PRZYPOMNIENIE O GRANICACH

(1)

Wykłady z matematyki inżynierskiej

PRZYPOMNIENIE O GRANICACH

IMiF UTP

02

(2)

Otoczenie

DEFINICJA.

Otoczenie punktu x₀ to przedział (x₀− , x₀+ ) dla dowolnego > 0.

x0 x

x0− x0+

DEFINICJA.

Sąsiedztwo punktu x₀ to zbiór (x₀− , x₀) ∪ (x₀, x₀+ ) dla dowolnego

 > 0.

x0 x

JJ (IMiF UTP) PRZYPOMNIENIE O GRANICACH 02 2 / 1

(3)

Otoczenie

DEFINICJA.

x0 x

x0− x0+

DEFINICJA.

Sąsiedztwo punktu x0 to zbiór (x0− , x₀) ∪ (x0, x0+ ) dla dowolnego

 > 0.

(4)

Otoczenie

DEFINICJA.

x0 x

x0− x0+

DEFINICJA.

Sąsiedztwo punktu x₀ to zbiór (x₀− , x₀) ∪ (x₀, x₀+ ) dla dowolnego

 > 0.

x0 x

x0− x0+

(5)

Otoczenie

DEFINICJA.

x0 x

x0− x0+

DEFINICJA.

Sąsiedztwo punktu x0 to zbiór (x0− , x₀) ∪ (x0, x0+ ) dla dowolnego

 > 0.

(6)

Granica funkcji. Typ: lim

x →x₀

f (x ) = g .

x y

x₀ g

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f (x ) jest określona w pewnym sa¸siedztwie punktu x0. Mówimy, że liczba g jest granica¸ funkcji f (x ) w punkcie x0, jeżeli

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x₀−δ,x₀)∪(x0,x0+δ)

g −<f (x )< g +.

Piszemy wtedy: limx →x0f (x ) = g .

(7)

Granica funkcji. Typ: lim

x →x₀

f (x ) = g .

x y

x₀ g

g +  g − 

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x₀−δ,x₀)∪(x0,x0+δ)

g −<f (x )< g +.

(8)

Granica funkcji. Typ: lim

x →x₀

f (x ) = g .

x y

x₀ g

g +  g − 

x₀− δ x₀+ δ

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x₀−δ,x₀)∪(x0,x0+δ)

g −<f (x )< g +.

(9)

Granica funkcji. Typ: lim

x →x₀

f (x ) = g .

x y

x₀ g

g +  g − 

x₀− δ x₀+ δ

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x₀−δ,x₀)∪(x0,x0+δ)

g −<f (x )< g +.

(10)

Granica funkcji. Typ: lim

x →x₀

f (x ) = g .

x y

x₀ g

g +  g − 

x₀− δ x₀+ δ

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x₀−δ,x₀)∪(x0,x0+δ)

g −<f (x )< g +.

(11)

Granica funkcji.

x y

x0

g

Rysunek dla mniejszego 

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)

g −< f (x) < g +.

(12)

Granica funkcji.

x y

x0

g + g g − 

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)

g −< f (x) < g +.

(13)

Granica funkcji.

x y

x0

g + g g − 

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)

g −< f (x) < g +.

(14)

Granica funkcji.

x y

x0

g + g g − 

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)

g −< f (x) < g +.

(15)

Granica funkcji.

x y

x0

g

i dla jeszcze mniejszego 

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)

g −< f (x) < g +.

(16)

Granica funkcji.

x y

x0

g

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)

g −< f (x) < g +.

(17)

Granica funkcji.

x y

x0

g

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)

g −< f (x) < g +.

(18)

Granica funkcji.

x y

x0

g

^

>0

_

δ>0

^

x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)

g −< f (x) < g +.

(19)

Granica funkcji

Podobnie definiuje sie¸ pozostałe typy granic funkcji oraz granice cia¸gów.

Oto dwa przykłady granic funkcji.

DEFINICJA.

x →+∞lim f (x ) = g ⇔ ^{^}

>0

_

b

^

x >b

g − < f (x ) < g + .

DEFINICJA. lim

x →x₀⁺

f (x ) = +∞ ⇔ ^{^}

a

_

δ

^

x ∈(x0,x0+δ)

f (x ) > a.

(20)

Granica funkcji

DEFINICJA.

x →+∞lim f (x ) = g ⇔ ^{^}

>0

_

b

^

x >b

g − < f (x ) < g + .

DEFINICJA. lim

x →x₀⁺

f (x ) = +∞ ⇔ ^{^}

a

_

δ

^

x ∈(x0,x0+δ)

f (x ) > a.

(21)

Granica funkcji

DEFINICJA.

x →+∞lim f (x ) = g ⇔ ^{^}

>0

_

b

^

x >b

g − < f (x ) < g + .

DEFINICJA.

lim

x →x₀⁺

f (x ) = +∞ ⇔ ^{^}

a

_

δ

^

x ∈(x0,x0+δ)

f (x ) > a.

(22)

Wzory

PRZYPOMNIENIE.

x →0lim sin x

x = 1, lim

x →+∞ 1 +1 x

x

= e, lim

x →−∞ 1 +1 x

x

= e, e ≈ 2, 718, lim

n→∞

√n

n = 1.

TWIERDZENIE.

Granica funkcji f (x ) w punkcie x₀ istnieje i jest równa g wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja¸ granice jednostronne funkcji f (x ) w tym punkcie i sa¸ równe g , to znaczy

lim

x →x₀⁻

f (x ) = lim

x →x₀⁺

f (x ) = g .

(23)

Wzory

PRZYPOMNIENIE.

x →0lim sin x

x = 1, lim

x →+∞ 1 +1 x

x

= e, lim

x →−∞ 1 +1 x

x

= e, e ≈ 2, 718, lim

n→∞

√n

n = 1.

TWIERDZENIE.

Granica funkcji f (x ) w punkcie x₀ istnieje i jest równa g wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja¸ granice jednostronne funkcji f (x ) w tym punkcie i sa¸ równe g , to znaczy

lim

x →x₀⁻

f (x ) = lim

x →x₀⁺

f (x ) = g .

(24)

Własności granic

TWIERDZENIE.

Jeżeli istnieja¸ granice: limx →x0f1(x ) = g1 oraz limx →x0f2(x ) = g2, to suma, różnica, iloczyn i iloraz (o ile g₂ 6= 0) tych funkcji też ma granice¸ w punkcie x₀ oraz

x →xlim0

f₁(x ) + f₂(x )= g₁+ g₂, lim

x →x0

f₁(x ) − f₂(x )= g₁− g₂,

x →xlim0

f1(x ) · f2(x )= g1g2, lim

x →x0

f1(x ) f2(x ) = g1

g2

.

Twierdzenie to pozostanie słuszne, gdy ”x → x₀” zasta¸pimy przez

”x → x₀⁻” lub ”x → x₀⁺”, lub ”x → +∞”, lub ”x → −∞”.

(25)

Własności granic

TWIERDZENIE.

Jeżeli istnieja¸ granice: limx →x0f1(x ) = g1 oraz limx →x0f2(x ) = g2, to suma, różnica, iloczyn i iloraz (o ile g₂ 6= 0) tych funkcji też ma granice¸ w punkcie x₀ oraz

x →xlim0

f₁(x ) + f₂(x )= g₁+ g₂, lim

x →x0

f₁(x ) − f₂(x )= g₁− g₂,

x →xlim0

f1(x ) · f2(x )= g1g2, lim

x →x0

f1(x ) f2(x ) = g1

g2

.

Twierdzenie to pozostanie słuszne, gdy ”x → x0” zasta¸pimy przez

”x → x₀⁻” lub ”x → x₀⁺”, lub ”x → +∞”, lub ”x → −∞”.

(26)

Własności

TWIERDZENIE.

Jeżeli istnieja¸ granice limx →x0f1(x ) = c oraz limx →cf2(x ) = g , to istnieje granica złożenia tych funkcji oraz lim_{x →x}₀f₂f₁(x )= g . Zakładamy tutaj, że f₁ : D → W , f₂: W → R, że pewne sa¸siedztwo punktu x0 zawiera sie¸ w D, pewne sa¸siedztwo punktu c zawiera sie¸ w W oraz że f₁(x ) 6= c dla każdego x z pewnego sa¸siedztwa punktu x₀.

(27)

Symbole nieoznaczone

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcje u(x ) oraz v (x ) sa¸ określone w pewnym sa¸siedztwie S punktu a oraz że v (x ) 6= 0 dla x ∈ S . Mówimy, że iloraz ^{u(x )}_{v (x )} jest w punkcie a symbolem nieoznaczonym typu ⁰₀, gdy limx →au(x ) = 0 oraz limx →av (x ) = 0.

Podobnie definiuje sie¸ symbole nieoznaczone (zarówno w punkcie a jak i w +∞ oraz w −∞) typu:

_+∞

+∞

, ^−∞_+∞, ^+∞_−∞, ^−∞_−∞, +∞ − ∞, 0 · ∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰. Cztery pierwsze symbole tu opisane be¸de¸ wspólnie zapisywał ^∞_∞.

(28)

Symbole nieoznaczone

PRZYKŁAD 1. Symbol⁰₀.

x →1lim

x²− 1 2x²− 3x + 1

₀

0

= lim

x →1

(x − 1)(x + 1)

2(x − 1) x − ¹₂ = lim

x →1

x + 1

2x − 1 = 1 + 1 2 · 1 − 1 = 2 PRZYKŁAD 2. Symbol⁰₀.

x →1lim

sin(x²− 1) sin(x − 1)

₀

0

= lim

x →1

sin(x²−1)

x²−1 · (x − 1)(x + 1)

sin(x −1)

x −1 · (x − 1) = 2 PRZYKŁAD 3. Symbol^∞_∞.

x →+∞lim 3√

x − 2√³ x 1 +√⁴

x +√ x

_∞

∞

= lim

x →+∞

3√

√x x −²³

√x

√1 x + ⁴

√x

√x +

√x

= lim

x →+∞

3 − √6²

x

√1 x + √4¹

x + 1= 3

(29)

PRZYKŁAD 4. Symbol [+∞ − ∞].

x →+∞lim

px²− x −^px²+ x

[+∞−∞]

= lim

x →+∞

√

x²− x −√

x²+ x √

x²− x +√

x²+ x

√

x²− x +√ x²+ x

= lim

x →+∞

√

x²− x²− √

x²+ x²

√

x²− x +√

x²+ x = lim

x →+∞

x²− x − x²− x

√

x²− x +√ x²+ x

= lim

x →+∞

−2x

√ x x²−x

x +

√ x²+x

x

= lim

x →+∞

−2 qx²−x

x² + qx²+x

x²

= lim

x →+∞

−2 q

1 −¹_x +^q1 +¹_x

= −2 2 = −1

(30)

Cia ¸głość

DEFINICJA. Mówimy, że funkcja f (x ) określona w pewnym otoczeniu punktu x0 jest cia¸gła w punkcie x0, jeżeli istnieje granica funkcji f w tym punkcie i jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie, to znaczy:

x →xlim0

f (x ) = f (x0).

DEFINICJA. Niech D be¸dzie przedziałem lub suma¸ przedziałów

(wykluczamy przedziały jednopunktowe, to znaczy [a, a]) oraz niech D zawiera sie¸ w dziedzinie funkcji f . Mówimy, że funkcja f jest cia¸gła w zbiorze D, jeżeli jest cia¸gła w każdym punkcie tego zbioru. W przypadku przedziałów domknie¸tych cia¸głość na krańcach przedziału rozumiemy jako cia¸głość jednostronna¸. Na przykład f (x ) określona w [a, b] jest cia¸gła w a, gdy lim_{x →a}⁺f (x ) = f (a); podobnie, f (x ) jest cia¸gła w b, gdy

lim_{x →b}⁻f (x ) = f (b).

(31)

Cia ¸głość

x →xlim0

f (x ) = f (x0).

(wykluczamy przedziały jednopunktowe, to znaczy [a, a]) oraz niech D zawiera sie¸ w dziedzinie funkcji f . Mówimy, że funkcja f jest cia¸gła w zbiorze D, jeżeli jest cia¸gła w każdym punkcie tego zbioru.

W przypadku przedziałów domknie¸tych cia¸głość na krańcach przedziału rozumiemy jako cia¸głość jednostronna¸. Na przykład f (x ) określona w [a, b] jest cia¸gła w a, gdy lim_{x →a}⁺f (x ) = f (a); podobnie, f (x ) jest cia¸gła w b, gdy

lim_{x →b}⁻f (x ) = f (b).

(32)

Cia ¸głość

x →xlim0

f (x ) = f (x0).

(wykluczamy przedziały jednopunktowe, to znaczy [a, a]) oraz niech D zawiera sie¸ w dziedzinie funkcji f . Mówimy, że funkcja f jest cia¸gła w zbiorze D, jeżeli jest cia¸gła w każdym punkcie tego zbioru. W przypadku przedziałów domknie¸tych cia¸głość na krańcach przedziału rozumiemy jako cia¸głość jednostronna¸. Na przykład f (x ) określona w [a, b] jest cia¸gła w a, gdy lim_{x →a}⁺f (x ) = f (a); podobnie, f (x ) jest cia¸gła w b, gdy

lim_{x →b}⁻f (x ) = f (b).

(33)

ZADANIE 1.

Czy funkcja f (x ) =

( x³+ 2x²− 1 dla x < 1

0,3x³− 1,2x²+ 2 dla x 1 jest ciągła?

x y

Funkcja nie jest ciągła, gdyż nie jest ciągła dla x = 1. W tym przypadku nie istnieje granica funkcji w tym punkcie - granica lewostronna (równa 2) nie jest taka sama jak granica prawostronna (równa 1,1).

(34)

ZADANIE 1.

( x³+ 2x²− 1 dla x < 1

0,3x³− 1,2x²+ 2 dla x 1 jest ciągła?

x y

Funkcja nie jest ciągła, gdyż nie jest ciągła dla x = 1. W tym przypadku nie istnieje granica funkcji w tym punkcie - granica lewostronna (równa 2) nie jest taka sama jak granica prawostronna (równa 1,1).

(35)

ZADANIE 2.







x³+ 2x²− 1 dla x < 1

−0,06x³+ 0,06x²+ 2 dla x > 1 1 dla x = 1

jest ciągła?

x y

Nie jest ciągła, gdyż nie jest ciągła dla x = 1. Tym razem istnieje granica funkcji w tym punkcie (równa 2), ale nie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

(36)

ZADANIE 2.







x³+ 2x²− 1 dla x < 1

−0,06x³+ 0,06x²+ 2 dla x > 1 1 dla x = 1

jest ciągła?

x y

Nie jest ciągła, gdyż nie jest ciągła dla x = 1. Tym razem istnieje granica funkcji w tym punkcie (równa 2), ale nie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

(37)

ZADANIE 3.







sin x

x dla x < 0 sin ²⁰_x dla x > 0

1 dla x = 0

jest ciągła?

x y

0 ^π₂ π 2π

−^π₂

−π

−2π

1

Nie jest ciągła, gdyż nie jest ciągła dla x = 0. Istnieje granica lewostronna funkcji w tym punkcie (równa 1) i jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie (f (0) = 1), ale NIE ISTNIEJE granica prawostronna.

(38)

ZADANIE 3.







sin x

x dla x < 0 sin ²⁰_x dla x > 0

1 dla x = 0

jest ciągła?

x y

0 ^π₂ π 2π

−^π₂

−π

−2π

1

Nie jest ciągła, gdyż nie jest ciągła dla x = 0. Istnieje granica lewostronna funkcji w tym punkcie (równa 1) i jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie (f (0) = 1), ale NIE ISTNIEJE granica prawostronna.

(39)

ZADANIE 4.







1 −^{sin x}_x dla x < 0 0 dla x = 0 x sin ²⁰_x dla x > 0

jest ciągła?

x y

π

2 π

−^π₂

−2π −π

1

Funkcja jest ciągła. Jedynym punktem ”podejrzanym” o nieciągłość jest punkt „sklejenia” x = 0, ale istnieje granica lewostronna i prawostronna funkcji w tym punkcie i obie te granice są równe wartości funkcji f (0).

(40)

ZADANIE 4.







1 −^{sin x}_x dla x < 0 0 dla x = 0 x sin ²⁰_x dla x > 0

jest ciągła?

x y

π

2 π

−^π₂

−2π −π

1

Funkcja jest ciągła. Jedynym punktem ”podejrzanym” o nieciągłość jest punkt „sklejenia” x = 0, ale istnieje granica lewostronna i prawostronna funkcji w tym punkcie i obie te granice są równe wartości funkcji f (0).

(41)

Funkcje elementarne

TWIERDZENIE.

Suma, różnica, złożenie, iloczyn i iloraz (o ile istnieje) funkcji cia¸głych jest funkcja¸ cia¸gła¸.

ZADANIE 5. Czy funkcja

f (x ) = _2+x^6+e4+x^x ⁶ + 2018^x− 3 cos x + 4 sin x − arctgx³+ ln(x⁴+ 1) − 3 jest ciągła?

Odpowiedź. Tak, jest ciągła w R. WNIOSEK.

Funkcja elementarna jest cia¸gła w każdym punkcie x0, dla którego istnieje λ > 0 taka, że przedział (x₀− λ, x₀+ λ) zawiera sie¸ w dziedzinie tej funkcji.

(42)

Funkcje elementarne

TWIERDZENIE.

Suma, różnica, złożenie, iloczyn i iloraz (o ile istnieje) funkcji cia¸głych jest funkcja¸ cia¸gła¸.

ZADANIE 5. Czy funkcja

f (x ) = _2+x^6+e4+x^x ⁶ + 2018^x− 3 cos x + 4 sin x − arctgx³+ ln(x⁴+ 1) − 3 jest ciągła?

Odpowiedź. Tak, jest ciągła w R.

WNIOSEK.

Funkcja elementarna jest cia¸gła w każdym punkcie x0, dla którego istnieje λ > 0 taka, że przedział (x₀− λ, x₀+ λ) zawiera sie¸ w dziedzinie tej funkcji.