1. Oblicz caªki nieoznaczone:

dr Krzysztof ›yjewski MiBM rok I, 31 maja 2015

Zadania przygotowuj¡ce (przykªadowe) do kolokwium V

1. Oblicz caªki nieoznaczone:

a) R _x

^x +7

dx, b) R _{x ln} ^dx

_x , c) R x ³ e ^x

dx, d) R cos ³ x √

sin xdx, e) R ^√ _e ^e

+3 dx, f) R √

x ln xdx, g) R x ² ln ² xdx, h) R (x ² + 3) cos 3xdx, i) R e ^x sin 2xdx, j) R _x(x+1) ^x

⁻³

dx, k) R _x

−6x+13 ¹ dx, l) R _x

^2x−1 −4x+4 dx,

m) R _{2+cos x} ^{sin x} dx, n) R _sin

_{x+4 cos} ^dx

x , o) R sin ² x cos ⁵ xdx, p) R cos 5x sin 2xdx, r) R ^{√ √}

_x+x ^xdx dx, s) R √

x ² − 6x − 7dx, t) R ^√ _x

−6x+2 ¹ dx, u) R ^√ _4x ^4x+5

+4x+5 dx.

2. Oblicz podane caªki oznaczone z wykorzystaniem wzoru Newtona-Leibniza a)

e

R

1 ln x

x dx; b)

2

R

0 e

1+e

dx.

3. Korzystaj¡c z interpretacji caªki oznaczonej oblicz pole obszaru D ograniczonego:

a) y = x ² + 4x, y = x + 4 oraz osia Ox; b) y = x, y = ¹ ₄ x, y = ¹ _x .

4. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu gury N wokóª osi OX, gdzie N : a) y = √

xe ^2x , y = 0, x = 1;

5. Oblicz dªugo±¢ ªuku krzywej: y = ² ₃ (x − 1)

dla 1 ≤ x ≤ 4.

6. Rozwi¡» rownania ró»niczkowe:

a) 6xdx − ydy = yx ² dy − 3xy ² dx; b) y ² = x ^dy _dx + y;

c) √

1 − x ² y ⁰ = −p1 − y ² ; d) xy ⁰ − y = 2x ³ ; e) ^dy _dx − _x+1 ² y = (x + 1) ³ .

7. Rozwi¡» zagadnienie Cauchy'ego:

( (1 + y ² ) − yxy ⁰ = 0, y(2) = 1.

8. Oblicz caªki niewªa±ciwe:

a) R ^∞

1 1

x

dx; b) R ²

−∞

1 x

+4 dx;

c) R ¹

0 1

√

x dx; d) R ¹

0

√ 1

1−x

dx.