Przekształcenia całkowe

Przekształcenia całkowe

Wykład 1

Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów:

1. Liczby zespolone - wprowadzenie,

- funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej.

2. Przekształcenie Laplace’a

- przekształcenie Laplace’a i jego podstawowe własności,

- wyznaczanie obszaru (transformaty Laplace’a) gdy znany jest oryginał,

- przekształcenie odwrotne względem przekształcenia Laplace’a i jego własności,

Przekształcenia całkowe

- wyznaczanie oryginału gdy znana jest transformata Laplace’a (metoda rozkładu na ułamki proste,

metoda splotu),

- wyznaczanie rozwiązania równań różniczkowych rzędu n oraz układów równań różniczkowych

liniowych przy danych warunkach początkowych, - równania całkowe (układy) typu splotu.

3. Szeregi Fouriera - wprowadzenie,

- rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera.

Przekształcenia całkowe

Literatura:

1. Kącki E., Siewierski L. „Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami” Warszawa 1975.

2. Kącki E. „Równania rócznikowe cząstkowe w elektrotechnice” Warszawa 1971.

3. Ditkin W.A., Prudnikow A.P. „ Przekształcenia

całkowe i rachunek operatorowy” Warszawa 1964.

1. Wprowadzenie

Liczbą zespoloną

nazywamy liczbę postaci:

gdzie:

a - część

rzeczywista

(realis – Re) liczby zespolonej, b – część

urojona

(imaginarius – Im) liczby zespolonej, i –

jednostka urojona

.

np.:

z = + a bi

2 2 , 3 , .

z = + i z = − − i z = i

Liczby zespolone

Liczby zespolone

Postać liczby nazywamy postacią

algebraiczną

lub

kanoniczną

.

Podstawowa własność jednostki urojonej:

Interpretacją geometryczną

liczby zespolonej jest

punkt

na płaszczyźnie zespolonej, którego odcięta równa jest wartości części rzeczywistej liczby zespolonej, a rzędna – części urojonej tejże liczby.

z = + a bi

2

1 1

i = − − = i

Liczby zespolone

Wartością bezwzględną

(

modułem

) liczby zespolonej nazywamy następującą liczbę:

z = + a bi

Położenie punktu (a, b) jest również wyznaczone przez długość r promienia wodzącego punktu (a, b) i kąt φ jaki ten promień tworzy z osią odciętych.

Liczby zespolone

2 2

z = + a bi = a + b = r

2 2

2 2 2 2 8

z = + → = i z + =

np.

Liczby zespolone

Własności wartości bezwzględnej liczby zespolonej

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

2 2

z z z z z z

z z z z

z z

z z

− ≤ ± ≤ +

⋅ = ⋅

=

Liczbę sprzężoną do liczby zespolonej nazywamy liczbę:

np.

z z = + a bi

z = − a bi

2 2 2 2 , 3 3

z = + → = − i z i z = − − → = − + i z i

Liczby zespolone

Własności sprzężenia liczb zespolonych:

2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

2

2 2

, 0

z z

z z z

z z z z

z z z z

z z

z z z

=

⋅ =

± = ±

⋅ = ⋅

⎛ ⎞ = ≠

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Dla liczb zespolonych w postaci kanonicznej działania

wykonujemy tak, jak na wielomianach W(i) nad ciałem liczb rzeczywistych , zatem zakładając istnienie dwóch

liczb zespolonych oraz działania arytmetyczne definiuje się następująco:

2. Działania algebraiczne na liczbach zespolonych

z

1

= + a bi z

₂

= + c di Dodawanie:

Liczby zespolone

( ^{a + bi} ) ( ^{+ + c di} ) ^{= + + a c} ( ^{b + d i} )

np.

( ) ( ) ( )

1 2

1 2

2 2 , 1 3

2 2 1 3 2 1 2 3 1

z i z i

z z i i i i

= + = − −

+ = + + − − = − + − = −

Liczby zespolone

Odejmowanie:

( ^{a + bi} ) ( ^{− + c di} ) ^{= − + a c} ( ^{b − d i} )

np. ^z

₁

^{− z}

₂

⁼ ( ^{2 + 2 i} ) ( ^{− − − 1 3 i} ) ^{= + + 2 1} ( ^{2 3 +} ) ^{i = − 3 5 i}

Mnożenie:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

1

a bi c di ac ad i bc i bd i

ac ad bc i bd ac bd ad bc i

+ ⋅ + = + + + =

= + + + ⋅ − = − + +

Liczby zespolone

( ) ( ) ( )

1 2

2 2 1 3 2 6 6 2 4 8

z z ⋅ = + i ⋅ − − i = − + + − − i = − i

np.

Dzielenie:

Przy dzieleniu musimy wyrugować urojoność z mianownika poprzez pomnożenie licznika i mianownika przez liczbę sprzężoną z mianownikiem.

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

, 0

a bi c di ac bd bc ad i

a bi

c di

c di c di c di c d

+ − + + −

+ = ⋅ = + ≠

+ + − +

( ) ( ) ( )

1

2 2

2

2 6 2 6

2 2 2 2 1 3

1 3 1 3 1 3 1 3

8 4 8 4

10 10 10

z i i i i

z i i i

i i

− − + − +

+ + − +

= = ⋅ = =

− − − − − + − + −

= − + = − + Liczby zespolone

np.

Liczby zespolone

3. Postaci liczb zespolonych

Postać algebraiczna liczby zespolonej:

Re Im

z a bi

a z b z

= +

= =

2 3 z = − i

np.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej:

( ^{cos sin} )

z = z ϕ + i ϕ

^lub

^{z = r} ( ^{cos ϕ + i sin ϕ} )

gdzie:

- moduł z liczby zespolonej (długość promienia wodzącego),

φ - kąt pomiędzy osią biegunową a promieniem wodzącym (argument liczby zespolonej).

z

Liczby zespolone

2 2

cos a a a

r z a b

ϕ = = =

+

2 2

sin b b b

r z a b

ϕ = = =

+

Przykład 1

Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną

1 . z = + i

2 2

1 1 2

1 2

cos 2 2

1 2 4

sin 2 2

z

ϕ ϕ π

ϕ

= + =

= = ⎫ ⎪⎪ ⎬ → =

= = ⎪

⎪⎭

Liczby zespolone

2 cos sin

4 4

z _{= ⎛} π ₊ i π _⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Liczby zespolone

Postać wykładnicza liczby zespolonej:

z = z e

^ϕi _lub

z = ⋅ r e

^ϕi

Przykład 2

Przedstaw w postaci wykładniczej liczbę zespoloną

1 3.

z = + i

( )

²

1

2

3 4 2

z = + = =

3

cos 1

2 3 3 sin 2

2

ⁱ

z e

π

ϕ ϕ π

ϕ

= ⎫

⎪⎪ → =

⎬ ⎪

= ⎪⎭

=

Liczby zespolone

Liczby zespolone

4. Wzory Moivre’a

Wzory Moivre’a opisują mnożenie , dzielenie i potęgowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej.

Zakładając istnienie dwóch liczb zespolonych odpowiednie działania algebraiczne definiuje się oraz

następująco:

( )

1

cos

1

sin

1

z = r ϕ + i ϕ ^z

₂

^{= R} ( ^{cos ϕ}

₂

^{+ i sin ϕ}

₂

)

Mnożenie:

( ) ( )

( ) ( )

[ ]

1 1 2 2

1 2 1 2

cos sin cos sin

cos sin

r i R i

rR i

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

+ ⋅ + =

= + + +

Liczby zespolone

Dzielenie:

( )

(

^{1 1}

) [ (

1 2

) (

1 2

) ]

2 2

cos sin

cos sin

cos sin

r i r

R i R i

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ = − + −

+

Potęgowanie:

( )

[ r cos ϕ

1

+ i sin ϕ

1

]

ⁿ

= r

ⁿ

⁽ cos n ϕ

1

+ i sin n ϕ

1

⁾

Przykład 3

Obliczyć korzystając ze wzorów Moivre’a

( ^{1 i +} )

¹⁰

Liczby zespolone

Liczby zespolone

( )

[ ]

2 2

10 10 10

1

1 1 2

1 2

cos 2 2

1 2 4

sin 2 2

cos sin 2 cos sin

4 4

z i

z

z z i i

ϕ ϕ π

ϕ

π π

ϕ ϕ

= +

= + =

= = ⎫ ⎪⎪ ⎬ → =

= = ⎪

⎪⎭

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

= + = ⎢ ⎣ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ ⎥ ⎦ =

1 10 2

5

5

5 5

0 1

10 10

2 cos sin

4 4

5 5

2 cos sin

2 2

2 cos 2 sin 2

2 2

2 cos sin 2 32

2 2

i

i

i

i i i

π π

π π

π π

π π

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⋅ ⋅ ⎞

= ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⋅ ⎜ + ⎟ ⎠ =

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟ =

⎝ ⎠

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞

= ⎝ ⎜ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ + ⎝ ⎜ + ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ =

⎛ ⎞

⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟

= ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ = ⋅ =

⎝ ^{   } ⎠

Liczby zespolone

5. Wzory Eulera

Wzory Eulera określają zależność między i

e

^zi

sin , cos . z z Liczby zespolone

cos sin

cos 2

sin 2

zi

zi zi

zi zi

e z i z

e e

z

e e

z i

−

−

= +

= +

= −

6. Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkiem

n

-tego stopnia z liczby zespolonej

z

nazywamy każdą liczbę zespoloną, której n-ta potęga

równa się tejże liczbie zespolonej

z

.

Liczba 0 ma przy dowolnym

n

jeden pierwiastek

n

-tego stopnia równy 0.

Jeżeli i , to istnieje dokładnie

n

różnych pierwiastków

n

–tego stopnia z liczby zespolonej

z

.

( ^{cos sin} ) ⁰

z = z ϕ + i ϕ ≠ n ∈ N

Liczby zespolone

Liczby zespolone

Są nimi liczby:

dla

2 2

cos sin

n k

k k

w z i

n n

ϕ + π ϕ + π

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠

0,1, 2,..., 1

k = n −

Pierwiastkami n-tego stopnia z jedności są liczby:

2 2

cos sin

k

k k

n i n

π π

ε = +

0,1, 2,..., 1

k = n −

dla

Liczby zespolone

Wyciąganie pierwiastka stopnia n, gdzie daje zawsze n różnych wartości.

W interpretacji geometrycznej punkty w_k są wierzchołkami

n

-kąta foremnego mającego środek w punkcie (0,0).

Przykład 4

Wyznaczyć wszystkie pierwiastki zespolone oraz podać ich interpretację geometryczną.

4

− 1

4 0

1 1

cos 1 sin 0

2 2

cos sin , 4, 0,1, 2,3

2 2

1 cos sin

4 4 2 2

n k

z z

k k

w z i n k

n n

w i i

ϕ ϕ π

ϕ

ϕ π ϕ π

π π

= −

=

= − ⎫ ⎬ → =

= ⎭

+ +

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟ = =

⎝ ⎠

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟ = +

⎝ ⎠

Liczby zespolone

4 1

4 2

2 2 3 3

1 cos sin cos sin

4 4 4 4

2 2

cos sin cos sin

4 4 4 4 2 2

4 4 5 5

1 cos sin cos sin

4 4 4 4

2 2

cos sin cos sin

4 4 4 4 2 2

w i i

i i i

w i i

i i i

π π π π π π

π π π π

π π

π π π π π π

π π π π

π π

+ +

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ = + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ = − + = − +

+ +

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟ = + =

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ = − − = − −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Liczby zespolone

Liczby zespolone

4 3

6 6 7 7

1 cos sin cos sin

4 4 4 4

2 2

cos 2 sin 2 cos sin

4 4 4 4 2 2

w i i

i i i

π π π π π π

π π π π

π π

+ +

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟ = + =

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ = − = −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Liczby zespolone

Interpretacja geometryczna

Liczby zespolone

Wszystkie pierwiastki zespolone tworzą czworokąt foremny – kwadrat, którego środek znajduje się w punkcie (0,0) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (tzw. płaszczyźnie Gaussa). Długość boku tego kwadratu wynosi .

Promień okręgu, w który wpisany jest ten kwadrat równy jest czyli 1.

4

− 1

2

z

Przekształcenia całkowe

Dziękuję za uwagę