Analoge signaalbewerkingstechniek

~ _----Po-.

Analoge

Ib

r")

I

Analoge

siqnaalbewerklnqstechnlek

2286

649

2

Bibliotheek TU Delft

111111 \\\11 \11\\\ 1\ I\111

III

1\\ 1\ 1\ C 3146328

Analoge

signaalbewerkingstechniek

prof.dr.ir.

J. Davidse

© VSSD Eerste druk 1991

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel. 015-123725

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo-copying; recording , or otherwise, without the prior written petmission of the publisher.

5

Voorwoord

Deze handleiding omvat een aantal onderwerpen die aan de orde komen in het college "Analoge Signaalbewerkingstechniek", dat een plaats heeft in het studieprogramma van de Technische Universiteit Delft.

Een aanzienlijk deel van de stof heeft betrekking op schakelingen voor de versterking van elektrische signalen. Men kan goede argumenten aanvoeren voor de stelling dat versterking,de meest fundamentele elektronische signaalbewerkingsfunctie is. De moderne elektronica maakt in toenemende mate gebruik van digitale technieken voor de bewerking van informatiedragende signalen. Niettemin blijft analoge signaalbewer-king in bepaalde situaties onmisbaar. Met name is dit het geval bij de bron van de signalen. In het bijzonder op deze plaats in de signaalketen is ruis de grootste vijand van de correcte overdracht van het signaal. Om deze reden is aan dit aspect relatief veel aandacht besteed.

In de communicatie-elektronica zijn modulatie, demodulatie en frequentieconversie onmisbare operaties. Aan de hiertoe benodigde schakelingen is dan ook een apart hoofdstuk gewijd. Een schakeling die eveneens van groot belang is in de moderne communicatietechniek is de phaselock-loop. Het toepassen van de hierop betrekking hebbende theorie bij het ontwerpen van phaselock-loopsin specifieke gebruikssituaties blijkt velen moeilijk te vallen. Ter overbrugging van de kloof tussen theorie en prak-tische ontwerpkunde worden in het aan deze configuratie gewijde hoofdstuk de ont-werpaspecten geillustreerd aan de hand van enkel veel voorkomende toepassingen. Een belangrijk hulpmiddel bij de analyse en het ontwerpen van versterkerschakelingen en van phaselock loops, is de beschrijving van de overdracht met behulp van polen en nulpunten van de overdrachtsfunctie. Ten gerieve van hen die dit onderwerp onvol-doende beheersen is een hoofdstuk opgenomen dat een beknopte samenvatting geeft van de op dit terrein benodigde voorkennis.

Om de gebruiker de gelegenheid te bieden zijn of haar vaardigheid in het omgaan van de stof te testen is aan het einde van het boek een aantal opgaven opgenomen.

Verscheidende hoofdstukken van dit boek komen goeddeels overeen met een vroegere uitgave onder de naam "Elektronische Versterkers en Phaselock loop" (DUM, 1982). Men kan de voorliggende uitgave zien als een vernieuwde versie van deze tekst. Delft, oktober 1991

7

Inhoud

1. ANALOGE SIGNALEN 11

l.I. Typen van informatiedragende signalen 11

1.2. Analoge signaalbewerkingsfuncties die in deze handleiding aan de orde

komen 14

2. OVERDRACHTSFUNCTIES VAN LINEAIRE

SIGNAALBEWERKINGS-SCHAKELINGEN 16

2.1. Inleiding 16

2.2. Overdrachtsfuncties van lineaire systemen 17

2.3. Polen en nulpunten van overdrachtsfuncties 18

2.4. Voorbeelden van enkele pn-beelden 20

2.5. Eigenschappen van pn-beelden 22

2.6. Verband met amplitude- en fasekarakteristieken 24

2.7. Verband met polaire figuren 30

2.8. Minimumfase- en niet-minimumfasenetwerken 31

2.9. Sprongkarakteristieken 33

2.10. Voorbeelden van sprongkarakteristieken 39

2.11. Verband tussen amplitudekarakteristiek en sprongkarakteristiek 41 2.12. Polen en nulpunten van teruggekoppelde systemen 44

2.13. Het Nyquistcriterium 47

2.14. Voorbeelden van schakelingen met terugkoppeling 48

3 . ANALYSE EN ONTWERP VAN VERSTERKERSCHAKELINGEN 52

3.1. Inleiding 52

3.2. Versterking van informatiedragende signalen 52 3.3. Impedantie- en overdrachtskarakter van versterkerschakelingen 55 3.4. Actieve elementen in versterkerschakelingen 58

3.5. Versterkertrappen met veldeffectelementen 63

3.6. Versterkertrappen met bipolaire transistoren 69

3.7. Overdracht van de Cli-configuratie 75

3.8. Overdracht van de ernittervolger 76

124 124 132 135 136 149. 149 8 Analoge signaalbewerkingstechniek

4. LAAGDOORLATENDE VERSTERKERS MET GROTE BANDBREEDTE 83

4.1. Inleiding 83

4.2. Complexe koppelingen ter verbetering van het GB-produkt 86

4.3. Complexe polen door terugkoppeling 92

4.4. Lokaal tegengekoppelde versterkertrappen als bouwstenen van brede-band

versterkers 95

4.5. Keuze van schakelingen voor de opbouw van brede-band versterkers 99 4.6. Versterkersynthese uitgaande van een gewenste pn-configuratie 103 4.7. Brede-band versterkers met overall-tegenkoppeling 108

4.8. Ladderversterkers 117

4.9. Opbouwen werking van de ladderversterker 117

4.10. Ladderversterkers met bipolaire transistoren 121 5. BANDDOORLATEN DE VERSTERKERS

5.1 . Inleiding

5.2. Transformatie van laagdoorlatende netwerken in banddoorlatende

netwerken 125

5.3. Transformatie van polen en nulpunten 126

5.4. Voorbeelden van transformatie van laagdoorlatende naar banddoorlatende

schakelingen 128

5.5. Karakterisering van actieve componenten en koppelnetwerken in banddoorlatende versterkers

5.6. Neutrodynisatie

5.7. Banddoorlatende koppelnetwerken en hun pn-beelden 5.8. Automatische versterkingsregeling

5.9. Monolithisch integreerbare selectieve schakelingen

6. RUIS IN VERSTERKERSCHAKELINGEN 157

6.1. Inleiding 157

6.2. Beschrijving van fluctuatieverschijnselen 157

6.3. Autocorrelatie en kruiscorrelatie 159

6.4. Spectrale verdeling van het ruisvermogen 160

6.5. Fysische aspecten van ruisverschijnselen 163

6.6. Ruis in elektronische componenten 169

6.7. Ruis in lineaire tweepoorten 174

6.8. Bipolaire transistor en veldeffecttransistor als ruisende tweepoort 177 6.9. Kwalificatie van de ruiseigenschappen van versterkerschakelingen 180

6.10. Invloed van tegenkoppeling op de ruis 189

6.11. Ruiseigenschappen van de verschillende basisconfiguraties 193

Inhoud 9

7. SCHAKELINGEN VOOR MODULATIE,

DEMODULATIE EN FREQUENTIECONVERSIE 199

7.1. Inleiding 199

7.2. Signaalspectra; modulatieprincipes 199

7.3. Amplitudemodulatie 200

7.4. Inrichting van ontvangers 203

7.5. Gevolgen van niet-lineariteit in niet-selectieve systeemdelen 207 7.6. Algemene principes van modulatie- en mengschakelingen 210

7.7. Schakelaarmodulatoren 214

7.8. Enkelzijband-modulatoren 218

7.9. Demodulatie van AM-signalen 220

7.10. Hoekmodulatie 221

7.11. FM-modulatoren 223

7.12. FM-demodulatoren 231

8. TRANSLINEAIRE SCHAKELINGEN 237

8.1. Inleiding 237

8.2. Voorbeelden van translineaire bewerkingsschakelingen 237 8.3. Translineaire stroomversterker en analoge vermenigvuldiger 241

9. PHASELOCK LOOP 246

9.1 . Inleiding 246

9.2. Algemene opbouw van de PLL 249

9.3. Overdracht van de PLL in gesynchroniseerde toestand 250

9.4. Statische fasefout van de PLL 256

9.5. Ruiseigenschappen 257

9.6. Houdgebied van de PLL 258

9.7. Vang gedrag van de PLL 261

9.8. Hulpmiddelen ter verbetering van het vanggedrag van de PLL 266

9.9. Bijzondere vormen van de PLL 269

9.10. Toepassingen en ontwerpoverwegingen 270

9.11. Lijnsynchronisatie in een TV-ontvanger 273

9.12. Detectie van het kleurensignaal in een TV-ontvanger 275

9.13. De PLL als frequentie-discrirninator 277

9.14. PLL als demodulator voor stereosignalen 280

9.15. Coherente detectie van AM-signalen 282

9.16. Coherente detectie van PM-signalen 284

LITERATUUR 286

OPGAVEN 288

1

Analoge signalen

11

1.1. Typen van informatiedragende signalen

Elektronica is de kunde die zich ten doel stelt informatiedragende elektrische signalen te manipuleren door middel van manipulatie van het transport van ladingsdragers, vrijwel steeds elektronen. Men kan de elektronica karakteriseren als de implementatie-techniek van de elektrische informatieimplementatie-techniek. Figuur1.1 schetst de algemene struc-tuur van een informatietechnisch systeem.

'front cnd' 'rear end'

..

niet

Of----+--~;:

I---lH---lH HL---H_

i nformatie-bron ingangs -transducerit

interface trasnport en/of interface bewaking van

informatie

uitgangs-transducent

Figuur 1.1.Algemene structuur van een informatietechnisch systeem.

Bijna altijd is de primaire informatie niet beschikbaar in elektrische vorm maar, bijvoorbeeld, in optische. akoestische, thermische of chemische vorm. Om de infor-matie toegankelijk te maken voor elektronische signaalbewerking dient zij eerst omgezet te worden in een elektrisch signaal. De hiertoe gebruikte inrichtingen worden opneerntransducenten of sensoren genoemd. Een microfoon en een televisiecamera zijn bekende voorbeelden van zulke opneemtransduccnten,

Het verkregen elektrische signaal kan langs elektronische weg op allerlei manieren bewerkt en getransporteerd worden.Aan het eind van de keten is in de regel weer omzetting in een niet-elektrische grootheid gewenst. De hiertoe gebruikte middelen worden uitgangstransducenten of actuatoren genoemd. Voorbeelden zijn een weer-geefbuis in het geval van een TV -signaal en een luidspreker in het geval van een audiosignaal.

Inbijna alle gevallen is het door een sensor geleverde elektrische signaal een continue functie van de tijd. Het door een microfoon afgegeven signaal is een elektrisch analogon van het primaire akoestische signaal. In het geval van de TV-camera wordt via aftasting van de beeldinformatie eveneens een tijdcontinu signaal verkregen. Algemeen wordt zo'n tijdcontinu informatiedragend signaal aangeduid met de benaminganaloog signaal. Figuur 1.2.a schetst het verloop van zo'n signaal. In een

12 Analoge signaalbewerkingstechniek

praktisch analoog signaal zijn de signaalwaarden op dicht bij elkaar liggende tijd-stippen gecorreleerd. De signaalwaarde kan niet willekeurig snel veranderen. In een spectrale signaalbeschrijving correspondeert dit met de vaststelling dat het spectrum een eindige bandbreedte bezit. Dank zij de correlatie tussen nabijgelegen signaal-waarden kan de volledige informatie-inhoud van een analoog signaal worden bepaald uit een eindig aantal equidistante bemonsteringen (figuur 1.2.b; de signaalwaarden op de tijdstippentI. ti. ...representeren de bemonsteringen). Het tijddiscrete signaal dat hiermee verkregen wordt heet een bemonsterd analoog signaal (sampled daia signal). Het aantal bemonsteringen dat nodig is om de informatie-inhoud volledig vast te leggen bedraagt2Bper seconde, waarbijBde bandbreedte inHzis.

S(I) S(I)

- - " 1 - - " 1

(a)

u»

Figuur 7.2. (a) Voorbeeld van een tijdcontinu signaal. (b) Bemonstering van het signaal op discrete tijdstippen.

De signaalwaarden op de bemonsterings-tijdstippen vormen een reeks numerieke grootheden. Een mogelijke volgende stap in het proces van het discretiseren van de informatiestroom is het overdragen van deze grootheden in de vorm van digitaal gecodeerde getallen. Men spreekt dan van een digitaal signaal.Inde praktijk gebruikt men nagenoeg altijd een binaire numerieke code. Men heeft dan slechts te maken met . twee signaalwaarden, 0 en1.Dit vereenvoudigt de signaalbewerkingstechniek in hoge mate: men behoeft slechts twee toestanden te onderscheiden. Daartoe kan men gebruik maken van elementen die schakelen tussen twee gedefinieerde toestanden. In de tijd waarin de schakelingen moesten worden opgebouwd uit discrete componenten kleefde aan digitale signaalbewerking het bezwaar dat er zeer veel componenten nodig waren. De komst van de IC-techniek heeft dit bezwaar opgeheven. Digitale signaal bewerking is daarom thans in zeer vele gevallen de voor de hand liggende aanpak. Toch is en blijft analoge signaal bewerking in een aantal situaties onmisbaar, dan wel het meest doelmatig. We vatten ze hierinhet kort samen:

1. De signalen die onze zintuigen ontvangen zijn continue functies van ruimte en tijd: wij onderhouden onze contacten met onze omgeving via analoge signalen. Ook technische sensoren vertalen de informatie uit de analoge omgeving in analoge signalen. De primaire signalen zijn bijna altijd zeer zwak: ze moeten beschermd worden tegen ruis en vervorming. Eerst na voldoende versterking zijn ze robuust genoeg om gedigitaliseerd te worden. Aan het begin (de 'front end interface' zie

Analoge signalen 13

figuur 1.1) van vele informatiesystemen is de informatie,analoog en is analoge signaalbehandeling nodig. Aan de uitgangszijde (de 'rear end interface') van zulke systemen moet ook dikwijls de informatie in analoge vorm worden gepresenteerd. 2. Als de dynamiek van een signaal zeer groot is stuit directe digitalisering op vrijwel

onoverkomenlijke problemen. Voorbeeld: het dynamisch bereik van het antenne-signaal van een AM-middengolfontvanger bedraagt ongeveer 130 dB. Het mini-mum signaalniveau ligt in de orde van tienden van microvolts. Een digitale code zou per signaalmonster ca. 23 bit groot moeten zijn. Zelfs op een veel hoger signaalniveau ligt dit, althans bij de huidige stand van de techniek, ver buiten de mogelijkheden.

3. Als een signaal zeer snelle veranderingen vertoont moet de bemonsterfrequentie

is

zeer hoog zijn. Is de signaalbandbreedte B, dan moet

is

>2B. Als dan ook het aantal bitsnper monster nog groot moet zijn neemt de bitrate2nBsec-1al gauw excessieve waarden aan. Bijvoorbeeld met B= 20 MHz en n= 10 wordt deze 400 Mbit/sec.Natuurlijk schuift, door de snelle technologische vorderingen, de grens van het praktisch haalbare steeds verder op.Echter, in die gevallen waarin bandbreedte principieel een schaars goed is, gaat een digitale signaalcodering altijd onzuinig met dit schaarse goed om. Volgens Shannon is de capaciteit van een overdrachtskanaai C=B· 21 0g(l + PsiPn) bit/sec, waarin PsiPn de signaal-ruis verhouding voorstelt. Men kan dus de capaciteit vergroten doorBe%fP,groot te kiezen.Bij digitale overdracht kiest men voor een grote waarde vanB. Dit is zeer gunstig als het kanaal sterk met ruis is belast. Analoge overdracht kiest voor een minimale waarde vanB,ten koste van de inzet van veel vermogen. Dit is de enige weg alsB minimaal moet worden gehouden.

4. Elke elektronische schakeling, hetzij ten behoeve van een analoge hetzij een digitale signaalbewerkingsfunctie, kan altijd in een oneindig groot aantal toestanden verkeren. Een digitale schakeling is alleen zinvol als zij kan schakelen tussen min-stens twee toestanden. Tijdens het schakelen doorloopt de schakeling een in de tijd continue reeks van toestanden, met andere woorden gedurende dit proces moet de schakeling beschreven worden als een analoge schakeling.

5. In sommige gevallen is minimaal energieverbruik een zwaarwegende eis. Of een digitale dan wel een analoge realisatie in dit opzicht optimaal is moet van geval tot' geval bekeken worden. Met name als het gaat om signalen met een beperkte dyna-miek blijkt de analoge realisatie op dit punt vaak in het voordeel of zelfs sterkinhet voordeel.

6. Praktisch blijken sommige signaalbewerkingsfuncties met analoge middelen ele-ganter en eenvoudiger te kunnen worden gerealiseerd dan met digitale. Enerzijds

14 Analoge signaalbewerkingstechniek

leidt de snelle ontwikkeling van de digitale techniek er toe dat steeds meer functies zich met voordeel in digitale uitvoering laten realiseren, anderzijds leidt de ontwikkeling van de analoge IC-techniek tot interessante nieuwe mogelijkheden voor analoge signaalbewerking.

1.2. Analoge signaalbewerkingsfuncties die in deze

handleiding aan de orde komen

De verreweg belangrijkste analoge signaalbewerkingsfunctie is lineaire signaal-versterking. Waarom is deze functie zo belangrijk? De natuur vertoont een fundamen-tele tendens tot vergroting van wanorde. De hierop betrekking hebbende natuur-kundige wet is de zogenaamde tweede hoofdwet van de thermodynamica. In de signaalbewerkingstechniek manifesteert deze tendens zich in twee verschijnselen. Het eerste is dat elk signaal behept is met volstrekt willekeurige stochastische variaties. Men duidt deze aan met de algemene term 'ruis'. Ruis is alomtegenwoordig. Elke bewerking van het signaal voegt daaraan ruis toe. Het tweede verschijnsel is dissipatie: bij elke vorm van transport wordt een geordend signaal ten dele omgezet ir, warmte, dat is ongeordende beweging van ladingsdragers. Het signaal wordt daardoor gaandeweg verzwakt. Echter, ruis is alomtegenwoordig en bij transport van een signaal neemt dus gaandeweg de verhouding van signaalvermogen en ruisvermogen af. Als de signaal-ruis verhouding beneden een bepaalde waarde daalt, is het signaal niet meer herkenbaar, men zegt wel: het signaal is verdronken in de ruis. Vóór het zover is dient het signaal versterkt te worden en dit impliceert dat versterking op principiële gronden onmisbaar is.

Van de gebruiker van deze handleiding wordt verwacht dat hij of zij bekend is met de elementaire versterkerconfiguraties. Geschikte handleidingen ter zake zijn: 'Inleiding in de Elektronica' door C. Wissenburgh (Delftse Uitgevers Maatschappij, 1991) en de collegehandleiding 'Elektronica III' vanG.C.M. Meijer. In de voor u liggende handleiding wordt de kennis van de versterkertechniek verder uitgebouwd. Eerst komen nog enkele aspecten van de elementaire schakelingen aan de orde, waarna de behandeling volgt van de versterkertechniek voor breedbandige signalen, Bij de behandeling van deze schakelingen wordt ruimschoots gebruik gemaakt van de beschrijving van overdrachtsfuncties met behulp van hun polen- en nulpuntenbeelden. Ten behoeve van gebruikers die dit onderwerp niet in voldoende mate beheersen, geeft hoofdstuk 2 een samenvattend overzicht, waarbij ook het gebruik van de Laplace-transformatieinhet kort wordt uiteengezet.

In het voorgaande is reeds gebleken dat ruis een permanente bedreiging vormt voor de nauwkeurigheid waarmee een signaal herkend kan worden. Kennis van de oorzaak van ruisverschijnselen, hun beschrijvingswijze en van technieken om de invloed er van op de signaaloverdracht te minimaliseren, is dan ook volstrekt onmisbaar. Dit onderwerp, waarvan de betekenis overigens niet zelden onderschat wordt, komt dan

Analoge signalen 15 ook uitgebreid aan de orde..

Een belangrijke klasse van schakelingen heeft betrekking op de technieken om signalen te moduleren op een draaggolf alsmede de demodulatie van zulke gemodu-leerde signalen. Modulatie, demodulatie en de hiermee verwante techniek van frequentieconversie, dat is spectrale verschuiving van de signaalinhoud, zijn niet-lineaire signaalbewerkingstechnieken, Een andere niet-niet-lineaire signaalbewerkings-techniek vindt men in de klasse van de zogenaamdetranslineaire schakelingen,een type schakelingen dat praktisch alleeninde monolithische rC-techniek realiseerbaar is. De behandeling van deze klasse van schakelingen beperkt zich tot de principes en enkele belangrijke representanten.

Tenslotte is een hoofdstuk gewijd aan de phaselock-loop en de toepassingen daarvan. De phaselock-loop is met name in de moderne communicatie-elektronica een onmis-bare configuratie, met name voor de behandeling van signalen waarbij informatie wordt overgedragen door middel van faserelaties.

16

2

Overdrachtsfuncties van

lineaire

signaal-bewerkingsschakelingen

2.1. Inleiding

Zoals in het vorige hoofdstuk is uiteengezet is lineaire versterking een zeer belangrijke signaalbewerkingsfunctie. Versterking is alleen mogelijk met behulp van actieve com-ponenten. Deze vertonen echter alle van nature een niet-lineair karakter. De daardoor in principe altijd optredende vervorming kan echter gering gehouden worden door de uitsturing van de componenten beperkt te houden en door passende maatregelen te nemen ter bestrijding van de vervorming, zoals de toepassing van tegenkoppeling en van compensatietechnieken. We zullen er in het vervolg, tenzij anders vermeld, van uitgaan dat de schakelingen zo ingericht zijn dat de overdracht met goede benadering als lineair mag worden beschouwd. We spreken in dit geval van zogenaamde 'klein-signaalgedrag' . Het signaalverwerkingsgedrag van de schakelingen kan dan worden benaderd met behulp van lineaire betrekkingen. Om deze betrekkingen op een over-zichtelijke wijze te representeren maken we dikwijls gebruik: van een zogenaamd klein-signaal vervangingsschema, dat uitsluitend uit lineaire netwerkelementen is opge-bouwd.

Van de gebruiker van deze handleiding wordt verwacht dat hij of zij bekend is met de werking en opbouw van de in de versterkertechniek gebruikte actieve componenten, in hoofdzaak bestaande uit de verschillende typen transistoren, alsmede van de in de analyse van versterkerschakelingen gebruikelijke eenvoudige vervangingsschema's voor deze componenten. Ook wordt aangenomen dat de gebruiker vertrouwd is met de complexe schrijfwijze voor sinusvormige signalen en de daarbij behorende begrippen complexe impedantie en adrnittantie. Kent men het gedrag van een schakeling bij sturing met een sinusvormig signaal, dan is het in principe steeds mogelijk met behulp van de Fourieranalyse de eigenschappen bij sturing met een gegeven niet-sinusvormig signaal te bestuderen. In vele gevallen kan men aan de hand van een beschouwing over de responsie op sinusvormige signalen komen tot voor praktische toepassingen toereikende conclusies. Dit neemt niet weg dat aan deze werkwijze een zeker gebrek aan algemeenheid niet kan worden ontzegd, hetgeen zich wreekt bij bestudering van sommige typen schakelingen en bij sturing met grillige signaalvormen. Om deze reden zullen we in dit hoofdstuk eerst in het kort enkele meer algemene theoretische hulpmiddelen beschouwen; die van groot belang kunnen zijn bij de bestudering van lineaire systemen. Het voornaamste theoretische hulpmiddel waarvan we ons zullen

Overdrachtsfuncties van lineaire signaalbewerkingsschakelingen 17

bedienen is de beschrijving van de signaaloverdracht van lineaire systemen met behulp van de polen en nulpunten van een complexe overdrachtsfunctie. De toepassing van deze beschouwingswijze is allerminst een monopolie van de elektronica. Zij vindt met name een vruchtbaar gebruik in de regeltechniek en de netwerktheorie. Een gedetailleerde behandeling van de theorie van de complexe overdrachtsfuncties valt buiten het bestek van een boek over elektronica; hiervoor moge worden verwezen naar de overvloedig beschikbare specialistische literatuur over dit onderwerp. We zullen ons hier beperken tot een zeer beknopt overzicht. geheel gericht op de toepassing op de behandeling van elektronische schakelingen. Bewijzen van wiskundige stellingen blijven achterwege; beperkingen en details van de theorie die geen directe of belangrijke gevolgen hebben voor haar toepassing in de volgende hoofdstukken. blijven eveneens onvermeld.

2.2. Overdrachtsfuncties van lineaire systemen

Lineaire systemen zijn systemen die men kan beschrijven met behulp van lineaire differentiaalvergelijkingen. Is Si(t) het ingangssignaal en SuCt) het uitgangssignaal van zo'n systeem, dan wordt het verband tussen S; en Si algemeen gegeven door een betrekking van de vorm

dSi d2Si

as,

d2Su

aOSi+al

dl

+_{a2 dt2} + ... ==boSu+bi

dJ

+bi _dt2 + ... (2.1)

We beperken ons tot systemen waarbij de coëfficiënten in de D.V.• dus ao. al, .... ba.bh ... constanten zijn; voor een elektrisch netwerk betekent dit dat de waarden van de circuitgroothedenL,C. R. gm,

a,

etc. constant zijn.

Uit (2.1) volgen direct enkele belangrijke eigenschappen van lineaire systemen: 1. Bij gelijkvormige vergroting van het ingangssignaal met een zekere factor. wordt

het uitgangssignaal met diezelfde factor vergroot. 2. Het superpositiebeginsel is geldig.

3. Een signaal van de vorm expt or) sin(wt+cp) wordt zonder vormverandering overgedragen. Wel kan een verschuiving in de tijd optreden. Deze eigenschap is een gevolg van het feit dat de afgeleide van een (eventueel gedempte) harmonische functie ook weer zo 'n functie is.

Nemen we als ingangsgrootheid exp(pl).waarinpeen complexe grootheid is, dan gaat de D.V. over in een algebraïsche vergelijking. De verhouding tussen de uitgangs-grootheid(Su)en de ingangsgrootheid (Si) wordt dan voorgesteld door een analytische functie van de complexe variabelep.AI naar gelang de in- en uitgangsgrootheden stromen of spanningen zijn heeft deze verhouding het karakter van een impedantie-functie(Su is een spanning, Si een stroom), een admittantiefunctie(Suis een stroom.

18 Analoge signaalbewerkingstechniek

Sieen spanning) of een dimensieloze overdrachtsfunctie(SuenSizijn beide hetzij spanningen, hetzij stromen). Men kan deze functies steeds schrijven als het quotiënt van twee polynomen inp. De coëfficiënten van de polynomen zijn functies van de netwerkgrootheden, bijvoorbeeldL, C, R,gm,

cc,

etc. De overdrachtsfunctie legt de eigenschappen van het lineaire netwerk volledig vast, echter niet de opbouw van het netwerk. In de netwerktheorie wordt het verband tussen overdrachtsfuncties en netwerkconfiguraties nader onderzocht.

Het complexe getal p in de ingangsgrootheid exp(pt) kan geschreven worden als p=

a

+jt». We kunnen p de complexe frequentie noemen. Voor

a

<0 stelt exp(pt) een afnemende periodieke trilling voor, voora>0 een toenemende periodieke trilling, voor

a

=0 stelt exp(pt) = exp(jwt)een zuivere sinusvormige trilling voor (periodieke trilling met constante amplitude).

Om de overdrachtsfunctieA =!(P) van een gegeven netwerk te bepalen is het niet nodig eerst de D.V. op te stellen. Men kan met behulp van de maas- en knooppunts-vergelijkingen direct de overdrachtsfunctie vinden door voor de impedantie van een zelfinductie steeds te schrijvenpLen voor de impedantie van een condensatorI/pC. Wanneerp een reeks waarden doorloopt, bijvoorbeeld gegeven door de punten van een bepaalde kromme in het complexe p-vlak, dan doorloopt A=f(P) eveneens een reeks waarden, welke men kan afbeelden in het complexe A-vlak. Interessant is vooral het geval dat dep waardenjwdoorloopt alswvarieert van- 0 0tot +00, dat wil zeggen in het p-vlak wordt de imaginaire as doorlopen. A

=

f(p) beschrijft dan de overdracht van het netwerk voor zuiver sinusvormige signalen als functie van de frequentie. De afbeelding noemt men de polaire figuur van A. Uit de polaire figuur volgen direct de amplitudekarakteristiek.!A(jw)1en de fasekarakteristiek argA (jw).Men doet echter de betekenis van de polaire figuur tekort als men haar uitsluitend beschouwt als een overzichtelijke weergave van de sinusresponsie; zij biedt een volledige beschrijving van de eigenschappen van het lineaire systeem.Wie vertrouwd is met het werken met polaire figuren kan aan het verloop en de vorm van deze figuur ook informatie ontlenen over het gedrag van het systeem bij sturing met niet-sinusvormige signalen, aan de eigenschappen van het systeem bij verandering van bepaalde parameters en aan de consequenties van het aanbrengen van een terugkoppelnetwerk.

2.3. Polen en nulpunten van overdrachtsfuncties

De complexe overdrachtsfunctie van een netwerk biedt een heel wat overzichtelijker beschrijving van de eigenschappen dan de differentiaalvergelijking. Toch is het in vele gevallen niet gemakkelijk mogelijk om uit de in algebraïsche vorm gegeven overdrachtsfunctie, direct bruikbare conclusies te trekken over de eigenschappen van het netwerk, en nog minder over het verband tussen de eigenschappen en de opbouw ervan. Het menselijk voorstellingsvermogen is bij uitstek ontvankelijk voor in beelden

Overdrach tsfuncties van lineaire signaalbewer/t;ingsschakelingen 19

of figuren vervatte samenhangen. Dit gegeven ligt ten grondslag aan de sterke verbreiding van meetkundige en grafische voorstellingswijzen, niet alleen in weten-schap en techniek, maar ook in allerlei op het dagelijkse leven betrekking hebbende zaken. Van een goed gekozen visuele presentatie van de overdrachtsfunctie mag dan ook verwacht worden dat zij in staat is de samenhang der eigenschappen direct in het lichttestellen.

Een bepaalde meetkundige representatie van de overdrachtsfunctie isinhet voorgaande reeds ter sprake gekomen in de vorm van de polaire figuur, de door de overdrachts-functie bepaalde afbeelding van de imaginaire as van het complexe vlak. Eén van de voordelen van de polaire figuur is dat zij gemakkelijk met behulp van een meet-instrument aan een actueel netwerk kan worden opgenomen. Een nadeel is dat zij zich niet zo goed leent voor kwantitatieve analyse van de eigenschappen van een netwerk of voor het structureren van ontwerpbeschouwingen. Deze bezwaren kleven niet aan een tweede methode om een overdrachtsfunctie in kaart te brengen, te weten de karak-terisering met behulp van een beperkt aantal punten in het complexe vlak, de zogenaamde polen en nulpunten van de overdrachtsfunctie. De voor de praktijk belangrijke gedragingen van het netwerk blijken op zeer elegante wijze met de ligging van deze karakteristieke punten samen te hangen, niet alleen in kwalitatieve, doch ook in kwantitatieve zin. Deze voorstellingswijze is daardoor ook een zeer bruikbaar hulpmiddel bij het ontwerpen van schakelingen met voorgeschreven eigenschappen. Zoals we reeds hebben vastgesteld kan de overdrachtsfunctie van een lineair elektrisch netwerk steeds worden geschreven als het quotiënt van twee polynomen inp. In paragraaf 2.2 hebben wep de naam van 'complexe frequentie' gegeven. Men kan er mee rekenen op dezelfde wijze als gebruikelijk is in de complexe rekenwijze voor sinusvormige grootheden, waarbij we aan de tijdsfunctie cosonde complexe functie exp(jWl) toevoegen.

Van de complexe voorstelling keert men terug tot momentele waarden door aan de complexe grootheid de geconjugeerd complexe toe te voegen, namelijk exp (jwt) +

+exp (-jWt)= 2 cos ox. De conceptie van complexe frequenties breidt deze reken-techniek uit tot harmonische trillingen met toenemende of afnemende amplitude, namelijk

exp[(a+jw)t] +exp[(a-jWl)t]=2 exp(at)·cos ox.

Hoewel we lang niet altijd behoefte hebben aan deze directe interpretatie van een signaal van het type exp(pt) is het soms gemakkelijk deze bij de hand te hebben. Men kan p ook opvatten als een differentiaaloperator en deze interpretatie maakt het mogelijk de netwerkvergelijkingen in p op te schrijven en daaruit direct de over-drachtsfunctie te vinden. In algemene vorm kan een overover-drachtsfunctie genoteerd worden als

20 Analoge signaalbewerkingstechniek

n

+

n-l

+

n-Z+

A - anp an-Ip an-zp ... + ao

- b_mPm+b_m-lPm-l +b_m-ZPm-Z + _... +b₀ .

We kunnen (2.2) ook brengen in de gedaante

A - an (p - Z I )(p - ZZ) (p - Zn) - bm (p -Pl)(P -pz) (p -Pm)'

(2.2)

(2.3) waarin ZJ, ••• , Zn de :wortels van het tellerpolynoom voorstellen en Ph ... Pmde wortels van het noemerpolynoom.

Een analytische functie is, afgezien van een multiplicatieve constante(a,Jb_{m ) ,}geheel bepaald door de waarden van de onafhankelijk variabele (P),waarvoor de functie de waarde nul, respectievelijk oneindig aanneemt. We noemenZJ, •••Zndenulpuntenvan de overdrachtsfunctie, PI, ... ,Pmdepolen. In termen van complexe frequenties kunnen we ook zeggen: de nulpunten zijn de complexe frequenties waarbij de overdracht nul is, de polen zijn de complexe frequenties waarbij de overdracht oneindig is.

We kunnen de aldus gedefinieerde polen en nulpunten uitzetten in het complexe vlak en verkrijgen dan een reeks punten. Ter onderscheiding duiden we de nulpunten met een 0 aan, de polen met een x. Een dergelijk polen- en nulpuntenbeeld beschrijft de overdrachtsfunctie volledig, op de genoemde multiplicatieve constante na.

Het minimale aantal gegevens waardoor de overdrachtsfunctie volledig bepaald wordt, is dusm+n+I, namelijk de waarden vanmpolen, nnulpunten en de factora,Jbm• Op zichzelf is het al verrassend dat de eigenschappen van een netwerk geheel kunnen worden beschreven met behulp van een patroon van punten in het complexe vlak. Echter zal bovendien blijken dat de ligging van deze singuliere punten zeer direct informatie geeft over de gedragingen van het netwerk in voor de praktijk belangrijke situaties. Het werken met polen en nulpunten is daardoor een bijzonder elegant en zeer algemeen bruikbaar hulpmiddel bij de analyse van lineaire schakelingen. Er is slechts één nadeel aan deze methode verbonden: er bestaat geen meetmethode om van een gegeven schakeling van onbekende opbouw de polen en nulpunten direct te bepalen.

2.4. Voorbeelden van enkele pn-beelden

De weergave van de polen en nulpunten van een bij een netwerk behorende overdrachtsfunctie zullen we voortaan kortweg het 'pn-bceld' of de 'pn-configuratie ' van het netwerk noemen. Alvorens algemene eigenschappen van pn-beelden te beschouwen zullen we eerst ter illustratie van de eenvoud van de methode de pn-beelden van enkele eenvoudige netwerken opstellen.

Overdrachtsfuncties van lineaire signaalbewerkingsschakelingen 21

pCR p

A =pCR + 1 =P + 1/" als r=CR

Er is dus een pool inp=

-1/"

en een nulpunt inp = O. Figuur 2.2 geeft het gezochte pn-beeld.

•

I

:c

+

_J

+

f

>\.

Ui R U. -T

1

Figuur 2.1 Eenvoudig RC-koppelnetwerk Figuur 2.2. pn-beeld van het netwerk volgens figuur2.1

Figuur 2.3 toont een afgestemde versterkertrap. De impedantie van de parallel kring is

z-

pL

_1

p

- 1+p2LC +pL/R - C (p + 1/2r)2+(WB - 1/4r2) ,

met r

=

RCen Wo

=

1/..,[Lë. De overdrachtsfunctie isA

=

Uo/Uj

=-gmZ.

Er is dus een nulpunt inp= 0, terwijl er 2 polen zijn, namelijk

Figuur2.4toont het pn-beeld. 1

J

R + Ui +

x

Figuur 2.3. Afgestemde versterkertrap Figuur 2.4 . po-beeld van de schakeling volgens figuur 2.3.

.

-Uit deze beide eenvoudige voorbeelden blijkt dat de ligging van de polen en nulpunten direct samenhangt met de waarden van de voor het gedrag van het netwerk belangrijke ~dconstanten(" in figuur2.2,"en I/Woin figuur 2.4;in figuur 2.4komt bovendien

22 Analoge signaalbewerkingstechniek

2.5. Eigenschappen van pn-beelden

De theorie van de karakterisering van de signaaloverdracht vanelektrische netwerken en regelsystemen aan de hand van polen en nulpunten, is in de loop der jaren uitgebouwd tot een zeer verfijnd mathematisch hulpmiddel.Tal van methoden voor analyse en synthese van elektrische netwerken en regelsystemen zijn er aan ontsproten. Voor een enigszins gedetailleerde behandeling vandeze materie moet hier verwezen worden naar de specialistische literatuur over dit onderwerp.We volstaan hier met een zeer beknopt overzicht van datgene wat beslist nodig is voor de behandeling van de elektronische schakelingen die in dit en devolgende hoofdstukken ter sprake komen.

b. Door de overdrachtsfunctie (1.3)te splitsen in partiële breuken krijgen we

Allereerst richten we onze aandacht op enkele algemene eigenschappenvan pn-beelden van fysisch realiseerbare netwerken.

a. Daar de coëfficiënten ao, ... ,anen ba, ... , bm reëel zijn, hebben we bij de overdrachtsfuncties altijd te maken met functies die voor reële waarden van de variabelePreële waarden aannemen. Dit kan alleen het geval zijn als de polen en nulpunten óf reëel zijn'óf, voor zover ze niet reëel zijn, in toegevoegd complexe paren voorkomen. Men noemt zo'n functie wel een geconjugeerd analytische

functie. (2.4) Am } + ... + , P - Pm + ... + Am }. P - Pm U _U.an { Al o - Ibm P - PI A _ Ua _ an { AI - Ui - bm P - PI dus

Ua is blijkbaar op te vatten als de superpositie van een aantal deelspanningen van

het type UiAJ(P - Pk). Hiermee correspondeert een differentiaalvergelijkingdUo/dl

- PkUO

=

AkUi. Als Ui

=

0 (vrije trilling van het netwerk), is de oplossing van de vorm U« =C exp(Pkt). Als Pk een positief reëel deel heeft betekent dit dat Ua exponentieel toeneemt met de tijd, dat wil zeggen: het systeem is niet stabiel en gedraagt zich als een oscillator. Voor de overdrachtsfunctie vaneen stabiel systeem geldt dus dat de polen een negatief reëel deel moeten hebben,ze moeten dus in het

linkerhalfvlak liggen. Voor de nulpunten geldt deze eis niet. Hetgrensgeval waarbij

polen op de imaginaire as liggen is theoretisch mogelijk. We hebben dan een dempingsloos, nog juist stabiel systeem. Op de imaginaire as liggende polen moeten echter wel enkelvoudig zijn. Immers, is P=Pk een tweevoudige pool, dan komt in de oplossing van de D.V. naast een term van het type exp (Pkt) ook een term van het type t exp(Pkt) voor. Laatstgenoemde term neemt bij toenemende

Overdrachtsfuncties van lineaire signaalbewerkingsschakelingen 23 waarde van tonbepaald toe. Praktisch gelukt het'niet een netwerk op te bouwen met polen op de imaginaire as. Immers, de geringste variatie van de netwerk-parameters zou de polen in het rechterhalfvlak kunnen doen belanden, waarmee het systeem instabiel zou worden.

C. Het aantal polenm van overdrachtsfunctie van een praktisch netwerk is steeds groter dan het aantal nulpuntenn.Dit volgt direct uit (2.2). Immers wordt voor p

=

jo:en W~ 00de modulus van de overdracht gelijk aan (oo)n-m. Indienm<n,

zou de overdracht een oneindig grote waarde aannemen, hetgeen uiteraard niet mogelijk is. Is m

=

n, dan wordt voor p ~joo de overdracht een constante, namelijkA

=

a,jb_m.Theoretisch is dit mogelijk, voor praktische netwerken geldt echter dat de overdracht bijto~00altijd nul is tengevolge van de in geen enkel net-werk geheel te vermijden parasitaire capaciteiten. Bij de bestudering van de eigen-schappen van schakelingen kan het effect van parasitaire capaciteiten vaak in eerste instantie buiten beschouwing blijven. In zulke gevallen zijn pn-beelden met gelijke aantallen polen en nulpunten natuurlijk niet uitgesloten. We zullen ze dan ook dikwijls ontmoeten. Is m >n, dan kunnen we zeggen dat zich in p

=

00 een

(m - n)-voudig nulpunt bevindt. In deze gedachtengang hebben we dus in het eindige m polen en n nulpunten, in het gehele complexe vlak (inclusief het oneindig verre punt) m polen en m nulpunten; m is in het algemeen tevens gelijk aan de orde van het netwerk.

d. Een bijzondere klasse van overdrachtsfuncties vormen de impedantie- en admittantiefuncties van passieve tweepolen. Voor de pn-beelden behorende bij deze functies gelden de genoemde regels natuurlijk evenzeer, echter moet regel c nu verder beperkt worden. Bij deze klasse van functies kan het verschil tussen het aantal polen en nulpunten hoogstens één bedragen. Voor het bewijs van deze regel wordt verwezen naar de netwerktheorie. De juistheid ervan kan men ook wel aanvoelen zonder strenge bewijsvoering: bij zeer hoge frequenties gedraagt een passieve complexe impedantie zich hetzij als een zelfinductie, hetzij als een capaciteit. Voor p~ 00 wordt de impedantie dus van de vorm pL of I/pC.In het

eerste geval is het aantal nulpunten één groter dan het aantal polen, in het tweede geval andersom. Praktische netwerken vertonen altijd parasitaire capaciteit, het aantal nulpunten is dus altijd één kleiner dan het aantal polen.

Zowel voor impedantiefuncties als voor adrniuantiefunctics is regel b geldig. Aangezien met Z

=

I/Y de polen van Z moeten samenvallen met nulpunten van Y en andersom, geldt voor impedantie- en admittanticfuncties dat niet alleen de polen, doch ook de nulpunten alle in het linkerhalfvlak moeten liggen.

Figuur 2.5 toont enkele pn-configuraties die voldoen aan de onder a, b en c genoemde eisen, figuur 2.6 toont enkele configuraties die hier niet aan voldoen.

24 Analoge signaalbewerkingstechniek (2)

o

x

o

x

x

₀

X X

0

(2) )( X X

0

X

Figuur 2.5. Voorbeelden van toegestane pn-configuraties.

0

X X

0

X (2)

Figuur 2.6. Voorbeelden van niet-toegestane pn-configuraties.

Is een systeem opgebouwd als ee?cascadeschakeling van netwerken, die elkaar niet

beïnvloeden, doordat de netwerken van elkaar gescheiden zijn door unilaterale elementen, dan is volgensA

=

A ]A2A3 het pn-beeld van de gehele schakeling de som

van de pn-beelden der afzonderlijke netwerken. Komt daarbij een pool samen te vallen met een nulpunt, dan heffen deze elkaar op.

Voor eenparallelschakeling van netwerken ziet men gemakkelijk in dat het pn-beeld

van de overdrachtsfunctie in het algemeen wél de polen, doch niet de nulpunten van de afzonderlijke netwerken bevat.

2.6. Verband met amplitude- en fasekarakteristieken

Is de overdrachtsfunctieAgegeven door

A = an (p - z])(p - Z2) (p - zn)

bm (p -PI)(P -P2) (p -Pm)' ~2.4)

dan volgt de amplitudekarakteristiek uit

1A1- an lp - z]llp - z21 - b_m lp - Pillp - P21 lp - znl . IP - PmI 'metP=JW, (2.5) en de fasekarakteristiek uit

(2.6)

metCfJ]

=

arg(p - ZI),CfJ2

=

arg(p - Z2),el

=

arg(p - PI)'enzovoorts metP

=

jto.

Overdrachtsfuncties van lineaire signaalbewerkingsschakelingen 25

Zijn de polen en nulpunten gegeven, dan kan men met behulp van (2.5) en (2.6) daaruit direct de amplitude- en de fasekarakteristiek bepalen. De in (2.5) en (2.6) voorkomende factoren en termen kan men gemakkelijk meetkundig interpreteren. Zij

Zkéén der nulpunten (figuur 2.7.a), dan isVliJ - Zklde afstand van het puntjaiop de imaginaire as tot het puntZk. Hetzelfde geldt voorVliJ- PklalsPkeen pool voorstelt

(figuur 2.7.b). De hoek ({lk, respectievelijk ek is eveneens direct uit de figuur af te

lezen. Men kan dus, als het pn-beeld gegeven is, gemakkelijk de waarde van de amplituderesponsie bij een bepaalde frequentie vinden door de afstandenVliJ-Zklvoor

alle nulpunten met elkaar te vermenigvuldigen en het resultaat te delen door het produkt der afstanden VliJ- Pkl. Evenzo de waarde van de fasekarakteristiek door de

som der hoeken ({lkte verminderen met de som der hoeken ek.

(a)

\

~

_WJl

~~

jw

o

lp,

z,

(b)

Figuur2.7. Meetkundige bepaling vanIjw- Zkl enIjliJ - pkl.

Ook al voert men de constructie niet in detail uit, toch kan men met behulp van deze regel snel een indruk krijgen van het karakter van de overdracht. Zo kan men onmiddellijk vaststellen dat het pn-beeld van figuur 2.8.a een laagdoorlatend systeem beschrijft, dat van figuur 2.8.b een banddoorlatend en dat van figuur 2.8.c een hoogdoorlatend.

x

X ,

x

X (a) (b) te)

Figuur 2.8. Voorbeelden van pn-beelden: a. laagdoorlatend netwerk; b. banddoorlatend netwerk; c. hoogdoorlatend netwerk.

_---26 Analoge signaalbewerkingstechniek

Gebruiken we voor de amplitudekarakteristiek een dB-schaal, dan volgt uit (2.5)

n m

lAl (dB)

=

20log lAl

=

I,

20logVW-zkl-

I,

20logVW-Pkl +C, (2.7)

k=! k=!

waarin de constante C volgt uit C=20loga,jbm.

Hieruit zien we dat de in dB uitgedrukte waarde van de amplitudekarakteristiek voor een bepaalde frequentie gevonden wordt door optelling, respectievelijk aftrekking van de bijdragen der afzonderlijke nulpunten, respectievelijk polen.

Gaan we nu na hoe deze bijdragen er in verschillende gevallen uitzien. Beschouwen we eerst een poolP=Pk op de negatief-reële as. Hiervoor geldt

met rk

=

I/Pk.

Als W

=

0 is A k= -20 log Pk

=

20 log rk. Als W =Pk

=

I/rb dan is Ak

=

-20 logPk

12.

Ten opzichte van de responsie bij W

=

0is dus W

=

I/rk het

-3 dB-punt. Voor grote waarden van wiswrk» I en is Ak = -20 log to. In het gebied waarwrk» I daalt dus de amplitudekarakteristiek met 6 dB bij verdubbeling van to.dat wil zeggen met 6 dB per octaaf. Op een logaritmische frequentieschaal ziet de bijdrageAk tot de amplitudekarakteristiek er dus uit als geschetst in figuur 2.9. Een zeer gemakkelijk te schetsen benadering hiervan verkrijgt men door de beide asym-ptoten, respectievelijk voorW~0 en voor

w

~00te tekenen. Dit zijn respectievelijk een rechte evenwijdig aan de m-as en een rechte met een helling van 6 dB/octaaf. Beide rechten snijden elkaar juist in het punt W= 0JJc= I/rk.

A, (dB)I====-_ _~ o -3 p,=l/r, 6 dB/oeI

Figuur 2.9. Bijdreqe tot de amplitudekarakteristiek van een reële pool (met asymptoten).

Voor een op de reële as gelegen nulpuntZk= I/rkvindt men op geheel analoge wijze dat voor hoge frequenties de karakteristiek oploopt met 6 dB/octaaf en dat het 3 dB-punt ligt bij Wk= Zk= I/rk.De beide asymptoten (voorW~0 enW~00)snijden ook hier elkaar in het punt Wk= I/rk(figuur 2.10).

Overdrachtsfuncties van lineaire signaalbewerkingsschakelingen 27 A, (d B) +3 01== ====--- - ...(' w=I/r, z,=I/r, z,=I/r,

Figuur 2.10. Bijdrage tot de amplitudekarakteristiek van een reëel nulpunt (met esvmptoten):

We merken nog op dat het er niet toe doet of het betreffende nulpunt links of rechts van de oorsprong ligt.In beide gevallen is de bijdrage tot de amplitudekarakteristiek dezelfde. Ligt het nulpunt in de oorsprong, dan gaat de kromme over in een rechte, waarvan de helling in het gehele frequentiegebied 6 dB/octaaf bedraagt (figuur 2.11).

A,

(d B)

6dB/oCI

Figuur2.11.Bijdrage.tot de amplitudekarakteristiek van een nulpunt in deoorsprong.

Met behulp van (2.6) laten zich eenvoudig de bijdragen lJfktot de fasekarakteristieken bepalen in de besproken gevallen. Figuur 2.12toont het resultaat.

- w n

~

+~~

r':

i

~,

J

~'i

t

_~_'

--+_ _

n :

n

in

-~

~ I ~ ~ in

~

___

i n :

~

I

-w

-w

I -w o 0 0 I 0

Iw=l/r, Iw=l/r, Iw=l/r,

I I I

! I I

Figuur 2.12. Bijdrage w« tot de fasekarakteristiek van op de reële as gelegen singulariteiten.

28 Analoge signaalbewerkingstechniek

De amplitude- en fasekarakteristieken van een netwerk dat een aantal polen en/of nulpunten op de reële as vertoont, worden nu gevonden door superpositie van de bijdragen der individuele singulariteiten. Bij de constructie van amplitudekarakteris-tieken verkrijgt men zeer snel een algemene indruk van het verloop door de bijdragen te benaderen met hun asymptoten. Bij de constructie van fasekarakteristieken heeft men niet de beschikking over zo 'n eenvoudige methode, daar de.asymptoten geen snijpunten hebben. In gevallen waarin men slechts een algemene indruk van de fasekarakteristiek wenst te hebben kan men zich soms redelijk behelpen met de benadering volgens figuur 2.13.

Figuur2.13. Benadering van de fasekarakteristiek door middel van rechte lijnen.

De bijdrage tot de fasekarakteristiek van een reële singulariteit is hier vervangen door de raaklijn in het buigpunt van de kromme (m

=

l/'fk) tot aan de punten waarin deze raaklijn de asymptoten snijdt. Het verdere verloop wordt benaderd door de asym-ptoten.

Vooral als we te maken hebben met een netwerk met vele polen en nulpunten (bijvoor-beeld een cascadeschakeling van een aantal versterkertrappen) kan zo 'n globale benadering geschikt zijn voor een oriëntatie ten aanzien van oe totale fasekarak-teristiek. Als voorbeeld van een netwerk met reële polen en nulpunten beschouwen we de schakeling van figuur 2.14.

~'--c::----J~

+

R,

~c

u,

•

+

u,

-1/" -I/t,

Figuur 2.14. Netwerk met reële polen en Figuur2.15. Pn-beeld bij figuur 2.14. nulpunten.

De overdracht volgt uit Uo p'f! +1

Overdrachtsfuncties van lineaire signaalbewerkingsschakelingen 29 Figuur 2.15 toont het pn-beeld, figuur 2.16 de asymptotische benadering van de amplitudekarakteristiek.

De responsieAabijta=0, die als referentie fungeert voor de dB-schaal bepaalt men uit de overdrachtsfunctie of door middel van inspectie van het netwerk. Voor het netwerk van figuur 2.14 isAa= 1.

a

--

_{I - - 7}W I I -. I ' ... I

..,.

...

-I ---_Ja)

--Figuur 2.16. Asvmptotische benadering van de amplitudekarakteristiek. Oe werkelijke karakteristiek is eveneens geschetst (streeplijn a).

Figuur 2.17 toont de benadering van de fasekarakteristiek uit de bijdragen der beide_{, ,} singulariteiten. Wil men nauwkeuriger werken, dan kan men de gegeven formules gebruiken of gebruik maken van standaardkrommen en de superpositie met de passer uitvoeren. ~---=~=UJ cp(w) I I I/r" / ' I ,," 1 / /. I I / " I - - - ; - 1 ".'" 1

---~~----~---1 1 1 1 1 1 1 -!rr I ' -,~- - - r - - - 1 --t-~rr 1 1 I 1 I I I I I lir1 :

Figuur 2.17. Benadering van de fasekarakteristiek aan de hand van de constructie volgens figuur2.13. Oegeschatte karakteristiek is aangegeven alsrp(OJ).

Voor toegevoegd complexe polen en nulpunten worden de constructies moeilijker. De asymptotische benadering zal in dit geval vaak zeer grof zijn. Wel geldt natuurlijk dat de bijdrage tot de amplitudekarakteristiek voor twee toegevoegd complexe polen bij hoge frequenties overgaat in een rechte die met 12 dB per octaaf daalt. Twee toege-voegd complexe nulpunten geven een stijging met 12 dB per octaaf. Voor nauw-keurige constructies kan men gebruik maken van standaardkrommen of van de algemene formule (2.5).

30 Analoge signaalbewerkingstechniek

2.7. Verband met polaire figuren

Kennen we de amplitudekarakteristiek en de fasekarakteristiek, dan kunnen we daarmee uiteraard ook de polaire figuur bepalen. Bovendien kunnen we nog enkele algemene regels formuleren ten aanzien van de samenhang tussen pn-beeld en de polaire figuur.

Zij A(P)een gegeven overdrachtsfunctie. De polaire figuur is de afbeelding van de imaginaire as, die door de gegeven functie wordt bepaald. In de functietheorie wordt bewezen dat de afbeelding volgens de door (2.2) gegeven functie conform is, dat wil zeggen dat de hoek tussen twee infinitesimale lijnstukken in het p-vlak bij de afbeelding op het A-vlak qua richting en grootte behouden blijft.

Figuur 2.18 illustreert dit: de imaginaire as wordt in het A-vlak afgebeeld als een polaire figuur (in dit geval een cirkel). Een kromme (bijvoorbeeld de lijn!) die in het p-vlak de imaginaire as loodrecht snijdt wordt afgebeeld als een krommeI'die de pf eveneens loodrecht snijdt. Nu worden punten van hetp-vlak die overeenkomen met de polen van de afbeeldingsfunctie, afgebeeld in het oneindige van het A-vlak. De imaginaire as verdeelt het p-vlak in twee delen: het linkerhalfvlak en het rechterhalf-vlak, eveneens deelt depfhetafbeeldingsvlak in twee delen, het deel binnen depfen het deel buiten de

pi

Uit het feit dat alle polen in het linkerhalfvlak moeten liggen volgt dat dit halfvlak wordt afgebeeld buiten depf, het rechterhalfvlak van het p-vlak wordt dus algebeeld binnen de pfin het A-vlak. Uit het feit dat de afbeelding conform is volgt dan verder dat een polaire figuur gaande van

cv

= 0 naar

cv

~ 00 steeds

rechtsom doorlopen wordt. Dit is een belangrijke regel, die dikwijls van veel nut is bij het construeren van polaire figuren.

--+---'-~I

p-vJak

Figuur 2.18. Conforme afbeelding.

Opmerking

Bij het construeren van een polaire figuur kan men volstaan met het afbeelden van de positieve w-as. Het afbeelden van de negatieve w-as geeft geen nieuwe informatie als gevolg van het symmetrische karakter van het p-vlakten opzichte van de lijnCV=0 (dit

Overdrachtsfuncties van lineaire signaalbewerkingsschakelingen 31

is de reële as). We verkrijgen voorW<0 dezelfde

pi

als voor w> 0, doch gespiegeld ten opzichte van de reële as van het A-vlak.

Nulpunten in de oorsprong bepalen de helling van de amplitudekarakteristiek voor t»~O. Een n-voudig nulpunt in 0 betekent een helling van6ndB/octaaf. Als er geen nulpunten in het rechterhalfvlak liggen, dan bepalen de in 0 gelegen nulpunten ook de fasekarakteristiek voor

co

~ 0; een n-voudig nulpunt betekent een fasedraaiing ter grootte van nn/2 voor ca~ O. In het rechterhalfvlak gelegen nulpunten geven een extra fasedraaiing, zo geeft een op de reële as gelegen nulpuntinhet rechterhalfvlak voor t»= 0 een extra fasedraaiing van tiradialen. Ten aanzien van de polaire figuur kunnen we dus zeggen dat bij één of meer nulpunten in 0 de

pi

begint in de oorsprong. Zijn er geen nulpunten in het rechterhalfvlak en is er geen n-voudig nulpunt in 0, dan raakt de

pi

voor to~ 0 aan de in-as.

Evenzo beredeneert men datin het oneindige gelegen nulpunten (dat wil zeggen het verschil tussen het aantal polen en nulpunten) iets zeggen over de polaire figuur bij w~00.Een n-voudig nulpunt in het oneindige betekent een helling van-6ndB/octaaf in de amplitudekarakteristiek en een fasedraaiing-nn/2voor

w

~ 00door de oor-sprong.De polaire figuur raakt daar aan de (_})n_as.

Heeft men een netwerk met vele polen en nulpunten, bijvoorbeeld een cascade-schakeling van een aantal versterkertrappen, dan kan men dikwijls snel een indruk krijgen van het verloop van amplitude- en fasekarakteristieken, en daarmee van de polaire figuur, door de singulariteiten in groepjes samen te nemen. Polen en nulpunten verminderen immers elkaars invloed.Op grote afstand van een groepjek polen en) nulpunten is de totale uitwerking alsof zich op de plaats van dit groepje een (k - })-voudige pool (als k> }) of een (j - k)-voudig nulpunt (als)>k)bevindt. Toepassing van deze regel maakt het dikwijls mogelijk het rekenwerk zeer sterk te vereen-voudigen.

2.8. Minimumfase- en niet-minimumfasenetwerken

Bij de behandeling van de algemene voorwaarden waaraan de polen en nulpunten van een overdrachtsfunctie moeten voldoen is gebleken dat de polen steeds in het linkerhalfvlak moeten liggen, doch dat nulpunten zowel in het linkerhalfvlak als in het rechterhalfvlak kunnen liggen. Netwerken waarbij de nulpunten alle in het linker-halfvlak liggen noemt men minimumfasenetwerken, wanneer de nulpunten of een deel der nulpunten in het rechterhalfvlak liggen spreekt men van niet-minimurnfasenet-werken. Bij een minimumfasenetwerk bestaat er een eenduidig" verband tussen de amplitudekarakteristieklA(w)1 en de fasekarakteristiekqX.w). De geldigheid van deze regel kan algemeen worden aangetoond, een vermoeden van de juistheid ervan verkrijgt men reeds bij een directe beschouwing van het pn-beeld, waarbij blijkt dat het

32 Analoge signaalbewerkingstechniek

niet mogelijk is een pool of nulpunt zo te verplaatsen dat de amplitudekarakteristiek niet verandert en de fasekarakteristiek wel. Het pn-beeld legt zowel de amplitude-karakteristiek als de faseamplitude-karakteristiek eenduidig vast. Bij niet-minimumfasenetwerken bestaat er geen eenduidig verband tussen de amplitudekarakteristiek en de fasekarakteristiek. Ook dit kan direct blijken uit het pn-beeld, Immers als we een nulpunt uit het linkerhalfvlak verplaatsen naar het rechterhalfvlak, zódanig dat de nieuwe positie van het nulpunt het spiegelbeeld is van de oude ten opzichte van de imaginaire as, verandert er niets aan de amplitudekarakteristiek, doch wel aan de fasekarakteristiek. De fasedraaiing, die dit netwerk geeft, is altijd groter dan die van het bijbehorende minimumfasenetwerk. H.W. Bode heeft het verband tussen amplitude- en fasekarakteristiek voor minimumfasenetwerken mathematisch onder-zocht en in formules vastgelegd. De meest gebruikte formulering van deze 'wet van Bode' luidt

~

({Jc 2 fAN-ANcd

Tfc

=- =-

2 2 W.

/O'c 1!

r.,

r, u.I. 0 u.I - u.lc

(2.9)

Hierin is({Jcde fasedraaiing bij de hoekfrequentieWcin radialen en_{A N}de versterking in nepers. De neper is, evenals de dB, een logaritmische maat voor de versterking, echter op basis van de natuurlijke logaritme:AN=In lAl De grootheid Tf= ({J/wwordt faselooptijdgenoemd; Tfcis dus de faselooptijd bijW=wc.

Figuur2.19. Voorbeeld van een amplitudekarakteristiek.

De interpretatie van (2.9) is eenvoudig. Zij AN(W) gegeven (figuur 2.19); de faselooplijd inWcvolgt dan uit de sommatie van alle waarden van het verschil vanAN en de waarde ANcvan ANin Wc met inachtname van een 'gewichtsfactor'. Deze gewichtsfactor, te weten 1/(or-

ofc)

is groot voor frequenties in de buurt van Wc, terwijl hij klein is voor frequenties ver verwijderd van wc. De fasehoek en de faselooptijd in de buurt van Wcworden dus vooral bepaald door de fluctuaties in de amplitudekarakteristiek in dezelfde omgeving, doch alle overige punten van de amplitudekarakteristiek spelen ook mee, zij het in mindere mate. V?or de afleiding van (2.9) en voor voorbeelden van het gebruik ervan raadplege men het bekende boek van H.W. Bode,Networkanalysis andfeedback amplifier design, Princeton, 1945.

Overdrachtsfuncties van lineaire signaalbewerkingsschakelingen 33 We hebben reeds gezien dat bij niet-minimumfasenetwerkengeen vast verband bestaat tussen amplitude- en fasekarakteristiek. Dit maakt dit type netwerken bijzonder geschikt voor fase-egalisatie. Men kan er een bepaalde fasecorrectie mee tot stand brengen zonder gedwongen te zijn een daarmee vastliggende verandering van de amplitudekarakteristiek van het systeem op de koop toe te nemen. Indien gewenst kan men zelfs fasedraaiende netwerken maken met een theoretisch volkomen vlakke amplitudekarakteristiek. Hiertoe moet het pn-beeld zo gekozen worden dat alle nulpunten in het rechterhalfvlak liggen en juist het spiegelbeeld ten opzichte van de

imaginaire as zijn van de polen. Figuur 2.20 geeft een voorbeeld van zo'n pn-figuur. De fasedraaiing bedraagt, zoals men gemakkelijk ziet, 1800

voor to= 0 en 00 voor

W-7oo•De amplitudekarakteristiek is volkomen vlak.

I/r, l/r,

Figuur 2.20. pn-beeld van een niet-minimumfasenetwerk.

We merken nog op dat men voor de karakterisering van het fasegedrag van een netwerk lang niet altijd de directe fasekarakteristiek qJ(w)gebruikt. Invele gevallen geeft men de voorkeur aan de reeds genoemde fase-vertragingskarakteristiekof fase-looptijdkarakteristiek Tlw)= qJ(w)/wdan wel aan de groepvertragingskarakteristiek (groeplooptijd) Tg(W)

=

dqJ(w)/dw.Het gebruik van laatstgenoemde karakteristiek heeft vooral voordelen bij de bestudering van selectieve systemen, zoals banddoorlatende versterkers, daar de groeplooptijd overeenkomt met de vertraging van de omhullende van een gemoduleerde wisselspanning, dus met de vertraging van de informatie-stroom. De karakteristieken Tlw) en Tg(W) kunnen direct afgeleid worden uit de fasekarakteristiek qi..w).

2.9. Sprongkarakteristieken

Wanneer we de amplitudekarakteristiek en de fasekarakteristiek van een lineair netwerk in het gehele frequentiegebied (van'

ca

=0 totW-700)kennen, is het gedrag van het netwerk hiermee volkomen bepaald.We kennen dan de responsie van het netwerk voor sinusvormige signalen van willekeurige frequentie, zodat we met behulp van de Fourieranalyse de overdracht van een willekeurig signaal S =f(t) kunnen berekenen. Is het ingangssignaal van periodieke aard, zodat we met een beperkt aantal spectraalcomponenten te maken hebben, dan ligt toepassing van deze methode voor de hand. Dit is ook het geval wanneer het signaal weliswaar niet zuiver periodiek is, maar de faserelaties van betrekkelijk weinig belang zijn, zodat we met kennis van de

34 Analoge signaalbewerkingstechniek

amplitudekarakteristiek in een beperkt frequentie-interval kunnen volstaan. Dit laatste is het geval wanneer het signaal een audiosignaal is: het oor is weinig gevoelig voor fasedraaiingen van de samenstellende sinusvormige componenten van het audio-signaal.

B\A.1l

s.

~

i

t

Y

Wanneer het ons echter te doen is om kennis van de wijze waarop een niet-periodieke tijdfunctie wordt overgedragen, is de methode waarbij we het gedrag van het netwerk beschrijven met behulp van amplitude- en fasekarakteristieken, omslachtig. Dit is het geval bij impulsvormige signalen en bij televisiesignalen. Zulke signalen kunnen we ons opgebouwd denken uit een reeks plotselinge sprongvorrnige variaties in de tijd. In zo'n geval hebben we vaak meer aan kennis van de zogenaamde sprongkarakteristiek, dit is de reactie van het netwerk op een eenmalige sprongsgewijze variatie van het ingangssignaal (eenheidssprong, unit step function). Omdat het pn-beeld van het netwerk de overdrachtseigenschappen geheel bepaalt, moet het mogelijk zijn een direct verband aan te geven tussen de sprongkarakteristiek (Engels: transient response) en het pn-beeld.

Opmerking

Men neme er goede nota van dat de sprongkarakteristiek een geheel ander karakter heeft dan de amplitude- en de fasekarakteristiek. Eerstgenoemde geeft de reactie van het netwerk als functie van de tijd, laatstgenoemde als functie van de frequentie. Gelukkigerwijze blijkt het verband tussen de sprongkarakteristiek en het pn-beeld van zeer eenvoudige aard te zijn. Dit verband leidt men het gemakkelijkstafmet behulp van deLaplacetransformatie.Zoals bekend mag worden verondersteld, kan men aan elke tijdfunctief(t) een functie F(P) toevoegen, die men de Laplacetransformatie noemt. Defmieert men deze als

F(P)=

f

exp(-pt)f(t) dt, o

en stelt men de overdrachtsfunctie van het netwerk op met behulp van de volgens de Laplacetransformatie getransformeerde netwerkvergelijkingen, dan blijkt dat de aldus gevonden overdrachtsfunctie precies dezelfde gedaante heeft als de eerder gevonden vorm, die ontstond door exp(pt) te substitueren in de differentiaalvergelijkingen. De reactie van het netwerk op een sprongfunctie is dus eenvoudig te vinden door met behulp van de gevonden overdrachtsfunctie de Laplacctransformatie van het uitgangs-signaal op te stellen en deze terug te transformeren tot een tijdfunctie. De Laplace-transformatie van de eenheidssprong I(t) is IIp, zoals men gemakkelijk ziet met behulp van de definitieforrnule.

Overdrachtsfuncties van lineaire signaalbewerkingsschakelingen 35 A - (p - ZI)(P - zz)(p - Z3) (p - zn)

- (p - PI)(P - pz)(p - P3) (p - Pm) •

dan volgt de sprongkarakteristiek eenvoudig uit de terugtransformatie van de functie Alp, dus

(2.10) Het pn-beeld vanF(P)vindt men dus uit het pn-beeld vanAdoor één pool inP=0 toe te voegen.

Terugtransformatie kan plaats vinden door F(P) op de bekende wijze in partiële breuken te splitsen. Met uitsluitend enkelvoudige polen:

[Aa AI Az ]

F(P)= - + + + ....

P P - PI P - ti: (2.11 )

Aais het residu van F(P) inP= 0,AI is het residu inP=PI enzovoorts. Er zij aan herinnerd dat het residu in de poolP

=

Piper definitie gelijk is aan

(2.12) Uit deze definitie volgt dat de waarde der residuen onder meer afhangt van de nul-punten van F(P). Bij aanwezigheid van een meervoudige pool. bijvoorbeeld een k-voudige pool inP=ps,neemt de splitsing in partiële breuken de vorm aan

Aa A'I

Aï

AI"

F(P)= [ - + ( )k'+ (p )(k-I) +(p )(k-Z) + ...

P P-PI -PI -PI

A(k) A A A + I + Z + 3 + ... +

m].

(2.13) P-PI P-PZ P-P3 P-Pm A

I

is nu gegeven door AI =[(P -

pd

F(P)]p=P1" Evenzo AI'= 111

[t

(p-PIiF(p)}]P=Pi'

A1"=

il

[d~Z

(P - Pli F(P)}]p=pl' enzovoorts

(2.14.a)

(2.14.b)

(2.14.c)

Uit (2.11) en (2.13) kunnen we enkele belangrijke conclusies trekken ten aanzien van het verband tussen pn-beeld en sprongkarakteristiek. Terugtransformatie van een term A,J(p - Pn)levert op Anexp(pnt), terugtransformatie van een term van het type A,J(p - Pnflevert op

36 Analoge signaalbewerkingstechniek

An k 1 (P)

(k _ 1)! 1 - exp nl.

De sprongkarakteristiek stelt zich dus samen uit een reeks afnemendee-machten (Pn heeft steeds een negatief reëel deel), eventueel vermenigvuldigdmet een factorI,

P,

enzovoorts. AlsPnreëel is zijn deze tijdfuncties aperiodiek, zijn echterPnenP: toe-gevoegd complexe polen, dan komen steeds tegelijk voor An exp(Pnl)en A: exp(p:t). Is P«= _an+jliJn en stellen we gemakshalve An =B +jD, dan is

= 2 exp( ant)·[B cos liJnl- D sin liJni]. (2.15)

Inde sprongkarakteristiekontbreekt nu de term, die ontstaat door terugtransformatie vanAoIp,dusAo·1(I),een sprongvormige component ('gelijkstroomcomponent'), die niet uitsterft. Terugtransformatie van (2.16) levert uitsluitenduitstervende e-rnachten op, voor 1~ 00 is de responsie nul. We concluderen dus dat nulpunten in de oorsprong de sprongkarakteristiek voor1~00naar nul doen gaan.

Het zal geen verwondering wekken dat op soortgelijke wijze geldtdat de aanwezigheid (2.16) _ (p - ZI)(p - Z2)

-(p -Pl)(P -P2)

Aangezien

a;

<0 (polen in linkerhalfvlak) stelt dit een harmonische trilling voor met afnemende amplitude. Toegevoegd complexe polen leveren dus steeds periodieke termen in de sprongkarakteristiek op; in reactie op het sprongvormige ingangs-verschijnsel treden in het netwerk uitslingeringangs-verschijnselen op,die na verloop van tijd uitsterven.

Uit het voorgaande volgt dat voor het optreden van zulke uitslingerverschijnselenin de sprongkarakteristiek complexe polen een noodzakelijke en voldoende voorwaarde vormen. De ligging van de polen bepaalt geheel de frequentie tovan het uitslinger-verschijnsel en de door de dempingsexponent

a

gegeven snelheid van uitsterven. Voor de aperiodieke componenten geldt eveneens dat de tijdconstante,die hun uitsterf-snelheid bepaalt, geheel bepaald wordt door de plaats van de polen op de reële as. Men concludere hieruit echter niet, dat de posities der nulpunten vangeen belang zijn. De grootte en het teken van de residuen hangt er wel van af en daarmee de onderlinge verhouding van de amplituden der diverse samenstellende delen.Verschuiving van een • nulpunt kan daardoor toch wel eens verrassende gevolgen hebben voor de aard van de sprongkarakteristiek.

Zeer duidelijk blijkt de betekenis van de nulpunten als we de invloed nagaan van in de oorsprong en van in het oneindige gelegen nulpunten. Is ereen nulpunt in de oor-sprong, dan volgt de sprongkarakteristiek uit de terugtransformatievan een vorm van de gedaante

Overdrachtsfuncties van lineaire signaalbewerkingsschakelingen 37 van nulpunten in het oneindige (datwil zeggen in het eindige zijn er meer polendan nulpunten) ten gevolge heeft dat de sprongkarakteristiek in t

=

0 de waarde nul aannëêmt,Zoals we weten hebben praktische netwerken minstens één nulpunt in het oneindige,de reactie op een sprongvormig ingangssignaal vertoont blijkbaar altijd een zekere traagheid. De fysische oorzaak is evident: de energie-inhoud van reactieve elementenkan niet sprongsgewijs veranderen.

Bij sommige netwerken is nietinde eerste plaats de reactie op een eenheidssprong van belang,doch de reactie op het inschakelen van een sinusvormig (of cosinusvormig) signaal. Dit geval laat zich eenvoudig behandelen door gebruik te maken van de Laplacetransformatievan het inschakelen van een periodiek signaal. Zoals bekend is van I (t)·sinOJtde LaplacetransformatieOJ/(p2+al),die van 1(t)·cos OJt isp/(p2+

w2).

Figuur 2.21 toont de pn-beelden van dezep-functies.

Inhet bijzonderbij netwerken met banddoorlatend karakter zijn sprongkarakteristieken van dit type van belang; zij geven direct een indruk van de wijze waaropsprongs-gewij ze variaties in de omhullende van een gemoduleerde draaggolf worden

doorgegeven.

1

I(r)

0 _

~l

1(I).COSwro~--\--+---t---r-- --7 -,-p -,

--71 P +w 1(1).sinWI- + - - - \ - - - + - - - - \ , - - - - , o +jw -jw +jw -jw

Figuur 2.21. Sprongfuncties en het pn-beeld van hun Laplacetransformatie.

Bij praktisch gerichte beschouwingen over arnplitudekarakteristieken maakt men voor een eenvoudige en globale beschrijving gebruik van de begrippenbandbreedte (bij-voorbeeld de 3dB-bandbreedte, uitgedrukt in MHz) eu ftanksteilheid(in dB/octaaf). Ook bij de beschouwing van sprongkarakteristieken bestaat er behoefte aan groot