Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.
Zastosowania.
I. Interpretacja geometryczna caªki oznaczonej (zastosowanie caªki oznaczonej do liczenia pól obszarów pªaskich)
Wniosek 1. Dla nieujemnej funkcji ci¡gªej f : [a, b] → R miara Jordana trapezu krzywoliniowego (pole |P |) ograniczonego osi¡ Ox, prostymi x = a, x = b i wykresem funkcji y = f(x) (patrz Rysunek 1 a)) pokrywa si¦ z caªk¡ Riemanna funkcji f(x) na przedziale [a, b] i wyra»a si¦ wzorem:
|P | =
b
Z
a
f (x)dx.
a) b)
Rysunek 1: Interpretacja geometryczna caªki oznaczonej.
Wniosek 2. Je»eli ci¡gªa funkcja f : [a, b] → R jest niedodatnia na przedziale [a, b] to pole |P | obszaru pªaskiego ograniczonego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b (patrz Rysunek 1 b)) wyra»a si¦ wzorem:
P = −
b
Z
a
f (x)dx, .
Wniosek 3. Je»eli ci¡gªa funkcja f na przedziale [a, b] zmienia znak, to pole |P | obszaru pªaskiego ograniczonego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b (patrz rysunek 2a) równe jest sumie pól poªo»onych powy»ej osi Ox i poni»ej osi:
|P | = |P 1 | + |P 2 | + |P 3 | =
c
Z
a
f (x)dx −
d
Z
c
f (x)dx +
b
Z
d
f (x)dx.
a) b)
Rysunek 2: Zastosowanie caªki oznaczonej do liczenia pól obszarów pªaskich.
Wniosek 4. Niech f, g : [a, b] → R b¦d¡ funkcjami ci¡gªymi i takimi, »e g(x) ≤ f(x) dla wszystkich x ∈ [a, b], co oznacza, »e wykres funkcji f znajduje si¦ powy»ej wykresu funkcji g. Wówczas pole obszaru ograniczonego tymi krzywymi oraz prostymi x = a, x = b (patrz rysunek 2b) wyra»a si¦
wzorem:
|P | =
b
Z
a
[f (x) − g(x)]dx.
II. Dalsze zastosowania caªki oznaczonej
1. Pole obszaru pªaskiego w obszarze biegunowym:
Wniosek 5. Pole obszaru F ograniczonego ªukiem AB krzywej wyra»onej we wspóªrz¦dnych biegu- nowych r = f(ω) dla ω ∈ [α, β] i promieniami wodz¡cymi f(α) i f(β) (patrz rysunek 3a) wyra»a si¦
wzorem:
|P | = 1 2
β
Z
α
f 2 (ω)dω.
a) b)
Rysunek 3: a) pole obszaru pªaskiego w obszarze biegunowym b) dªugo±¢ ªuku.
2. Pole obszaru pªaskiego we wspóªrz¦dnych parametrycznych:
Wniosek 6. Je»eli krzywa k o równaniu parametrycznym
( x = x(t)
y = y(t) jest klasy C 1 (tzn. funkcje x(t), y(t) s¡ klasy C 1 ), przy czym y(t) ≥ 0 oraz x 0 (t) > 0 dla [t 1 , t 2 ]. Wówczas pole |P | obszaru F zawartego mi¦dzy krzyw¡ k osi¡ Ox i prostymi x = x(t 1 ), x = x(t 2 ) wyra»a si¦ wzorem:
|P | =
t
2Z
t
1y(t)x 0 (t)dt.
(Przy zaªo»eniach, »e x(t) jest monotoniczna, a y(t) staªego znaku wzór ma posta¢: |P | = R t
2t
1|y(t)x 0 (t)|dt. ) 3. Dªugo±¢ krzywej:
Wniosek 7. Dªugo±¢ krzywej Γ : y = f(x) dla x ∈ [a, b], gdy f(x) ∈ C 1 ([a, b]) (patrz rysunek 3b) wyra»a si¦ wzorem:
|Γ| =
b
Z
a
p 1 + (f 0 (x)) 2 dx.
Wniosek 8. Niech x(t), y(t) : [a, b] → R maj¡ ci¡gle pochodne, to krzywa
( x = x(t)
y = y(t) na przedziale t ∈ [a, b] ma dªugo±¢
|Γ| =
b
Z
a
p x 02 (t) + y 02 (t)dt.
Wniosek 9. Dªugo±¢ krzywej wyra»onej w postaci biegunowej r = f(ω) dla α ≤ ω ≤ β, gdy f ∈ C 1 ([α, β]) (patrz rysunek 3a) wyra»a si¦ wzorem:
|Γ| =
β
Z
α
s
r 2 + dr dω
2
dω.
4. Obj¦to±¢ bryª obrotowych:
Wniosek 10. Niech f : [a, b] → R b¦dzie nieujemna funkcj¡ ci¡gª¡. Obj¦to±¢ |V | bryªy powstaªej z obrotu wokóª osi Ox obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = f(x) osi¡ Ox i prostymi x = a, x = b, gdzie a < b (patrz rysunek 4a) wyra»a si¦ wzorem:
|V | = π
b
Z
a
f 2 (x)dx,
Wniosek 11. Niech f : [a, b] → R b¦dzie nieujemn¡ funkcj¡ ci¡gª¡. Obj¦to±¢ |V | bryªy powstaªej z obrotu wokóª osi Oy obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = f(x) osi¡ Ox i prostymi x = a, x = b, gdzie 0 ≤ a < b (patrz rysunek 4b) wyra»a si¦ wzorem:
|V | = 2π
b
Z
a
x · f (x)dx,
Wniosek 12. Niech x 0 (t), y(t) ∈ C([a, b]), ponadto funkcja x(t) jest w tym przedziale stale mono- toniczna (x 0 (t) jest staªego znaku), a funkcja y(t) przybiera warto±ci nieujemne. Wówczas obj¦to±¢
bryªy powstaªej z obrotu wokóª osi Ox ªuku danej krzywej w postaci parametrycznej ( x = x(t),
y = y(t), gdzie t ∈ [t 1 , t 2 ] wyra»a si¦ wzorem:
|V | = π
t
2Z
t
1y 2 (t)|x 0 (t)|dt.
a) b)
Rysunek 4: Obj¦to±¢ bryª powstaªych z obrotu f(x) wokóª: a) osi Ox b) Osi Oy.
5. Pole powierzchni bryª obrotowych:
Pole powierzchni powstaªej z obrotu:
a) wokóª osi Ox wykresu funkcji y = f(x) ≥ 0 dla a ≤ x ≤ b (patrz rysunek 5a), wyra»a si¦
wzorem:
|P | = 2π
b
Z
a
f (x) p
1 + (f 0 (x)) 2 dx, o ile f(x) ∈ C 1 ([a, b]);
b) wokóª osi Oy wykresu funkcji y = f(x) dla 0 ≤ a ≤ x ≤ b (patrz rysunek 5b), wyra»a si¦
wzorem:
|P | = 2π
b
Z
a
x p
1 + (f 0 (x)) 2 dx.
o ile f(x) ∈ C 1 ([a, b]);
c) obrotu wokóª osi Ox ªuku danej krzywej w postaci parametrycznej ( x = x(t),
gdzie t ∈ [t , t ]
wyra»a si¦ wzorem:
|P | = 2π
t
2Z
t
1|y(t)| p
x 02 (t) + y 02 (t)dt, gdzie x(t), y(t) ∈ C 1 ([a, b]).
a) b)
Rysunek 5: Pole powierzchni bryª powstaªych z obrotu f(x) wokóª: a) osi Ox b) Osi Oy.
III. Twierdzenia o warto±ci ±redniej
Twierdzenie 13. (I-sze twierdzenie o warto±ci ±redniej)
Niech funkcja f : [a, b] → R b¦dzie ci¡gªa na przedziale [a, b] oraz niech funkcja g(x) ma staªy znak w przedziale [a, b] (nieujemna lub niedodatnia) i g(x) b¦dzie caªkowalna w sensie Riemanna na [a, b].
Wówczas istnieje liczba c ∈ [a, b] taka, »e:
b
Z
a
f (x)g(x)dx = f (c)
b
Z
a
g(x)dx. (1)
Wniosek 14. (twierdzenie o warto±ci ±redniej)
Je»eli g(x) ≡ 1, to z twierdzenia 13 mamy, »e istnieje c ∈ [a, b] takie, »e:
f (c) = 1 b − a
b
Z
a
f (x)dx. (2)
Twierdzenie 15. (II-gie twierdzenie o warto±ci ±redniej)
Niech funkcje f(x), g(x) b¦d¡ caªkowalne na przedziale [a, b] oraz funkcja g(x) b¦dzie monotoniczna.
Wówczas istnieje liczba c ∈ [a, b] taka, »e::
b
Z
a
f (x)g(x)dx = g(a)
c
Z
a
f (x)dx + g(b)
b
Z
c
f (x)dx. (3)
De nicja 16. Niech funkcja f(x) b¦dzie caªkowalna na przedziale [a, b], to funkcj¦:
F (x) =
x
Z
a
f (t)dt, dla x ∈ [a, b]
okre±lon¡ na przedziale [a, b] nazywa¢ b¦dziemy funkcj¡ górnej granicy caªkowania.
Twierdzenie 17. Niech dla ka»dego x funkcja f(x) jest ci¡gªa na przedziale [a(t), b(t)], gdzie a(t), b(t) to funkcje klasy C 1 . Wówczas:
d dx
b(x)
Z
a(x)
f (t)dt
= b 0 (x) · f b(x) − a 0 (x) · f a(x). (4)
Zadania
1. Korzystaj¡c z interpretacji caªki oznaczonej oblicz pole obszaru D ograniczonego:
a) y = ln x, x = e, y = 0; b) y = x 2 − 6x + 5, y = 5 − x;
c) y = x 2 , y = 2x 2 , y = 8, x ≥ 0; d) y = x 3 − x 2 − x, y = x;
e) y = x 3 , y = 4x 2 − 3x; f) y 2 = 4 + x, y 2 + x = 2;
g) y = x 2 − x − 6, y = −x 2 + 5x + 14; h) y = x √ 1 ln x , y = 0, x ∈ (1, e];
i) y 2 = x 2 (4 − x 2 ); j) y = 1+x 1
2, x ≥ 0, y ≥ 0.
2. Oblicz pole gury ograniczonej parabol¡ y = x 2 + 4x + 9 i stycznymi do niej poprowadzonymi w punktach o odci¦tych −3 i 0.
3. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzyw¡ o równaniu biegunowym r = f(ω) oraz promieniami wodz¡cymi r(α) i r(β) :
a) f(ω) = 3 − cos 2ω, α = 0, β = π 2 ; b) f(ω) = 2 √
cos 2 ω, α = 0, β = π 4 . 4. Oblicz pole obszaru ograniczonego przez kardioid¦ o równaniu: f(ω) = r(ω) = 1 + cos ω.
5. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzyw¡ w postaci parametrycznej a)
( x(t) = t 2 ,
y(t) = t − 1 3 t 3 , gdzie t ∈ [0, √ 3];
b) pole p¦tli krzywej
( x(t) = 2t − t 2 , y(t) = 2t 2 − t 3 . 6. Oblicz dªugo±¢ ªuku krzywej:
a) y = 1 2 x 2 − 1 4 ln x dla 1 ≤ x ≤ e; b) y = ln(cos x) dla 0 ≤ x ≤ π 3 ; c) y = 1 2 (e x + e −x ) dla 0 ≤ x ≤ 1; d) y = (4 − x
23)
32dla 1 ≤ x ≤ 8.
7. Oblicz obwód kardioidy okre±lonej w postaci biegunowej: f(ω) = 2 − 2 sin ω.
8. Oblicz dªugo±¢ ªuku krzywej okre±lonej w postaci parametrycznej:
a)
( x(t) = t 2 ,
y(t) = 1 3 t 3 , dla t ∈ [0, √ 3];
b)
( x(t) = 2(cos t + t sin t),
dla t ∈ [0, √
2].
9. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu gury N wokóª osi OX, gdzie N : a) y = 2x − x 2 , y = 0; b) y = x 2 − 4x, y = 0;
c) y = 2 x , y = 2 − ln x, x = 0, y = 0; d) y = √
x · e −x , y = 0.
10. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu gury N wokóª osi Oy : a) N : 0 ≤ y ≤ tg x 2 , 0 ≤ x ≤ p π
3 ; b) N : y 2 = 4 − x, x = 0.
11. Oblicz obj¦to±¢ kuli o promieniu R.
12. Znale¹¢ obj¦to±¢ cz¦±ci wspólnej kuli x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 i sto»ka y 2 = x 2 + z 2 , gdzie y ≥ 0.
13. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu jednego ªuku cykloidy
( x(t) = t − sin t,
y(t) = 1 − cos t wokóª osi Ox.
14. Oblicz pole powierzchni powstaªej z obrotu funkcji:
a) y = ln x dla 1 ≤ x ≤ √
3 wokóª osi Oy; b) y = 6x dla 0 ≤ x ≤ 1 wokóª osi Ox;
c) y = sin x dla 0 ≤ x ≤ π wokóª osi Ox; d) y = √
25 − x 2 dla − 2 ≤ x ≤ 3 wokóª osi Ox.
15. Oblicz pole powierzchni:
a) kuli o promieniu R; b) bocznej sto»ka o promieniu r i wysoko±ci h.
16. Korzystaj¡c z de nicji caªki oznaczonej wyznacz granice:
(a) lim
n→∞
1
n+1 + n+2 1 + · · · + n+n 1 ; (b) lim
n→∞
1 n
sin π n + sin 2π n + · · · + sin (n−1)π n
; (c) lim
n→∞
3 n √
n
√ 3 + n + √
6 + n + · · · + √
3n + n . 17. Wyznacz pochodn¡ funkcji f(x) :
(a) f(x) =
√
3x
R
0
cos t 3 dt; (b) f(x) = ln(2+sin x)
R
−x
2e
t|t|+1 dt; (c) f(x) =
√ x
R
x
e −t
3dt, x ∈ [0, +∞).
18. Oblicz granice:
(a) lim
x→0 R
x0
cos t
2dt
x ; (b) lim
x→∞
R
x 0e
t2dt
2R
x0
e
2t2dt . 19. Wyznacz ekstrema funkcji:
f (x) :=
x
Z
0
e t
2(t 2 − 3t + 2)dt.
20. Niech funkcja f ∈ C([0, +∞)) b¦dzie rosn¡ca na przedziale [0, +∞). Poka», »e funkcja:
g(x) := 1 x
x
Z
0
f (t)dt
jest rosn¡ca na (0, +∞).
21. Znajd¹ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f(x) = R x
0 2t+1
t
2−2t+2 dt na przedziale [−1, 1].
22. Wyznacz funkcj¦ górnej granicy caªkowania dla f(x) = x − 2 dla x ∈ [0, 2]
2x − 4 dla x ∈ (2, 3] na przedziale [0, 3].
23. Oblicz ±redni¡ warto±¢ funkcji f(x) = √
x na przedziale [0, 100].
24. Korzystaj¡c z twierdze« o warto±ci ±redniej, wyka» nierówno±ci:
(a) 16 3 <
4
R
1
√
1+sin
2x
x
2dx < 3 √
2; (b) 3 4 <
4
R
1
√
1+sin
2x
x
2dx < 3
√ 2 4 ; (c) 4(e−1) 9 <
1
R
0 e
x2+x−x
2dx < e−1 2 ; (d) 1 3 <
1
R
0
x 2 e x dx < 3 e . 25. Niech funkcja f ∈ C([−a, a]). Udowodnij:
a) je»eli f jest parzysta na [−a, a], to
a
Z
−a
f (x)dx = 2
a
Z
0
f (x)dx;
a) je»eli f jest nieparzysta na [−a, a], to
a
Z
−a
f (x)dx = 0.
26. Niech funkcja f ∈ C([−a, a]). Wyznacz warto±¢ caªki: R a
−a
[f (x) − f (−x)] dx.
27. Nie obliczaj¡c rozstrygnij, która z warto±ci jest wi¦ksza.
(a)
π
R
20
sin 3 xdx czy
π
R
20
sin 7 xdx; (b)
π
R
20
sin xdx czy R π
0
sin xdx;
(c) R π
0
sin xdx czy
3 2
