacja zadania 2.

Zwi ˛ azek mi ˛edzy Q i U (wzór (13) lub równowa˙zny) — 1 pkt.

Siła elektryczna działaj ˛ aca na płytk ˛e (wzór (14) lub równowa˙zny) — 3 pkt.

Równanie ruchu wisz ˛ acej płytki (wzór (15) lub równowa˙zny) — 2 pkt.

Przybli˙zone ruchu wisz ˛acej płytki (wzór (16) lub równowa˙zny) — 1 pkt.

Cz ˛estotliwo´s´c drga´n płytki wokół poło˙zenia równowagi (wzór (17)) — 2 pkt.

Warto´s´c liczbowa cz ˛estotliwo´sci drga´n płytki (wzór (18)) — 1 pkt.

Rozwi ˛ azanie zadania 3.

c) załó˙zmy ˙ze klocek (a zatem i ci ˛e˙zarek) poruszaj ˛a si ˛e z przyspieszeniem a k . W nieinercjalnym układzie zwi ˛ azanym z klockiem wzdłu˙z pochyło´sci na klocek działaj ˛a: siła tarcia T , składowa siły grawitacyjnej i składowa siły bezwładno´sci, nadaj ˛ ac nadaj ˛ ac walcowi przyspieszenie a w i przyspieszenie k ˛ atowe ε

m w a w = m w g sin α − m ^w a k cos α − T, (19)

I w ε = T R, (20)

przy czym z warunku braku po´slizgu wynika

a w = Rε. (21)

St ˛ ad

a w = m w g sin α − m w a k cos α m w + I w /R ²

= 2

3 (m w g sin α − m ^w a k cos α) , (22)

T = m w g sin α − m w a k cos α m w + I w /R ²

I w

R ²

= g sin α − a k cos α

3 m w (23)

Prostopadle do klocka na walec działaj ˛ a odpowiednie składowe siły grawitacji i bezwładno´sci równe w

sumie sile reakcji klocka F R

Przyspieszenie układu klocek + ci ˛e˙zarek jest okre´slone przez sił ˛e ci ˛e˙zko´sci działaj ˛ aca na ci ˛e˙zarek, poziom ˛ a składow ˛ a siły tarcia walca i poziom ˛ a składow ˛ a siły nacisku walca:

(m k + m c ) a k = m c g − F R sin α + T cos α. (25) St ˛ ad

m c = F R sin α − T cos α + m k a k

g − a k

. (26)

Po wstawieniu wyznaczonych poprzednio F R i T otrzymujemy m c =

2

3 m w g cos α sin α − ² 3 m w a k cos ² α + m w a k + m k a k

g − a k . (27)

b) wstawiaj ˛ ac w poprzednich wzorach a k = 0 otrzymamy

m c = −m w g cos α sin α + _m ^m

₊ ^{g sin α} _I

_/R

^I _R

cos α

−g (28)

= 2

3 m w cos α sin α. (29)

a) wstawiaj ˛ ac we wzorach z punku c) a w = 0 otrzymamy

a k = g tg α, T = 0, F R = m w g

cos α ,

(m k + m c ) g tg α = m c g − m w g tg α.

Zatem

m w = m c / tg α − (m k + m c ). (30)

Oczywi´scie aby otrzyma´c wyniki w punktach a) i b) mo˙zna od pocz ˛atku przyj ˛a´c a w = 0 lub a k = 0.

Punktacja zadania 3.

Masa walca odpowiadaj ˛ aca przypadkowi a) (wzór (30)) — 2 pkt.

Masa ci ˛e˙zarka odpowiadaj ˛aca przypadkowi b) (wzór (29)) — 3 pkt.

Równania ruchu walca w układzie walca (wzory (19) i (20)) oraz warunek braku po´slizgu (21)) lub wzory równowa˙zne — 2 pkt.

Siła reakcji klocka (wzór (24) lub równowa˙zny) — 1 pkt.

Równanie ruchu ukladu klocek + ci ˛e˙zarek (wzór (25) lub równowa˙zny) — 1pkt.

Masa ci ˛e˙zarka w przypadku c) (wzór (27) lub równowa˙zny) — 1 pkt.