Metoda obliczania wartości promienia zasięgu wpływów głównych z wykorzystaniem danych geomechanicznych skał

Witold Paleczek

METODA OBLICZANIA WARTOŚCI PROMIENIA ZASIĘGU

WPŁYWÓW GŁÓWNYCH Z WYKORZYSTANIEM DANYCH

GEOMECHANICZNYCH SKAŁ

Wprowadzenie

W związku z procesem zachodzącym w górotworze, polegającym na przemiesz- czaniu się elementów skalnych w stronę zaistniałych przestrzeni poeksploatacyjnych, powstało szereg modeli tego zjawiska, których szczegóły przedstawiono w cytowa-nych pracach [1-10]. W celu powiązania teoretyczno-empirycznego zaproponowa- nych w niniejszej pracy modyfikacji elementów teorii W. Budryka - S. Knothego przedstawionej w pracach [3-10] z geomechanicznymi własnościami skał w góro-two- rze podano formuły opisujące wskaźniki deformacji według tej teorii oraz według teorii M. Chudka - L. Stefańskiego [1, 2, 7, 8]. Przedstawiono autorski algorytm do obliczania promienia zasięgu wpływów głównych r oraz tangensa kąta wpływów głównych β według modelu górotworu opisanego w pracy [8].

1. Zestawienie wzorów do obliczania wskaźników deformacji

według teorii W. Budryka - S. Knothego

Przemieszczenia pionowe - obniżenia

Zgodnie z założeniami teorii W. Budryka - S. Knothego przedstawionymi w pra- cach [3, 4, 6-9], przemieszczenia pionowe niecki obniżeniowej w granicach nie-skończonej półpłaszczyzny określa równanie:

 

 

_

   x r x dx e r w x w 2 2 max  (1) w którym: g a w_max  (2)

wmax - maksymalne obniżenie warstw stropowych,

a - współczynnik eksploatacyjny, opis liczbowy wypełniania pustki poeksploa-tacyjnej, nazywany także: współczynnikiem obniżenia powierzchni, współ- czynnikiem osiadania, współczynnikiem kierowania stropem - jest to parametr opisujący sposób wypełnienia pustki poeksploatacyjnej (wielkość bezwymia- rowa),

g - grubość wyeksploatowanego pokładu, m,

r - promień zasięgu wpływów głównych (parametr rozproszenia wpływów eks-ploatacji górniczej), m, określony wzorem [4]:

 tg

H

r (3)

w którym:

H - głębokość wyeksploatowanego pokładu, m,

tgβ - tangens kąta zasięgu wpływów głównych.

Promień zasięgu wpływu eksploatacji na horyzoncie z nad wyeksploatowanym po-kładem określany jest zależnością:

n z H z r r         (4) lub zależnością: n z _{H z} z z r r _          0 0 ₍₅₎

We wzorze (5) poszczególne parametry oznaczają [6]:  tg H r 665 , 0  n n n H z ₁ 1 0 1       1,96489 tg 0548 , 0 1       e Nachylenia terenu

Nachylenie terenu w brzegowej części profilu niecki zdefiniowane jest jako po-chodna przemieszczenia pionowego:

 

2 2 max r x e r w x w x T         (6) przy czym: r w T max max  (7)

Na rysunku 1 przedstawiono wizualizację do wzoru (6); wzór (7) spełniony jest dla relacji x = 0.

Krzywizna profilu niecki osiadania i jej promień W teorii W. Budryka - S. Knothego krzywiznę określono wzorem:

2 2 3 max 2 2 2 ) ( r x e r x w x w x T x K                (8) przy czym: 2 max 2 max max 1,52 2 r w r w e K      (9)

Na rysunku 1 przedstawiono wizualizację graficzną wzoru (8). Przemieszczenia poziome

Na powierzchni terenu przesunięcia poziome powodują wyboczenia liniowych obiektów budowlanych. Przemieszczenia poziome definiowane są przy założeniu ich proporcjonalności do nachyleń według postulatu S.G. Awierszyna [4, 6-10]:

 

B T

 

x x w B x u        (10)

Ze wzoru (10) wynika, że:

 

 

x T x u B  (11)

Współczynnik proporcjonalności B określony jest wzorem [4, 6]: r π r B     0,4 2 (12)

stąd:

 

2 2 2 max r x e w x u        (13) przy czym: max max max 04 2 π , w w u     (14)

Wartość parametru B jest zmienna w zależności od rodzaju nadległego górotworu

i w literaturze znajdujemy propozycje obliczania ze wzoru:







r

 0,31 0,32

B (15)

Znajdujemy także zależność wynikającą z rozwiązania przestrzennego zadania linio- wej teorii sprężystości w zastosowaniu do prognozowania deformacji górotworu pod wpływem eksploatacji górniczej, określoną wzorem [6]:

   tg 1 102 , 0 r B    dla  0,15 (16)  tg 6 , 0 r B  

Na rysunku 1 przedstawiono wykres teoretycznego przebiegu przemieszczeń po-ziomych według wzoru (13).

Odkształcenia poziome

Odkształcenie poziome jest określane jako pierwsza pochodna przemieszczenia poziomego i dla nieskończonej półpłaszczyzny określane jest jako:

 

2 2 2 max 2 r x e x r w x K B x u x                   (17) przy czym r w r w e r w

e max max max

max 0,6 2 2                (18)

Wzór (17) otrzymano przy podstawieniu współczynnika

   2 r B [4, 6].

Na rysunku 1 przedstawiono wizualizację graficzną wzoru (17).

Rys. 1. Wykresy teoretycznego obniżenia w, nachylenia T, krzywizny K, przemieszczenia poziomego u, odkształcenia poziomego ε powierzchni terenu w wyniku wyeksploatowania nieskończonej półpłaszczyzny przy zadanych przykładowych wartościach parametrów:

r1 = 190 m, i w_1max = 1 m (linia ciągła) oraz r2 = 100 m i w_2max = 1 m (linia przerywana)

- według wzorów teorii W. Budryka - S. Knothego

2. Zestawienie wzorów do obliczania wskaźników deformacji

według teorii M. Chudka - L. Stefańskiego

Teoretyczne ujęcie wpływu podziemnej eksploatacji złóż na deformację po- wierzchni terenu według teorii M. Chudka - L. Stefańskiego bazuje na założeniach warstwowej budowy górotworu i uwzględnia własności geomechaniczne skał. Funk- cja wpływów oparta jest na rozkładzie normalnym. Teoria ta stanowi uzasadnienie

do przyjętego wpracy[8] założenia, że istnieją możliwości oszacowania wartości

promienia zasięgu wpływów głównych r i parametru tgβ jeszcze przed wytwo-

rzeniem się niecki obniżeniowej (bazując na danych fizykomechanicznych skał

pozyskanych z otworów wiertniczo-badawczych z okolic rejonu przewidzianego do eksploatacji). Wzory tej teorii przedstawione w pracach [1, 7] odniesione są do skał występujących w Górnośląskim Zagłębiu Węglowym. Kąt zasięgu wpływów eksploatacyjnych według teorii M. Chudka - L. Stefańskiego oznaczono zmienną u (patrz rys. 8), natomiast w teorii W. Budryka - S. Knothego kąt ten jest oznaczo-ny zmienną β.

Przemieszczenia pionowe - obniżenia

Funkcję obniżeń w zależności od głębokości horyzontu z określono wzorem:

 



_

_              x r r d R H R H w x w _max  exp  2   (19) w którym: g a w_max  , m (20) r

R - średnia wytrzymałość skał na rozciąganie, MPa,  - średni ciężar objętościowy skał, MPa/m.

Prezentację graficzną funkcji (19) pokazano na rysunku 2.

Rys. 2. Wizualizacja wzoru (19) przy przyjętych wartościach: = 0,02 MPa/m,

Nachylenia Funkcję nachyleń określono wzorem:

 

 

_                 r r H R x R H w x x w x T    2 max exp (21) Nachylenie maksymalne: r R H w T    _max  max , mm/m (22)

Prezentację graficzną wzoru (21) pokazano na rysunku 3.

Rys. 3. Wizualizacja wzoru (21) przy przyjętych wartościach: = 0.02 MPa/m,

wmax = 3.1 m,R = 2 MPa, 150 ≤ H ≤ 1500 m, −250 ≤ x ≤ 250 m _r

Krzywizny Funkcję krzywizn określono wzorem:

 

 

_                      r r r H R x R H R H x w x x w x K 2 _{2 max} 2    exp  2  (23) Krzywizna maksymalna: r R H w K     max  max 1,5 , km−1 (24)

Rys. 4. Wizualizacja wzoru (23) przy przyjętych wartościach: = 0,02 MPa/m,

wmax = 3,1 m,R = 2 MPa, 150 ≤ H ≤ 1500 m, −250 ≤ x ≤ 250 m r

Przemieszczenia poziome Funkcję przemieszczeń poziomych określono wzorem:

 

 

_                r R H x w x T B x u   2 max exp 4 , 0 (25) Przemieszczenie maksymalne: max max 0,4 w u   , m (26)

Prezentację graficzną wzoru (25) pokazano na rysunku 5.

Rys. 5. Wizualizacja wzoru (25) przy przyjętych wartościach:  = 0,02 MPa/m,

Odkształcenia poziome Funkcję odkształceń poziomych określa wzór:

 

_                 r r H R x R H x w x 2 max 2 exp      (27) Odkształcenie maksymalne: r x R H w       _max 0,6 max , mm/m (28)

Prezentację graficzną wzoru (27) pokazano na rysunku 6.

Rys. 6. Wizualizacja wzoru (27) przy przyjętych wartościach: = 0.02 MPa/m,

wmax = 3 m,R = 2 MPa, 100 ≤ H ≤ 1000 m, −495 ≤ x ≤ 495 m r

Promień zasięgu wpływów głównych:

 r R H r  , m (29) przy oznaczeniach: r

R - średnia wytrzymałość skał na rozciąganie, MPa:

r

c R

R  20 (przyjęto dla GZW) (30)

Minimalna powierzchnia Fmin wybranej parceli w pokładzie wynosi:  r R H Fmin   , m2 (31)

Dla nieskończonej półpłaszczyzny na profilu niecki obniżeniowej punkt o war-tości 0,5ꞏwmax występuje w odległości obrzeża d od frontu eksploatacji, natomiast

ekstremum krzywizny i odkształceń poziomych występuje w odległości x0i jest ono

liczone względem odległości obrzeża d przesuniętego w kierunku zrobów eksploa-tacyjnych od krawędzi eksploatacji (patrz rys. 8):

r x₀ 40,  (32)  r R H d 140,   (33)

Na krawędzi eksploatacji występuje obniżenie wkr:

max max max 0,14 0,36 5 , 0 w w w w_kr       (34)

Przemieszczenia pionowe (obniżenia) wg wewnątrz górotworu określa wzór:

H z w

w_g _max (35)

Wizualizację wzoru (35) przedstawiono na rysunku 7, natomiast na rysunku 8 pokazano teoretyczne przebiegi wskaźników deformacji na powierzchni terenu i w otoczeniu frontu eksploatacyjnego dla nieskończonej półpłaszczyzny.

Rys. 7. Wizualizacja wzoru (35) przy przyjętych wartościach: H = 800 m,

Rys. 8. Przebiegi wskaźników deformacji na powierzchni terenu i w obrębie frontu eksploatacyjnego według [1, 2, 8]

3. Algorytm do obliczania promienia zasięgu

wpływów głównych z danych geomechanicznych skał

W oparciu o propozycję modelu górotworu i rozważania omówione w pracy [8] przedstawiono autorski algorytm do obliczania wartości r oraz tgβ, według danych empirycznych wraz z rozrzutem wartości prognozowanych na podstawie danych geotechnicznych skał oraz prognozowanej eksploatacji w górotworze rozpoznanym otworami wiertniczo-badawczymi, [8, 9]. Wartości zadeklarowano w kolejnych

wektorach Rc, Rcn, wysokości horyzontów poszczególnych warstw skalnych z, głę-

bokość zalegania pokładu H, wartość współczynnika osiadania a przyjęto jak dla eksploatacji prowadzonej z zawałem stropu. Podane wartości są danymi rzeczywi- stymi zaczerpniętymi z prac [8, 9]. Obliczenia w środowisku MATHCAD® _możemy

przedstawić w następujących sekwencjach [8, 10]:

– deklaracja wektorów zadanych wartości a, H, Rc, Rcn, z, Δz:

             840 3 : H g                                    35 17 54 19 39 45 6 . 5 22 8 . 6 0 . 8 0 . 2 : Rc                                    15 13 22 13 17 28 6 . 0 11 0 . 3 1 . 1 1 . 0 : Rcn                                    672 668 657 654 592 560 558 290 34 8 0 : z                                                10 9 10 8 9 7 8 6 7 5 6 4 5 3 4 2 3 1 2 0 1 : z H z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z (36)

– deklaracja algorytmów do obliczeń współczynnika skalowania promienia zasię-gu wpływów μ na podstawie współczynnika mięknięcia skał M oraz Rc:





n Rc Rcn n Rcn Rc M , :  (37)

 

1 rows .. 1 . 0 : Rc  j (38)



j j



j M Rc Rcn M : , (39)





b e e b M Rc Rc50M M2 5 3 5 4 2 1 : , _{   }      (40)



j j



j:  Rc ,M   (41)

– deklaracja i wydruk kontrolny macierzy danych:



, , , , ,



augment

: z z Rc Rcn M

– wydruk kontrolny grubości nadkładu:                        





840 840 840 10 z H z (43)

– deklaracja funkcji do obliczenia wartości średniej współczynnika skalowania μ wraz z wydrukiem wartości obliczonej:

 









                  1 rows 0 1 rows 0 0 0 _       j j j j j z z m : 526 . 0 _   m

– deklaracja proponowanej funkcji do obliczania współczynnika eksploatacyjnego

a wraz z wydrukiem wartości obliczonej:

                5 83.89 _ m g H a : 746 . 0   a

– obliczenie współczynnika niejednorodności δ dla wartości współczynnika μ wraz z wydrukiem tej wartości:

 

 

 





 

 

                                                              





   rows rows 1 cols : 1 rows 0 2 j j     (44) 091 . 0   (45)

– deklaracja algorytmu do obliczeń promienia zasięgu wpływów głównych r, _tg  oraz spodziewanych wartości rozrzutu rmin, rmax, tg_min, tg_max wraz z

wydru-kiem wartości obliczonych:













r a r z H a a a a H a z a a a H a H z r     _{   }                             2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 : , , , (46)

   







   



                                   

_



_

                R H a H r a H r b tg R j j j j j j 1 rows 0 1 rows 1 1 0 0 0 0 , , , , , , : _   (47)

















                                        1 1 1 1 : R HR H R R tg_b_max tg_b_min Rmax Rmin (48)                          162 . 2 597 . 2 770 . 320 274 . 385 tg_b_max tg_b_min Rmax Rmin (49)

– wydruk wartości średnich promienia zasięgu wpływów głównych r oraz odpo-wiadającej mu wartości tgβ:              379 . 2 022 . 353 _ b tg R (50) Z obliczeń wynika, że wartości r oraz tgβ zostały obliczone z błędem

nieprzekra-czającym 10%ich wartości średnich. Otrzymane wartości średnie zweryfikowa-no na mapach prowadzonej eksploatacji górniczej [8, 9].

Na podstawie wzorów wynikających z teorii M. Chudka - L. Stefańskiego prze-prowadzono obliczenia wartości promienia zasięgu wpływów głównych r oraz tgβ. Założono, że zależność Rc względem Rr określona jest wzorem:





r

c R

R  7,917,1 

W wyniku analizy przedziału wartości wynikającego z tej zależności i porównania otrzymanych wyników obliczeń z danymi zawartymi w pracach [8, 9] uzyskano za-leżność możliwie najbardziej odpowiadającą parametrom geomechanicznym skał analizowanego rejonu górotworu, którą określono wzorem:

9 , 7 c r R R  (51)

Algorytm obliczenia r oraz tgβ możemy przedstawić w następującej sekwencji: – deklaracja wektorów wartości a, H, Rc, z, Δz, γ:

             840 746 , 0 : H a (52)

                                   35 17 54 19 39 45 6 . 5 22 8 . 6 0 . 8 0 . 2 : Rc                                    672 668 657 654 592 560 558 290 34 8 0 : z                                                10 9 10 8 9 7 8 6 7 5 6 4 5 3 4 2 3 1 2 0 1 : z H z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z                                    017 . 0 018 . 0 020 . 0 018 . 0 019 . 0 022 . 0 017 . 0 019 . 0 019 . 0 018 . 0 019 . 0 :  (53)

– deklaracja funkcji i wektora funkcyjnego do obliczeń Rr według wzoru (51):

 

  9 , 7 : Rc Rc    (54)

 

1 rows .. 1 , 0 : Rc  j

 

j j Rc Rr : (55)

– deklaracja tablicy zestawienia wartości obliczonych odpowiednich wielkości i wydruk kontrolny (przy oznaczeniach: kolumna o numerze 0 zawiera wartości

z, kolumna o numerze 1 wartości Δz, kolejne odpowiednio Rc, Rr oraz γ):



, , , ,



augment

: z z Rc Rr

– deklaracja tablic funkcyjnych do obliczania średnich wartości Rsr i γsr i wydruk

kontrolny wartości obliczonych:

   

 

 

 

   

 

 

                                        









        1 rows 0 1 1 rows 0 4 1 1 rows 0 1 1 rows 0 3 1 : Rc i i Rc i i i Rc i i Rc i i i sr Rsr  _            019 . 0 762 . 2 : sr Rsr  (57)

– deklaracja tablic funkcyjnych do obliczania średnich wartości r oraz tgβ i wy-druk wartości obliczonych:

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

                                                                              

















                1 rows 0 1 1 rows 0 3 1 1 rows 0 1 1 rows 0 4 1 1 rows 0 1 1 rows 0 4 1 1 rows 0 1 1 rows 0 3 1 Rc j j Rc j j j Rc j j Rc j j j Rc j j Rc j j j Rc j j Rc j j j H H tgb r : _             384 . 2 394 . 352 : tgb r (58)

Wnioski

Porównanie wartości otrzymanych we wzorach (50) oraz (58) może stanowić potwierdzenie poprawności przyjętych założeń w proponowanych algorytmach dotyczących modelu górotworu przedstawionego w pracy [8].

Literatura

[1] Chudek M., Stefański L., Teoretyczne ujęcie wpływu podziemnej eksploatacji złóż na deforma- cję powierzchni przy uwzględnieniu warstwowej budowy górotworu. Zeszyty Naukowe Politech- niki Śląskiej 1987, s. Górnictwo z. 145.

[2] Chudek M., Geomechanika z podstawami ochrony środowiska górniczego i powierzchni terenu, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2002.

[3] Borecki M., Chudek M., Mechanika górotworu, Wydawnictwo Śląsk, Katowice 1972.

[4] Knothe S., Prognozowanie wpływów eksploatacji górniczej, Wydawnictwo „Śląsk”, Katowice 1984.

[5] Ochrona obiektów budowlanych na terenach górniczych, Praca zbiorowa pod red. J. Kwiatka, Wydawnictwo Głównego Instytutu Górnictwa, Katowice 1998.

[6] Ochrona powierzchni przed szkodami górniczymi, praca zbiorowa pod red. M. Boreckiego, Wy-dawnictwo Śląsk, Katowice 1980.

[7] Ochrona środowiska w Górnośląskim i Donieckim Zagłębiu Węglowym, Praca zbiorowa pod red. M. Chudka, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2003.

[8] Paleczek W., Metoda określania wielkości i zasięgu deformacji powierzchni terenu powodowa- nych podziemną eksploatacją złóż z uwzględnieniem własności geomechanicznych skał góro-tworu, Studia z Zakresu Inżynierii nr 158, Instytut Podstawowych Problemów Techniki, Komitet Inżynierii Lądowej i Wodnej, Polska Akademia Nauk, Warszawa 2007.

[9] Paleczek W., Prognozowanie wskaźników deformacji terenu wskutek podziemnej eksploatacji złóż z wykorzystaniem możliwości środowiska MATHCAD, XV Edycja Szkoły Eksploatacji Podziemnej 2006, Instytut Gospodarki Surowcami Mineralnymi i Energią, Polska Akademia Nauk, Kraków 2006, s. 771-787.

[10] Paleczek W., Mathcad w algorytmach, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2005.

Streszczenie

Przedstawiono autorski algorytm do obliczania promienia zasięgu wpływów głównych oraz tan- gensa kąta zasięgu wpływów głównych według modelu górotworu omówionego w pracy „Metoda określania wielkości i zasięgu deformacji powierzchni terenu powodowanych podziemną eksploatacją złóż z uwzględnieniem własności geomechanicznych skał górotworu”. Zestawiono wzory do oblicza- nia wskaźników deformacji terenu i górotworu według teorii W. Budryka - S. Knothego oraz według teorii M. Chudka - L. Stefańskiego. Teoria M. Chudka - L. Stefańskiego stanowi uzasadnienie przyję-tych założeń w proponowanym algorytmie.

Zusammenfassung

Dargestellt wurde ein Autorenalgorithmus zur Berechnung des Reichweitehalbmessers der Haupt-wirkungen und Tangens des Winkels der HauptHaupt-wirkungen nach dem Model des oberliegenden Gesteins, der in der Bearbeitung [5] abgesprochen wurde. Es wurde zusammengestellt die Formel zur Berech-nung der Kennziffern der Gebirgsdeformation nach der Theorie von W. Budryk - S. Knothe und nach der Theorie von M. Chudek - L. Stefański. Theorie von der M. Chudek - L. Stefański ist eine Begrün-dung der angenommener GrünBegrün-dungen in dem vorgeschlagen Algorithmus.