Przekształcenia całkowe

Przekształcenia całkowe

Wykład 6

fragmenty

Zastosowania przekształceń Laplace’a 1. Równania różniczkowe liniowe

Dane jest równanie różniczkowe liniowe rzędu o stałych współczynnikach:

Zakładamy, że oraz funkcja i szukane rozwiązanie wraz ze wszystkimi pochodnymi są oryginałami.

n

( ) ( 1)

0 ⁿ 1 ⁿ _n 1 _n

( )

a y + a y

+ … + a

y ′ + a y = f t

0

0

a ≠ f t ( )

( ) y t

Przekształcenie Laplace’a

Szukamy takiego rozwiązania równania, aby spełniało one warunki początkowe (WP):

Przekształcenie Laplace’a

( 1)

0 1 2 1

(0) , (0) , (0) , ,

(0)

. y = b y ′ = b y ′′ = b … y

= b

Przykład 1

Rozwiązać równanie

z warunkiem początkowym

( ) 3 ( ) 5

2 4 y t ′ + y t = t + + t

(0) 1

y =

Rozwiązanie:

Stosujemy transformatę Laplace’a do obu stron równania:

Odczytujemy z tablic uwzględniając WP:

[ ] ( )

[ ] [ ] ( ) ^{( ) ( )}

2

2

L ( ) 3 ( ) L 5 2 4

L ( ) +3L ( ) 5L t 2L t 4L 1

y t y t t t

y t y t

′ + = + +

′ = + +

Przekształcenie Laplace’a

[ ] [ ] [ ]

L y t ′ ( ) = s L y t ( ) − y (0) = s L y t ( ) − 1

( )

^{( )}

^{( )}

2 1 1

L t = L t = L 1 =

s s s

Wstawiamy do równania wyjściowego:

Rozwiązujemy równanie, w którym niewiadomą jest :

[ ] [ ] ¹⁰

²

⁴

L ( ) 3L ( ) 1

s y t y t

s s s

+ − = + +

[ ]

[ ]

3 2

3 2

3

10 2 4 ( 3)L ( ) 1

4 2 10

L ( )

( 3)

s y t

s s s

s s s

y t s s

+ = + + +

+ + +

= +

[ ]

L y t ( )

Przekształcenie Laplace’a

Rozkładamy prawą stronę równania na ułamki proste

Wykorzystujemy transformatę odwrotną

[ ]

[ ]

2 3

2 3

L ( )

3

13 1 40 1 4 1 10 1 L ( )

27 3 27 9 3

A B C D

y t s s s s

y t s s s s

= + + +

+

= − + − +

+

1 1

1 1

2 3

13 1 40 1

( ) L L

27 3 27

4 1 10 1

L L

9 3

y t s s

s s

− −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Przekształcenie Laplace’a

Czyli

3 2

13 40 4 5

( ) 27 27 9 3

y t = − e

+ − t + t

Przekształcenie Laplace’a

2. Układy równań różniczkowych liniowych Przykład 1

Rozwiązać układ równań

z warunkami początkowymi

3 2 2

t

t

y y z e

z y z e

⎧ + − = ′

⎨ ′ + − =

⎩

(0) 1, (0) 1

y = z =

Przekształcenie Laplace’a

Rozwiązanie:

Stosujemy transformatę Laplace’a do obu stron równania:

Przekształcenie Laplace’a

Odczytujemy z tablic

[ ] [ ]

( )

L L( ) (0) L( ) 1 L L( ) (0) L ( ) 1 L e 1

1

t

y s y y s y

z s z z s z

s

′ = − = −

′ = − = −

= −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

L L L L

L 3L 2L 2L

t

t

y y z e

z y z e

⎧ ′ + − =

⎪ ⎨

′ + − =

⎪⎩

( ) ( )

( ) ( )

(s+1)L L 1 1

1

3L ( 2)L 2 1

1

y z

s

y s z

s

⎧ − = +

⎪⎪ −

⎨ ⎪ + − = +

⎪⎩ −

Wstawiamy do układu:

Rozwiązujemy ten układ względem niewiadomych i

L( ) y L( ) z Przekształcenie Laplace’a

( ) ( )

( ) ( )

(s+1)L L

1 3L ( 2)L 1

1 y z s

s

y s z s

s

⎧ − =

⎪⎪ −

⎨ +

⎪ + − =

⎪⎩ −

2

2 L( )

2 L( )

1 1

3 2 1

1 1

1

1 1

1 2

1 1 1

1 1

3 1

y

z

W s s s

s s

s s

W s

s s

s s s s

s s

W s

s s

s

+ −

= = − +

−

− − +

= − =

+ − −

−

+ − − +

= =

+ −

−

Wyznaczamy niewiadome np. metodą wyznaczników:

Przekształcenie Laplace’a

Otrzymujemy

Wykorzystujemy transformatę odwrotną

L( )

L( )

L( ) 1

1 L( ) 1

1

y

z

y W

W s

z W

W s

= =

−

= =

−

Przekształcenie Laplace’a

1

1

y=L 1

1 z=L 1

1

t

t

s e

s e

−

−

⎛ ⎞ =

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ =

⎜ − ⎟

⎝ ⎠