Fizyka 1

Fizyka 1

Wykład 3.

Kinematyka zajmuje się opisem ruchu bez rozważania jego przyczyn.

● Ograniczamy się do opisu ruchu po linii prostej w jednym wymiarze, który nazywamy ruchem prostoliniowym.

• Przemieszczenie jest zmianą położenia ciała. Jednostką przemieszczenia oraz położenia w układzie SI jest metr. Przemieszczenie jest wektorem – ma kierunek i zwrot oraz wartość.

• Droga jest długością toru, czyli krzywej, po której ciało porusza się między dwoma położeniami. W ruchu prostoliniowym jest to długość odcinka i może być obliczona jako suma długości przemieszczeń składowych ruchu.

Kinematyka

• Czas trwania ruchu ciała jest różnicą chwil, w których ciało znajdowało się w dwóch położeniach x₁ i x₂ , co określamy jako zmianę Δt = t₂ − t₁. Całkowity czas ruchu to różnica Δt = t_k − t₀ , gdzie t_k jest chwilą końcową, a t₀ jest chwilą początkową. Chwilę początkową często przyjmujemy równą zero.

• Prędkość średnia v_śr jest zdefiniowana jako całkowite przemieszczenie podzielone przez całkowity czas. Jeśli położenie i czas w dwóch punktach wynoszą x₁ , t₁ oraz x₂ , t₂ , to prędkość średnia między tymi punktami wynosi

Kinematyka

v_śr=Δ x

Δt = x₂−x₁ t₂−t₁

● Prędkość chwilowa jest ciągłą funkcją czasu i daje informację o wektorze prędkości cząstki w dowolnym punkcie i dowolnej chwili w jej ruchu.

Liczymy prędkość chwilową jako pochodną po czasie zależności położenia od czasu i otrzymujemy ogólną zależność funkcyjną v(t), która w dalszej kolejności pozwala znaleźć prędkość w danej chwili czasu.

Prędkość chwilowa jest wektorem i może być ujemna w zależności od przyjętego układu współrzędnych.

Nachylenie stycznej do krzywej zależności położenia od czasu w danym punkcie daje prędkość chwilową w tej chwili czasu.

Kinematyka

● Przyspieszenie określa, jak szybko zmienia się w czasie prędkość ciała.

Przyspieszenie jest wektorem – ma kierunek, zwrot i wartość. Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu.

• Przyspieszenie może być wywołane zmianą wartości prędkości, ale też kierunku lub zwrotu albo wszystkich tych cech jednocześnie.

• Przyspieszenie chwilowe a(t) jest ciągłą funkcją czasu i podaje wielkość przyspieszenia w dowolnej chwili czasu w trakcie ruchu. Obliczamy je jako pochodną prędkości po czasie. Przyspieszenie chwilowe może też być zdefiniowane graficznie jako nachylenie stycznej do funkcji prędkości od czasu.

• Ujemne przyspieszenie (nazywane opóźnieniem) jest przyspieszeniem w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu ciała.

Kinematyka

Wykresy zależności prędkości i drogi od

czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Kinematyka

Wykresy zależności prędkości i drogi od

czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym.

Kinematyka

Wykresy zależności prędkości od czasu

w ruchu jednostajnie przyspieszonym i

opóźnionym.

Wykres prędkości w ruchu o zmiennym przyspieszeniu.

Zestaw równań do opisu położenia i prędkości ciała poruszającego się ze stałym przyspieszeniem nazywamy kinematycznymi równaniami ruchu.

Ruch ze stałym przyspieszeniem nazywa się ruchem jednostajnie zmiennym (przyspieszonym lub opóźnionym).

Kinematyczne równania ruchu

a = const.

Jeżeli znamy funkcję przyspieszenia od czasu a(t), a przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie

Kinematyczne równania ruchu

metodą całkowania

To prędkość jako funkcja czasu może być zdefiniowana jako

Prędkość jest pochodną położenia po czasie

Kinematyczne równania ruchu

metodą całkowania

całkując to równanie, otrzymujemy położenie w funkcji czasu

Te dwie wyznaczone całki można wykorzystać do otrzymania kinematycznych równań ruchu ze stałym przyspieszeniem.

Kinematyczne równania ruchu

metodą całkowania

Zakładając, że a(t) = a ma stałą w czasie wartość, obliczamy całkę

Wartość stałej całkowania znajdziemy z tzw. warunków początkowych.

Dla t = 0 v(0) = v₀ stąd

Zatem C₁ = v₀ , a równanie prędkości przyjmuje postać

Kinematyczne równania ruchu

metodą całkowania

Równanie wstawiamy do całki

Wartość stałej całkowania znajdziemy z tzw. warunków początkowych.

Dla t = 0 x(0) = x₀ , stąd , a więc C₂=x₀. Kinematyczne równanie położenia x(t) ma postać

Przy pominięciu oporu powietrza i tarcia wszystkie ciała spadają z danej wysokości w kierunku środka Ziemi z jednakowym stałym

przyspieszeniem, niezależnie od masy i rozmiarów.

Przyspieszenie grawitacyjne

W rzeczywistym świecie opory powietrza powodują, że lżejsze obiekty spadają wolniej niż obiekty o tych samych rozmiarach, ale cięższe. Siła

oporu zależy m. in. od przekroju poprzecznego danego ciała.

Gdy pomijamy opory i tarcie, spadek ciała w polu grawitacyjnym nazywamy spadkiem swobodnym. Przyczyną ruchu ciał spadających w kierunku środka Ziemi jest siła grawitacji. Przyspieszenie, które jest

rezultatem występowania tej siły, nazywamy przyspieszeniem grawitacyjnym g.

g = 9,81 m/s²

Przyspieszenie grawitacyjne jest zawsze stałe i równe dla wszystkich ciał, o ile spadek odbywa się w pobliżu powierzchni Ziemi.

[g zmienia się od 9,78 m/s² do 9,83 m/s² w zależności od szerokości geograficznej, wysokości nad powierzchnią Ziemi, struktury geologicznej

Ziemi w danym obszarze, lokalnej topografii terenu itp.]

Za kierunek wektora przyspieszenia grawitacyjnego możemy przyjąć – kierunek „w dół” (czyli do środka Ziemi).

Przyspieszenie grawitacyjne

Jeżeli ciało zostało upuszczone z pewnej wysokości, to jego prędkość początkowa wynosi zero (dotyczy spadku swobodnego). Jeśli ciało zostało

rzucone (w górę lub w dół), to ma prędkość początkową, której wartość i kierunek trzeba uwzględnić w równaniach ruchu.

Jeżeli dodatni kierunek jest zdefiniowany w górę, to przyjmujemy, że przyspieszenie wynosi −g .

Spadek swobodny i rzut pionowy

Pierwsza faza ruchu w górę jest ruchem jednostajnie opóźnionym ze stałym opóźnieniem równym g.

Jeżeli ciału nadamy prędkość początkową v₀ w kierunku pionowym w górę, to w całym czasie ruchu ciało ma stałe przyspieszenie ziemskie g zwrócone pionowo w dół, a więc w stronę przeciwną do prędkości początkowej. Ciało wznosząc się, wytraca stale prędkość, aż do chwilowego zatrzymania się – wtedy prędkość chwilowa v = 0. W tym momencie ciało osiąga maksymalną

wysokość H.

Spadek swobodny i rzut pionowy

W drugiej fazie ruchu ciało swobodnie spada.

Obliczmy maksymalną wysokość H, na którą wzniesie się ciało.

Położenie ciała w ruchu jednostajnie opóźnionym

x₀= 0, a = g, t = t_w, t_w= v₀/g

Spadek swobodny i rzut pionowy

x=x₀+v₀t−at² 2

H =v₀t_w− g t²_w

2 =v₀ v₀

g − v₀² 2 g H = v₀²

2 g

Prędkość końcowa ciała w chwili zderzenia z ziemią jest równa prędkości początkowej,

ale zwróconej przeciwnie.

Wektor położenia punktu P względem początku układu współrzędnych oznaczamy przez r(t) . Wektor ten nazywamy także wektorem wodzącym

punktu P, który jest zaczepiony w początku układu współrzędnych i ma koniec w punkcie P .

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej

oraz cząstka umieszczona w punkcie P(x(t),y(t),z(t)).

Rysunek prezentuje cząstkę znajdującą się w czasie t₁ w punkcie P₁ o wektorze położenia r(t₁). W późniejszej chwili t₂ , cząstka znajduje się w

punkcie P₂ o wektorze położenia r(t₂). Odejmując te dwa wektory

otrzymamy wektor przemieszczenia Δr. Przemieszczenie jest wektorem skierowanym od P₁ do P₂.

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Znamy definicję prędkości chwilowej jako pochodną położenia po czasie.

Tak samo znajdziemy prędkość w dwóch i trzech wymiarach, ale użyjemy wektora położenia

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Wektory r(t) i r(t+Δt) określają położenie cząstki poruszającej się wzdłuż toru. W miarę jak Δt zdąża do

zera, wektor prędkości, staje się styczny do toru ruchu cząstki w danej

chwili t.

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Równanie możemy zapisać dla każdej składowej osobno

Przemieszczenie Δr(t) może być zapisane jako suma przemieszczeń Δx(t) , Δy(t) , Δz(t) w każdym kierunku przestrzeni x, y, z.

Prędkość v(t) można zdefiniować jako wektorową sumę składowych v_x(t) , v_y(t), v_z(t) wzdłuż kierunków x, y i z.

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Przyspieszenie chwilowe jest zdefiniowane jako zmiana prędkości

zachodząca w bardzo krótkim przedziale czasu. Jest to wielkość wektorowa o dwóch lub trzech składowych. W praktyce obliczamy

przyspieszenie jako pochodną prędkości po czasie.

Wektor przyspieszenia otrzymamy różniczkując po czasie v(t).

W przypadku trójwymiarowym przyspieszenie a(t) może być zapisane jako wektorowa suma składowych a_x(t) , a_y(t) oraz a_z(t) wzdłuż trzech

kierunków x, y i z.

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Kinematyczne równania ruchu jednostajnie zmiennego (ze stałym przyspieszeniem) możemy zapisać jako wektorową sumę równań

jednowymiarowych dla kierunków x , y i z .

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Niezależność ruchu w kierunkach prostopadłych

Składowe wektorów położenia i prędkości w przypadku trójwymiarowym są osobnymi i niezależnymi od siebie funkcjami czasu. Ruch cząstki w kierunku osi x nie ma wpływu na ruch wzdłuż osi y i z , podobnie jest dla dwóch pozostałych współrzędnych.

Wniosek: Możemy rozdzielić ruch cząstki w dwóch lub trzech wymiarach na niezależne od siebie ruchy prostoliniowe wzdłuż prostopadłych osi układu współrzędnych, w którym ruch opisujemy.

W opisie kinematycznym ruchu składowe poziome i pionowe ruchu możemy traktować niezależnie. W wielu przypadkach ruch w kierunku poziomym nie wpływa na ruch w kierunku pionowym i odwrotnie.

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Rzuty

Rzutem nazywamy ruch ciała wystrzelonego lub upuszczonego w powietrzu, który zachodzi jedynie z przyspieszeniem grawitacyjnym.

Ruchy w kierunkach prostopadłych są niezależne i dlatego mogą być rozpatrywane oddzielnie.

Kluczem do rozwiązania problemu rzutów jest rozłożenie ruchu na ruch wzdłuż osi poziomej i niezależny ruch wzdłuż osi pionowej.

● Pomijamy wszystkie siły (z wyjątkiem siły grawitacji) takie jak opór powietrza czy tarcie.

● Jeśli przyjmiemy dodatni kierunek osi pionowej do góry, składowe wektora przyspieszenia mają bardzo prostą postać:

a_y = −g = −9,8 m/s² , a_x = 0

Jeżeli a_x = 0, to prędkość v_x w kierunku x w dowolnej chwili czasu nie zmienia się i jest równa prędkości początkowej v_0x .

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Rzuty

Jeśli przyjmiemy a_y = −g, a_x = 0 , to kinetyczne równania ruchu mają postać:

● Ruch w poziomie

● Ruch w pionie

V_x

Rzut, w którym początkowy kąt θ₀ między wektorem prędkości początkowej a kierunkiem poziomym jest różny od zera stopni, nazywamy rzutem ukośnym. Gdy kąt ten jest równy zero stopni, to rzut taki nazywać rzutem poziomym.

Gdy kąt jest równy 90 stopni, to rzut nazywamy rzutem pionowym.

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Rzuty

(a) Problem rzutu w dwóch wymiarach analizujemy, rozpatrując niezależne ruchy w jednym wymiarze: w kierunku poziomym i pionowym. (b) Ruch w poziomie jest bardzo prosty, ponieważ a_x = 0 oraz v_x jest stałe. (c) W trakcie wznoszenia się ciała prędkość w kierunku pionowym maleje i spada do zera, gdy ciało osiąga wysokość maksymalną. Gdy ciało z powrotem spada w kierunku Ziemi, prędkość pionowa rośnie, ale jej kierunek jest teraz przeciwny do kierunku składowej pionowej prędkości początkowej.

(d) Złożenie niezależnych ruchów wzdłuż osi x i y daje całkowitą

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Rzuty

Czas lotu w rzucie ukośnym

Przekształcając kinematyczne równania ruchu, możemy wyprowadzić wzór na czas lotu obiektu w rzucie ukośnym od miejsca wystrzelenia do miejsca upadku, które znajdują się na tym samym poziomie. Składowa y położenia musi być równa zeru zarówno na początku, jak i na końcu ruchu. W takim razie przemieszczenie w kierunku pionowym musi być równe zeru

Po przekształceniu

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Rzuty

Tor lotu w rzucie ukośnym

Równanie toru lotu pocisku w rzucie ukośnym wyznaczymy, eliminując zmienną t z równań kinematycznych dla dowolnej chwili i wyprowadzając zależność y(x) .Przyjmujemy, że pocisk jest wystrzelony z początku układu współrzędnych, stąd x₀ = y₀ = 0 . Z równania na zależność x(t) wyznaczamy czas

Wstawiamy do i otrzymujemy:

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Rzuty Tor lotu w rzucie ukośnym

Równanie toru w rzucie ukośnym ma ogólną postać y = ax + bx² , co jest równaniem paraboli o współczynnikach

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Rzuty

Zasięg lotu w rzucie ukośnym

Wzór na zasięg, czyli odległość w poziomie, jaką w rzucie ukośnym pokonuje pocisk, znajdujemy na podstawie równania toru ruchu.

Położenie w pionie y = 0 i dla punktu wystrzelenia, i dla miejsca upadku pocisku. Dwa rozwiązania: x = 0 (punkt wystrzelenia pocisku) i

, miejsce upadku.

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Rzuty Zasięg lotu w rzucie ukośnym

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej 2sinθcosθ = sin2θ oraz wprowadzając oznaczenie zasięgu x = R , otrzymujemy wzór końcowy na zasięg:

Powyższy wzór na zasięg jest poprawny jedynie w przypadku rzutu ukośnego względem poziomej powierzchni (obowiązuje tylko w sytuacji, gdy pocisk upada na tej samej wysokości, z jakiej był wystrzelony).