Caªki niewªa±ciwe.

(1)

dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I⁰.lic. 21 marca 2016

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.

Caªki niewªa±ciwe.

Caªka oznaczona zostaªa zdeniowana dla funkcji ograniczonych okre±lonych na przedziale ograniczonym. Rozwa»my teraz przypadki funkcji nieograniczonych lub okre±lonych na przedziale nieograniczonym.

Caªka na przedziale nieograniczonym (caªka niewªa±ciwa I rodzaju):

Denicja 1. (caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju)

Niech funkcja f b¦dzie okre±lona na przedziale [a, +∞) i caªkowalna na ka»dym sko«czonym podprzedziale [a, B], B > a. Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale [a, +∞) deniujemy wzorem:

+∞

Z

a

f (x)dx := lim

B→+∞

B

Z

a

f (x)dx. (1)

Analogicznie: niech funkcja f b¦dzie okre±lona na przedziale [−∞, b) i caªkowalna na ka»dym sko«- czonym podprzedziale [A, b], A < b. Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale [−∞, b] deniujemy wzorem:

b

Z

−∞

f (x)dx := lim

A→−∞

b

Z

A

f (x)dx. (2)

W sytuacji, gdy granice we wzorach (1)-(2) s¡ sko«czone, to mówimy, »e caªki niewªa±ciwe R^∞

a

f (x)dx,

b

R

−∞

f (x)dx s¡ zbie»ne. Natomiast, je»eli granice we wzorach (1)-(2) s¡ niesko«czone, lub te» nie istniej¡, to mówimy »e caªki ^+∞R

a

f (x)dx,

b

R

−∞

f (x)dx s¡ rozbie»ne.

W przypadku caªki niewªa±ciwej okre±lonej na przedziale (−∞, +∞) b¦dziemy zapisywa¢:

+∞

Z

−∞

f (x)dx := lim

A→−∞

c

Z

A

f (x)dx + lim

B→+∞

B

Z

c

f (x)dx, gdzie c ∈ (−∞, +∞) jest dowolne (o ile obie caªki z prawej strony istniej¡).

Caªka z funkcji nieograniczonej (caªka niewªa±ciwa II rodzaju):

Denicja 2. (caªka niewªa±ciwa drugiego rodzaju)

Niech funkcja f b¦dzie okre±lona na przedziale (a, b], ponadto niech a b¦dzie punktem osobliwym funkcji f tj. funkcja f b¦dzie nieograniczona na prawostronnym s¡siedztwie punktu a. Zakªadamy równie», »e funkcja f jest caªkowalna na ka»dym przedziale [t, b], gdzie a < t < b. Caªk¦ niewªa±ciw¡

drugiego rodzaju funkcji f na przedziale (a, b] deniujemy wzorem:

b

Z

a

f (x)dx := lim

t→a⁺ b

Z

t

f (x)dx.

1

(2)

Analogicznie: niech funkcja f b¦dzie okre±lona na przedziale [a, b), ponadto niech b b¦dzie punktem osobliwym funkcji f tj. funkcja f b¦dzie nieograniczona na lewostronnym s¡siedztwie punktu b.

Zakªadamy równie», »e funkcja f jest caªkowalna na ka»dym przedziale [a, t], gdzie a < t < b. Caªk¦

niewªa±ciw¡ drugiego rodzaju funkcji f na przedziale [a, b) deniujemy wzorem:

b

Z

a

f (x)dx := lim

t→b⁻ t

Z

a

f (x)dx.

Zbie»no±¢ i rozbie»no±¢ caªki niewªa±ciwej drugiego rodzaju deniujemy analogicznie do przypadku caªki niewªa±ciwej pierwszego rodzaju.

Je»eli punkt osobliwy c le»y wewn¡trz przedziaªu [a, b] to caªk¦ niewªa±ciw¡ deniujemy wzorem:

b

Z

a

f (x)dx := lim

t→c⁻ t

Z

a

f (x)dx + lim

s→c⁺ b

Z

s

f (x)dx, (3)

przy zaªo»eniu, »e obie caªki po prawej stronie (3) istniej¡.

Kryteria zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych:

Twierdzenie 3. (kryterium porównawcze dla caªek niewªa±ciwych I i II rodzaju) Niech R^b

a

f (x)dx,

b

R

a

g(x)dx, gdzie −∞ ≤ a < b ≤ +∞ b¦d¡ caªkami niewªa±ciwymi oraz 0 ≤ f (x) ≤ g(x) dla prawie wszystkich x ∈ (a, b). Wówczas:

a) ze zbie»no±ci caªki R^b

a

g(x)dx wynika zbie»no±¢ caªki R^b

a

f (x)dx;

b) z rozbie»no±ci caªki R^b

a

f (x)dx wynika rozbie»no±¢ caªki R^b

a

g(x)dx.

Twierdzenie 4. (kryterium ilorazowe dla caªek pierwszego rodzaju)

Niech funkcje f oraz g b¦d¡ dodatnie i okre±lone na przedziale [a, +∞), ponadto niech k := lim

x→+∞

f (x) g(x), gdzie k ∈ (0, +∞). Wówczas

caªka

+∞

Z

a

f (x)dx jest zbie»na ⇔ caªka

+∞

Z

a

g(x)dx jest zbie»na.

Analogiczne twierdzenia zachodz¡ dla caªek z funkcji ujemnych oraz caªek niewªa±ciwych okre±lonych na przedziale (−∞, b].

Twierdzenie 5. (kryterium ilorazowe dla caªek drugiego rodzaju)

Niech funkcje f oraz g b¦d¡ dodatnie i okre±lone na przedziale (a, b], ponadto niech k := lim

x→a⁺ f (x) g(x), gdzie k ∈ (0, +∞). Wówczas

caªka

b

Z

a

f (x)dx jest zbie»na ⇔ caªka

b

Z

a

g(x)dx jest zbie»na.

2

(3)

Analogiczne twierdzenia zachodz¡ dla caªek z funkcji ujemnych oraz caªek niewªa±ciwych okre±lonych na przedziale [a, b).

Twierdzenie 6. (kryterium Dirichleta dla caªek niewªa±ciwych I rodzaju postaci ^+∞R

a

f (x)g(x)dx,) Niech b¦d¡ dane caªki niewªa±ciwe pierwszego rodzaju ^+∞R

a

f (x)dx,

+∞

R

a

f (x)g(x)dx. Ponadto, funkcja dana wzorem F (y) := R^y

a

f (x)dx jest ograniczona dla ka»dego y ∈ [a, +∞) oraz funkcja g(x) jest monotoniczna i lim

x→+∞g(x) = 0, to zbie»na jest caªka ^+∞R

a

f (x)g(x)dx.

Twierdzenie 7. (caªkowe kryterium zbie»no±ci szeregu: Cauchy'ego)

Niech funkcja f : [k, +∞) → [0, +∞), gdzie k ∈ N b¦dzie malej¡ca. Wówczas szereg P^∞

n=k

f (n) jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy zbie»na jest caªka ^+∞R

k

f (x)dx.

Denicja 8. (zbie»no±¢ bezwzgl¦dna) Niech funkcja f b¦dzie caªkowalna na przedziaªach [a, B] dla ka»dego B > a. Mówimy, »e caªka ^+∞R

a

f (x)dx jest zbie»na bezwzgl¦dnie, gdy caªka ^+∞R

a

|f (x)|dx jest zbie»na.

Analogicznie okre±lamy zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ caªek niewªa±ciwych pierwszego rodzaju postaci

b

R

−∞

f (x)dx jak równie» caªek niewªa±ciwych drugiego rodzaju.

Twierdzenie 9. (o zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych zbie»nych bezwzgl¦dnie)

Niech funkcja f b¦dzie caªkowalna na przedziaªach [a, B] dla ka»dego B > a. Je»eli caªka ^+∞R

a

f (x)dx jest zbie»na bezwzgl¦dnie, to zbie»na jest caªka ^+∞R

a

f (x)dx oraz zachodzi:

+∞

Z

a

f (x)dx

≤

+∞

Z

a

f (x)dx.

Zachodz¡ analogiczne twierdzenia dla caªek niewªa±ciwych pierwszego rodzaju postaci R^b

−∞

f (x)dx jak równie» caªek niewªa±ciwych drugiego rodzaju.

Denicja 10. Je»eli caªka niewªa±ciwa R^b

a

f (x)dx, gdzie −∞ ≤ a < b ≤ +∞ jest zbie»na, a nie jest zbie»na bezwzgl¦dnie, to mówimy »e jest zbie»na warunkowo.

3

(4)

Zadania

1. W zale»no±ci o parametru α ∈ R zbadaj zbie»no±¢ caªki niewªa±ciwej ^+∞R

a 1

x^αdx, gdzie a > 0.

2. W zale»no±ci o parametru α ∈ R zbadaj zbie»no±¢ caªki niewªa±ciwej R¹

0 1 x^αdx.

3. Korzystaj¡c z denicji zbadaj zbie»no±¢ nast¦puj¡cych caªek niewªa±ciwych (je»eli to mo»liwe wyznacz warto±¢):

1)

+∞

R

0

e^−2xdx; 2)

+∞

R

1 1

xdx; 3)

0

R

−∞

(x − 2)e^3x+1dx;

4)

+∞

R

0 x

x²+4dx; 5)

+∞

R

−∞

1

x²+9dx; 6)

+∞

R

√π

x cos²xdx;

7)

+∞

R

1 1

x²(x+1)dx; 8)

+∞

R

−∞

dx

x²+6x+12dx; 9)

+∞

R

1 dx x√

1+x²dx.

10)

+∞

R

−1 1

√3

xdx; 11)

4

R

0 1 x√

xdx; 12)

1

R

0 ln x

x dx;

13)

3

R

−3

√dx

9−x²; 14)

3

R

0 x

x²−1dx; 15)

3π/2

R

π 1 sin²xdx;

16)

3

R

2 1

x(x−3)dx; 17)

+∞

R

0

√ dx

x(1+x); 18)

1

R

0 1 x ln xdx.

4. Korzystaj¡c z odpowiednich kryteriów zbadaj zbie»no±¢ caªek niewªa±ciwych:

1)

+∞

R

1

e^x²dx; 2)

+∞

R

0 1

x²+x+2dx; 3)

+∞

R

1

sin x²dx;

4)

+∞

R

1

cos²x

e^−x+x²dx; 5)

+∞

R

0 sin x

x dx; 6)

1

R

0 e^x−1

x³ dx;

7)

+∞

R

1

ln(1+x²)

x⁴ dx; 8)

1

R

0

√x

e^{sin x}−1dx; 9)

+∞

R

0 sin²x

x dx.

5. Zbadaj zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ i warunkow¡ nast¦puj¡cych caªek niewªa±ciwych:

1)

+∞

R

2 cos x x√

xdx; 2)

1

R

0 1

xsin_x¹dx; 3)

1

R

0 sin x√

x dx.

6. Korzystaj¡c z kryterium caªkowego zbie»no±ci szeregów zbadaj zbie»no±¢:

1)

∞

P

n=2 1

n(ln n)^1+α, α > 0; 2)

∞

P

n=0

ne⁻ⁿ²; 3)

∞

P

n=2 ln n

n² .

4