1 Moce zbiorów Definicja 1.1

Wykład 8

1 Moce zbiorów

Definicja 1.1 Zbiory A i B nazywamy równolicznymi (tej samej mocy), jeśli istnieje funkcja f przekształcająca wzajemnie jednoznacznie zbiór A na zbiór B. Piszemy wtedy: |A| = |B|

lub A ∼ B.

Zbiór A ma co najwyżej tyle elementów co zbiór B jeśli istnieje podzbiór C zbioru B równo- liczny ze zbiorem A. Piszemy wtedy: |A| ¬ |B|.

Twierdzenie 1.1 Dla dowolnych zbiorów A i B następujące warunki są równoważne:

(i) |A| ¬ |B|

(ii) istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru A w zbiór B (iii) istnieje funkcja ze zbioru B na zbiór A.

Twierdzenie 1.2 (Cantor -Bernstein) Dla dowolnych zbiorów A i B, jeśli |A| ¬ |B| i

|B| ¬ |A|, to |A| = |B|.

Definicja 1.2 Powiemy, ze zbiór A ma mniej elementów niż B, gdy zachodzi |A| ¬ |B| oraz zbiory A i B nie są równoliczne.

Definicja 1.3 Powiemy, że zbiór A jest zbiorem skończonym jeśli jest on zbiorem pustym lub istnieje liczba naturalna n ∈ N taka, że A ∼ {1, 2, . . . , n}. W takim przypadku mówimy, że zbiór A ma n elementów.

Zbiór, który nie jest skończony nazywamy nieskończonym.

Zbiór nazywamy przeliczalnym jeśli jest on równoliczny ze zbiorem licz naturalnych. Piszemy wtedy |A| = ℵ

.

Zbiór A nazywamy co najwyżej przeliczalnym, jeśli jest on skończony lub przeliczalny. Zbiór nazywamy nieprzeliczalnym jeśli nie jest on zbiorem co najwyżej przeliczalnym.

Przykłady: Zbiór liczb naturalnych parzystych P jest przeliczalny. Funkcją ustalającą rów- noliczność zbioru liczb parzystych z naturalnymi jest f (n) =

Podobnie zbiór liczb nieparzystych N P jest przeliczalny. Tym razem żądaną bijekcją jest np:

f (n) =

. Ponieważ relacja równoliczności jest relacją równoważności, zbiory licz parzy- stych i nieparzystych są równoliczne.

Twierdzenie 1.3 Podzbiór zbioru skończonego, suma oraz iloczyn kartezjański skończenie wielu zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym.

Twierdzenie 1.4 Każdy zbiór zawierający zbiór przeliczalny jest zbiorem nieskończonym.

Każdy zbiór nieskończony, zawiera zbiór przeliczalny.

Wniosek: Aby wykazać, że dany zbiór nieskończony jest przeliczalny, wystarczy ustawić jego elementy w ciąg.

1

Twierdzenie 1.5 Zbiór wszystkich podzbiorów skończonych zbioru mocy ℵ

jest mocy ℵ

. Twierdzenie 1.6 Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

Dowód: Niech A, B - zbiory przeliczalne. Możemy więc ustawić ich elementy w ciągi:

(a

, a

, a

, . . .), (b

, b

, b

, . . .). Wobec tego elementy sumy również możemy ustawić w ciąg:

(a

, b

, a

, b

, a

, b

, . . .). Wynika stąd, że suma jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, a po- nieważ jest zbiorem nieskończonym, jest zbiorem przeliczalnym.

Wniosek: Zbiór liczb całkowitych Z jest zbiorem przeliczalnym.

Twierdzenie 1.7 Przeliczalne suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

Twierdzenie 1.8 Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczal- nym

Dowód: Niech A, B - zbiory przeliczalne. Możemy ich elementy ustawić w ciągi:

(a

, a

, a

, . . .), (b

, b

, b

, . . .). Rozpatrzmy tablicę:

a

a

a

a

. . .

b

(a

, b

) (a

, b

) (a

, b

) (a

, b

) . . . b

(a

, b

) (a

, b

) (a

, b

) (a

, b

) . . . b

(a

, b

) (a

, b

) (a

, b

) (a

, b

) . . . .. . .. . .. . .. . .. . . ..

Tablica ta zawiera wszystkie elementy iloczynu kartezjańskiego. Jest ich nieskończenie wiele.

Aby wykazać przeliczalność tego zbioru wystarczy teraz ustawić jego elementy w ciąg. Czy- nimy to jak na poniższym rysunku:

a

a

a

a

. . .

b

(a

, b

) → (a

, b

) (a

, b

) → (a

, b

) . . .

. % .

b

(a

, b

) (a

, b

) (a

, b

) (a

, b

) . . .

↓ % .

b

(a

, b

) (a

, b

) (a

, b

) (a

, b

) . . . .

.. . .. . .. . .. . .. . . ..

Ponieważ udało nam się elementy rozważanego nieskończonego zbioru ustawić w ciąg, jest on przeliczalny.

Wniosek: Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym (jako nieskończony podzbiór zbioru przeliczalnego - iloczynu kartezjańskiego Z × Z).

2

Twierdzenie 1.9 Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczal- nym

Twierdzenie 1.10 Zbiór liczb rzeczywistych R nie jest zbiorem przeliczalnym.

Na wykładzie został podany szkic dowodu: najpierw wykazaliśmy równoliczność dwóch do- wolnych przedziałów otwartych na prostej, potem równoliczność prostej i przedziału (−

,

) a tym samym prostej i przedziału (0, 1). Następnie założyliśmy nie wprost, że przedział (0, 1) jest mocy ℵ

i wykazaliśmy nieprawdziwość tego założenia (pokazaliśmy, że nie istnieje funk- cja ustalająca równoliczność między tymi zbiorami).

Definicja 1.4 Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiorami mocy continuum.

Twierdzenie 1.11 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru przeliczalnego jest mocy continuum.

Twierdzenie 1.12 Zbiór wszystkich nieskończonych ciągów o wartościach w zbiorze mocy continuum jest mocy continuum.

Wniosek: |R

| = |R|.

Twierdzenie 1.13 Niech zbiór A będzie zbiorem mocy continuum i niech S ⊂ A. wtedy, jeśli |S| < |R|, to |A \ S| = |R|.

Wniosek: Zbiór liczb niewymiernych jest mocy continuum.

Twierdzenie 1.14 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru mocy continuum ma moc większą niż continuum.

3