Lista nr 6 I´S, sem.II, studia niestacjonarne, 2015/16
Ca lka krzywoliniowa skierowana
1. Obliczy´c:
a) Z
AB
2xydx − x2dy, je˙zeli AB jest: 1◦ odcinkiem, 2◦ lukiem paraboli y = x2 l¸acz¸acym punkt A(0, 0) z punktem B(1, 1),
b) Z
AB
xdy, je˙zeli AB jest lukiem elipsy o przedstawieniu parametrycznym x = 2 cos t, y = sin t, t ∈ h0; π/2i, niezgodnym z kierunkiem tego luku,
c) Z
AB
(2a − y)dx + xdy, je˙zeli AB jest lukiem cykloidy o przedstawieniu parametrycznym x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ h0; 2πi, niezgodnym z kierunkiem tego luku,
d) I
K
x2dx + y2dy, je˙zeli K jest okr¸egiem o r´ownaniu x2+ y2= 1, skierowanym dodatnio wzgl¸edem swego wn¸etrza,
e) I
K
xdx + ydy, je˙zeli K jest brzegiem kwadratu o wierzcho lkach A(0, 0), B(0, 1), C(1, 1) i D(1, 0), skierowanym dodatnio wzgl¸edem swego wn¸etrza,
f) Z
AB
xdx y + dy
y − 1, gdzie AB jest skierowanym lukiem cykloidy x = t − sin t, y = 1 − cos t, od punktu A π − 3 6 ,2 −√
3 2
!
do B 2π − 3√ 3 6 ,1
2
! ,
g) Z
AB
y2dx − x2dy
x5/3+ y5/3 , gdzie AB jest skierowanym lukiem asteroidy x = cos3t, y = sin3t od punktu A(0, 1) do B(1, 0).
2. Obliczy´c:
a) Z
AB
(y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz po luku AB linii ´srubowej o przedstawieniu parametrycznym x = cos t, y = sin t, z = t, t ∈ h0; 2πi, niezgodnym z kierunkiem tego luku,
b) Z
K
xdx + ydy + zdz po okr¸egu K o przedstawieniu parametrycznym x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 3, t ∈ h0; 2πi, zgodnym z jego kierunkiem,
c) Z
AB
2x + z
z dx + 2y + z
z dy + z2− x2− y2
z2 dz, gdzie AB jest odcinkiem prostej skierowanym od punktu A(1, 2, 1) do punktu B(3, 1, 3).
