1 Przestrzenie metryczne
Definicja 1.1 (metryka) Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X × X → R+
nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki:
1o d(x, y) = d(y, x) (symetria)
2o d(x, y) + d(y, z) > d(x, z) (nierówność trójkąta) 3o d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
Gdy spełnione są jedynie warunki 1o i 2o, wtedy d nazywa się półmetryką.
Parę (X, d) nazywamy przestrzenią metryczną.
Uwaga. Z definicji wynika, że zawsze d(x, y)> 0.
Definicja 1.2 (zbiór ograniczony) Niech (X, d) - przestrzeń metryczna. Zbiór A ⊂ X nazywa- my ograniczonym, jeśli
sup
x, y∈A
d(x, y) < ∞.
Definicja 1.3 Przekształcenie f : X → Y , gdzie Y - przestrzeń metryczna nazywamy ograni- czonym, jeśli obraz przekształcenia f (X) (zbiór wartości f ) jest ograniczony. Zbiór przekształceń ograniczonych z przestrzeni X do przestrzeni metrycznej (Y, dY) oznaczamy B(X, Y ).
Definicja 1.4 (metryka supremum) Niech f, g ∈ B(X, Y ). Określamy:
d(f, g) = sup
x∈X
dY(f (x), g(x))
Wtedy (B(X, Y ), d) jest przestrzenią metryczną. W szczególności, gdy za Y przyjmiemy R z me- tryką euklidesową otrzymamy B(X, R) - zbiór funkcji o wartościach rzeczywistych ograniczonych określonych na przestrzeni X. Metryka przyjmuje wówczas postać:
d(f, g) = sup
x∈X
|f (x) − g(x)| dla f, g ∈ B(X, R).
1.1 Zbiory w przestrzeni metrycznej
Definicja 1.5 (kula) Kulą (otwartą) o środku w punkcie p i promieniu r (ozn. K(p, r), B(p, r)) nazywamy zbiór:
B(p, r) = {x ∈ X : d(p, x) < r}.
Definicja 1.6 (wnętrze zbioru) Niech A ⊂ X. Punkt a ∈ A nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A, jeśli istnieje kula o środku w tym punkcie zawarta w zbiorze A. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A nazywamy wnętrzem zbioru A i oznaczamy int A.
Uwaga. Mamy oczywiście int A ⊂ A dla każdego zbioru A.
Definicja 1.7 (zbiór otwarty) Zbiór U ⊂ X nazywamy otwartym, jeśli int U = U . Uwaga. Zbiór pusty traktujemy jako otwarty.
Stwierdzenie 1.8 Kula otwarta jest zbiorem otwartym w sensie powyższej definicji.
Twierdzenie 1.9 Dla dowolnego zbioru A zbiór int A jest zbiorem otwartym.
Twierdzenie 1.10 Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przecięcie skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Definicja 1.11 (otoczenie) Otoczeniem punktu x ∈ X nazywamy dowolny zbiór otwarty U ta- ki, że x ∈ U .
Definicja 1.12 (domknięcie zbioru) Punkt x ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioru A ⊂ X jeśli dla każdego otoczenia U punktu x mamy: U ∩ A \ {x} 6= ∅. Jeśli x ∈ A oraz x nie jest punktem skupienia zbioru A to x nazywamy punktem izolowanym zbioru A. Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór złożony z wszystkich jego punktów skupienia i punktów izolowanych i oznaczamy cl A.
Mamy oczywiście A ⊂ cl A dla każdego zbioru A.
Definicja 1.13 (zbiór domknięty) Zbiór F ⊂ X nazywamy domkniętym jeśli cl F = F . Uwaga. Zbiór pusty traktujemy jako domknięty.
Twierdzenie 1.14 Dla dowolnego zbioru A zbiór cl A jest zbiorem domkniętym.
Twierdzenie 1.15 Niech A ⊂ X. Wtedy A otwarty wtedy i tylko wtedy gdy A0 = X \ A jest domknięty.
Definicja 1.16 (brzeg zbioru) Brzegiem zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór bdA = clA \ intA.
Wniosek: Brzeg dowolnego zbioru jest zbiorem domkniętym (bo bdA = clA ∩ (X \ intA)).
2 Ciągi
Definicja 2.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x : N → X. Dla uproszczenia piszemy xn zamiast x(n).
Uwaga. Przestrzeń wszystkich podzbiorów danego zbioru X będziemy oznaczali jako P(X).
Definicja 2.2 (ciąg zbieżny) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech (xn) będzie cią- giem z przestrzeni X. Ciąg ten nazywamy zbieżnym jeśli istnieje x∞∈ X takie, że:
∀ε>0∃n0∈N∀n>n0 xn ∈ K(x∞, ε)
x∞ spełniające powyższy warunek nazywamy granicą ciągu. Jeśli granica nie istnieje, ciąg nazywa- my rozbieżnym.
Stwierdzenie 2.3 Granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie.
Stwierdzenie 2.4 Ciąg zbieżny jest ograniczony.
Definicja 2.5 (zbiór zwarty) Zbiór A ∈ X, (X, d) - przestrzeń metryczna nazywamy zwartym, jeśli z każdego ciągu elementów zbioru A można wybrać podciąg zbieżny do granicy w zbiorze A.
Definicja 2.6 (norma) X - przestrzeń liniowa nad R (ogólnie nad ciałem K). Funkcja N : X → R+ nazywa się normą, gdy dla t ∈ R, u, v ∈ X spełnione są warunki:
• N (tu) = |t|N (u) (jednorodność)
• N (u) = 0 ⇒ u = 0 (niezdegenerowaność)
• N (u + v) 6 N(u) + N(v) (warunek trójkąta) Parę (X, N ) nazywamy przestrzenią unormowaną.
Stwierdzenie 2.7 Norma definiuje metrykę: d(u, v) = N (u − v). Mówimy, że jest to metryka indukowana przez normę.
3 Funkcje i zbiory
Definicja 3.1 (obraz zbioru) Obrazem zbioru A ⊂ X dla funkcji f : X → Y nazywamy zbiór {y ∈ Y : ∃x∈A y = f (x)} i oznaczamy przez f (A) lub f [A].
Definicja 3.2 (obraz funkcji) Obrazem funkcji f : X → Y nazywamy obraz całego zbioru X, czyli f (X).
Definicja 3.3 (przeciwobraz zbioru) Przeciwobrazem zbioru B ⊂ Y dla funkcji f : X → Y nazywamy zbiór {x ∈ X : f (x) ∈ B} i oznaczamy przez f−1(A) lub f−1[A].
Definicja 3.4 (różnowartościowość) Mówimy, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa (jest injekcją), jeśli dla każdego y ∈ f (X) istnieje dokładnie jeden x ∈ X, taki że f (x) = y.
Inaczej mówiąc: f jest różnowartościowa, jeśli zachodzi implikacja f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2. Definicja 3.5 (na) Mówimy, że funkcja f : X → Y jest „na” (jest suriekcją), jeśli dla każdego y ∈ Y istnieje x ∈ X, taki że f (x) = y.
Definicja 3.6 (bijekcja) Mówimy, że funkcja f : X → Y jest bijekcją, jeśli jest różnowartościowa i „na”.
Definicja 3.7 (złożenie) Dane są funkcje f : X → Y oraz g : Y → Z. Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h : X → Z daną wzorem h(x) = gf (x) i oznaczamy h = g ◦ f .
Definicja 3.8 (funkcja odwrotna) Dana jest funkcja f : X → Y . Funkcją odwrotną do f nazy- wamy funkcję g : Y → X (o ile istnieje) spełniającą zależności f ◦ g = idX oraz g ◦ f = idY, gdzie idZ jest funkcją identycznościową na zbiorze Z. Funkcję odwrotną oznaczamy g = f−1.
Uwaga. Funkcja odwrotna do f istnieje wtedy i tylko wtedy gdy f jest bijekcją.
Definicja 3.9 (suma) Dana jest rodzina (zbiór) podzbiorów {Ai}i∈I przestrzeni X. Sumą zbiorów Ai nazywamy zbiór A = {x ∈ X : ∃i∈Ix ∈ Ai} i oznaczamy A = [
i∈I
Ai.
Definicja 3.10 (przecięcie) Dana jest rodzina podzbiorów {Ai}i∈I przestrzeni X. Przecięciem (częścią wspólną) zbiorów Ai nazywamy zbiór A = {x ∈ X : ∀i∈Ix ∈ Ai} i oznaczamy A = \
i∈I
Ai.
4 Ciągi funkcyjne
Definicja 4.1 (zbieżność punktowa) Ciąg funkcji fn: X → R jest zbieżny punktowo na zbiorze A ⊂ X do funkcji f : X → R jeśli:
∀x∈A fn(x) → f (x) dla n → ∞
Definicja 4.2 (zbieżność jednostajna) Niech f, fn ∈ B(X, R) dla n ∈ N. Ciąg funkcji fn jest zbieżny jednostajnie do funkcji f ((fn⇒ f ) jeśli jest zbieżny w sensie normy supremum, tzn:
kf − fnksup → 0
Wniosek: ciąg funkcji ograniczonych zbieżny jednostajnie jest zbieżny punktowo. Implikacja przeciwna nie zachodzi!!!
Uwaga. Powyższe definicje można w sposób oczywisty uogólnić na przypadek funkcji których zbio- rem wartości jest dowolna przestrzeń metryczna.
Twierdzenie 4.3 Jeśli ciąg funkcji ciągłych fn jest zbieżny jednostajnie na zbiorze A do funkcji f , to funkcja graniczna f jest ciągła na A.
Wniosek. W wielu sytuacjach ułatwia to badanie zbieżności - jeśli funkcje fn są ciągłe, a funkcja graniczna jest nieciągła, wtedy od razu wiemy, że zbieżność nie jest jednostajna.
Uwaga. Implikacja przeciwna nie zachodzi - mimo że funkcja graniczna jest ciągła, zbieżność może nie być jednostajna.
4.1 Szeregi funkcyjne
Definicja 4.4 Niech dany będzie ciąg funkcyjny fn, gdzie fn: X → R. Oznaczmy przez Sk funkcję Sk(x) =
k
X
i=1
fi(x)
Dla szeregu S(x) =P∞i=1fi(x) pojęcia zbieżności punktowej i jednostajnej definiujemy jak powyżej wykorzystując ciąg funkcyjny Sk(x), przy czym szereg S(x) jest określony na zbiorze tych x ∈ X dla których jest on zbieżny jako szereg liczbowy.
Uwaga. Z twierdzenia (4.3) można otrzymać, że suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą wewnątrz koła zbieżności.
5 Ciągłość odwzorowań
Definicja 5.1 (granica odwzorowania) Niech (X, dX), (Y, dY) — przestrzenie metryczne, A ⊂ X. Mówimy że odwzorowanie f : A → Y ma w punkcie x0 granicę y0, jeśli dla każdego ciągu xn elementów dziedziny A zbieżnego do x0 mamy f (xn) → y0.
Definicja 5.2 (ciągowa definicja ciągłości (wg Heinego)) Niech (X, dX), (Y, dY) — prze- strzenie metryczne, A ⊂ X. Mówimy, że odwzorowanie f : A → Y jest ciągłe w punkcie x0, jeśli dla każdego ciągu xn elementów dziedziny A zbieżnego do x0 ciąg f (xn) jest zbieżny do f (x0).
Definicja 5.3 (otoczeniowa definicja ciągłości) Niech (X, dX), (Y, dY) — przestrzenie me- tryczne, A ⊂ X. Mówimy, że odwzorowanie f : A → Y jest ciągłe w punkcie x0, jeśli dla każdego otoczenia U punktu f (x0) przeciwobraz f−1(U ) jest zbiorem otwartym w przestrzeni X.
Definicja 5.4 (epsilonowa definicja ciągłości (wg Cauchy’ego)) Niech (X, dX), (Y, dY) — przestrzenie metryczne, A ⊂ X. Mówimy, że odwzorowanie f : A → Y jest ciągłe w punkcie x0, jeśli zachodzi:
∀ε>0 ∃δ>0∀x∈X dX(x, x0) < δ ⇒ dY(f (x), f (x0)) < ε
Uwaga. Definicje 2.2, 2.3 i 2.4 są równoważne. Odwzorowanie ciągłe w każdym punkcie dziedziny nazywamy odwzorowaniem ciągłym.
Zbiór przekształceń ciągłych z X w Y oznaczamy przez C(X, Y ).
Stwierdzenie 5.5 Niech (X, dX), (Y, dY), (Z, dZ) będą przestrzeniami metrycznymi oraz odwzo- rowania f : X → Y , g : Y → Z są ciągłe. Wówczas złożenie g ◦ f : X → Z jest ciągłe.
Stwierdzenie 5.6 Niech f, g : Rn→ Rk będą ciągłe. Wówczas f + g, f − g, f · g są ciągłe. fg jest funkcją ciągłą w punktach, gdzie g 6= 0.
Stwierdzenie 5.7 Funkcja stała, funkcje potęgowe xp (dla p 6= 0), sin(x), cos(x), ex, ln(x) są ciągłe w swoich dziedzinach.
Uwaga. Powyższe stwierdzenia pozwalają łatwo wykazać ciągłość np. ln(x2− 3x + 2) · cos(ex).
6 Różniczkowanie odwzorowań
Przyjmijmy następujące oznaczenia: (X, k · kX), (Y, k · kY) - przestrzenie liniowe unormowane (u nas najczęściej Rn i Rk), X ⊃ G - podzbiór otwarty, p ∈ G, f : G → Y .
Definicja 6.1 (pochodna kierunkowa funkcji) Pochodną kierunkową odwzorowania f : G → Y w punkcie p ∈ G w kierunku wektora h ∈ X nazywamy granicę
∂f
∂h(p) = fh0(p) = Dhf (p) = lim
t→0
1
t(f (p + th) − f (p)),
o ile istnieje i jest skończona. Wyrażenie występujące pod znakiem granicy rozważamy oczywiście dla tych t ∈ R, dla których p + th ∈ G.
Przez e1, . . . , en oznaczamy bazę kanoniczną przestrzeni Rn, tzn. ei = ( 0
|{z}
1
, . . . , 1
|{z}
i
, . . . , 0
|{z}n
) Definicja 6.2 (pochodna cząstkowa) Pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p względem i-tej zmiennej nazywamy pochodną kierunkową tej funkcji w punkcie p w kierunku ei o ile ona istnieje i oznaczamy fx0i(p) = Dxif (p) = Dif (p) = ∂x∂f
i(p).
Definicja 6.3 (pochodna funkcji (odwzorowania)) Pochodną funkcji f w punkcie p nazywa- my odwzorowanie liniowe L ∈ L(X, Y ) spełniające warunek:
u→0lim
f (p + u) − f (p) − L(u)
kuk = 0.
Oznaczamy je najczęściej L = Df (p).
Oznacza to, że:
f (p + u) = f (p) + Lu + α(u), gdzie α(u) = o(u), tzn limu→0 kα(u)kkuk = 0.
Stwierdzenie 6.4 Jeśli funkcja jest różniczkowalna w p, to jest ciągła w tym punkcie.
Twierdzenie 6.5 Niech G będzie otoczeniem punktu p. Wówczas, jeśli funkcja f jest różniczko- walna w p, to:
a) przy każdym h ∈ X istnieje pochodna kierunkowa ∂f∂h(p) oraz jest równa Df (p)h;
b) istnieją pochodne cząstkowe Dif (p) oraz:
Df (p)h =
n
X
i=1
Dif (p)hi, gdzie h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn.
Twierdzenie 6.6 (o różniczkowalności funkcji o ciągłych pochodnych cząstkowych) Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe funkcji f w otoczeniu punktu p istnieją i są ciągłe w p, to funkcja ta jest różniczkowalna w punkcie p.
6.1 Pochodna złożenia
Twierdzenie 6.7 Niech G ⊂ Rm = X, G1 ⊂ Rn= Y , Rk = Z, G jest otoczeniem punktu x0, a G1
otoczeniem punktu y0. Niech f : G → G1 będzie odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie x0, a g : G1 → Z odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie y0 = f (x0), gdzie Wówczas odwzorowanie g ◦ f jest różniczkowalne w punkcie x0 oraz zachodzi wzór:
D(g ◦ f )(x0) = Dg(y0) ◦ Df (x0).
Rozpiszmy powyższy napis – przyjmijmy, że f = (f1, . . . , fn), gdzie fi: X → R dla i = 1, . . . n, gj: Y 7→ R , gdzie j = 1, . . . k. (W celu nie komplikowania zapisu przyjmujemy na chwilę, że odwzorowania te są określone na całych przestrzeniach X, Y, Z.) Możemy wtedy zapisać, że:
Df =
∂f1
∂x1 . . . ∂x∂f1 .. m
. . .. ...
∂fn
∂x1 . . . ∂x∂fn
m
, Dg =
∂g1
∂y1 . . . ∂g∂y1 .. n
. . .. ...
∂gk
∂y1 . . . ∂g∂yk
n
Daje to na mocy twierdzenia:
D(g ◦ f ) =
∂g1
∂y1 . . . ∂y∂g1 .. n
. . .. ...
∂gk
∂y1 . . . ∂y∂gk
n
·
∂f1
∂x1 . . . ∂x∂f1 .. m
. . .. ...
∂fn
∂x1 . . . ∂x∂fn
m
.
Jeśli teraz przyjmiemy, że
D(f ◦ g) =
"
∂(g ◦ f )i
∂xj
#
i = 1, . . . k, j = 1 . . . , m, to otrzymamy wzór:
∂(g ◦ f )i
∂xj =
n
X
l=1
∂gi
∂yl · ∂fl
∂xj.
W powyższych zapisach (żeby nie zaciemnianiać) pominęliśmy punkty w jakich liczone są pochodne cząstkowe i różniczki.
6.2 Twierdzenie o odwracaniu odwzorowań
Definicja 6.8 Odwzorowanie F : G 7→ Rn, gdzie G ⊂ Rk nazywamy klasy C1, jeśli jest różniczko- walne, oraz odwzorowanie G 3 x 7→ wh(x) = DF (x)h jest ciągłe dla każdego ustalonego h ∈ Rk. Uwaga. Zbiór wszystkich odwzorowań klasy C1 z X w Y oznaczamy przez C1(X, Y ).
Twierdzenie 6.9 Na to by odwzorowanie F : G 7→ Rn, F = (f1, f2, . . . , fn), gdzie fi - funkcje rzeczywiste, i = 1, 2, . . . , n było klasy C1 potrzeba i wystarcza, by istniały w G wszystkie pochodne cząstkowe Djfi, j = 1, 2, . . . , k i były w nim ciągłe.
Definicja 6.10 (dyfeomorfizm) Odwzorowanie ϕ : U → Rn, gdzie U ⊂ Rn - zbiór otwarty, nazywa się dyfeomorfizmem, jeśli jest ono klasy C1, jest nieosobliwe i różnowartościowe, a odwzo- rowanie ϕ−1 jest ciągłe.
Twierdzenie 6.11 Jeśli ϕ : U → V , ψ : V → Rk są dyfeomorfizmami, to ψ ◦ ϕ jest też dyfeomor- fizmem ( U, V -podzbiory otwarte przestrzeni Rk).
Definicja 6.12 Niech f : X → Y . Powiemy, że f jest lokalnie odwracalne w punkcie p ∈ X, jeśli istnieje otoczenie U ⊂ X punktu p takie, że f obcięte do U jest odwracalne.
Twierdzenie 6.13 Niech f : U→ Rk będzie odwzorowaniem klasy C1, gdzie U ⊂ Rk - zbiór otwar- ty. Wówczas, jeśli det Df 6= 0, to:
a) zbiór f (U ) jest otwarty;
b) odwzorowanie f zawężone do pewnego otoczenia punktu x0 jest różnowartościowe.
c) jeśli f jest różnowartościowe, to f−1 istnieje, jest klasy C1 oraz zachodzi:
Df−1(y) = (Df (x))−1 gdzie y = f (x), x ∈ U .
Wniosek. Jeśli odwzorowanie ϕ : U → Rm klasy C1, U ⊂ Rn jest nieosobliwe i różnowartościowe, to jest ono dyfeomorfizmem oraz ϕ−1 jest też dyfeomorfizmem.
6.3 Odwzorowania uwikłane
Definicja 6.14 (odwzorowanie uwikłane) Niech będzie dane odwzorowanie f : U → Y , gdzie U ⊂ X × Y , X = Rn, Y = Rm, oraz odwzorowanie ϕ : V → Y , gdzie V ⊂ X. Jeśli f (x, ϕ(x)) = 0 dla każdego x ∈ V , to mówimy, że odwzorowanie f generuje odwzorowanie uwikłane ϕ : V → Y . Twierdzenie 6.15 (o istnieniu) Przypuśćmy, że X = Rn, Y = Rm, U – podzbiór otwarty X×Y , f ∈ C1(U, Y ), f (x0, y0) = 0, ∂Y∂f(x0, y0) ∈ I(Y, Y ). Wówczas istnieją otoczenia U1 3 x0 i U2 3 y0, takie że U1× U2 ⊂ U , oraz funkcja ϕ ∈ C1(U1, U2) takie że:
a) dla (x, y) ∈ U1× U2 mamy f (x, y) = 0 ⇔ y = ϕ(x);
b) dla x ∈ U1 ϕ0(x) = −fY0 (x, ϕ(x))−1◦ fX0 (x, ϕ(x))
7 Pochodne wyższych rzędów
Definicja 7.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech G ⊂ Rk oraz f : G → Rm. Wówczas, jeśli istnieje pochodna cząstkowa DjDif(x0), to nazywamy ją drugą pochodną cząst- kową (pochodną cząstkową drugiego rzędu) odwzorowania f w punkcie x0 względem i-tej i j-tej zmiennej i oznaczamy ją przez DjDif (x0), (i, j = 1, . . . , k).
Inne stosowane oznaczenia:
∂2f
∂xj∂xi(x0), lub fx00ixj(x0).
Cząstkowe pochodne drugiego rzędu dla i 6= j nazywa się pochodnymi mieszanymi. Pochodną DiDif (x0) oznaczamy również D2if (x0), lub ∂∂x2f2
i
(x0).
Definicja 7.2 (Pochodna drugiego rzędu) Odwzorowanie f o wartościach w Rm określone w otoczeniu G punktu x0 ∈ Rk nazywamy dwukrotnie różniczkowalnym w tym punkcie, jeśli:
1) jest ono różniczkowalne w każdym punkcie pewnego otoczenia punktu x0;
2) przy każdym ustalonym h ∈ Rk odwzorowanie (określone w pewnym otoczeniu punktu x0, o wartościach w Rm)
x 7→ Df (x)h
jest różniczkowalne w punkcie x0. Wówczas dwuliniowe (liniowe ze względu na każdą z dwóch współrzędnych oddzielnie) odwzorowanie:
(h0, h) 7→ D(Df (x)h)h0
określone na produkcie Rk× Rk ( o wartościach w Rm) nazywamy pochodną drugiego rzędu odwzorowania f w punkcie x0 i oznaczamy D2f (x0).
Twierdzenie 7.3 Warunkiem dostatecznym dwukrotnej różniczkowalności odwzorowania f w punkcie x0 jest istnienie w pewnym otoczeniu punktu x0 ciągłych pochodnych cząstkowych pierw- szego rzędu oraz istnienie w pewnym otoczeniu tego punktu drugich pochodnych cząstkowych i ich ciągłość w punkcie x0.
Twierdzenie 7.4 Jeśli odwzorowanie f jest dwukrotnie różniczkowalne w punkcie x0, to istnieją drugie pochodne cząstkowe DjDif (x0) (i, j = 1, . . . , k) oraz zachodzi wzór
D2f (x0)h0h =
k
X
i,j=1
h0jhiDjDif (x0) dla dowolnych h0 = (h01, . . . , h0k), h = (h1, . . . , hk)
Twierdzenie 7.5 (Schwarza o symetrii drugiej pochodnej) Jeśli odwzorowanie f jest dwu- krotnie różniczkowalne w punkcie x0, to pochodna jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym, tzn. dla dowolnych h, h0 ∈ Rk zachodzi:
D2f hh0(x0) = D2f h0h(x0), w szczególności: DiDjf (x0) = DjDif (x0).
Twierdzenie 7.6 (Wzór Taylora) Jeśli odwzorowanie f jest n-krotnie różniczkowalne (przy da- nym n ∈ N) w punkcie x0, to zachodzi wzór:
f (x0+ h) = f (x0) + 1
1!Df (x0)h + . . . + 1
n!Dnf (x0)hn+ α(h) gdzie α(h) = o(hn), tzn limh→0 kα(h)kkhkn = 0.
8 Moce zbiorów
Definicja 8.1 Zbiory A i B nazywamy równolicznymi (tej samej mocy), jeśli istnieje bijekcja f : A → B. Piszemy wtedy: |A| = |B| lub A ∼ B.
Zbiór A ma co najwyżej tyle elementów co zbiór B, jeśli istnieje podzbiór C zbioru B równoliczny ze zbiorem A. Piszemy wtedy: |A|6 |B|.
Twierdzenie 8.2 Dla dowolnych zbiorów A i B następujące warunki są równoważne:
(i) |A|6 |B|
(ii) istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru A w zbiór B (iii) istnieje funkcja ze zbioru B na zbiór A.
Twierdzenie 8.3 (Cantor–Bernstein)
Dla dowolnych zbiorów A i B, jeśli |A|6 |B| i |B| 6 |A|, to |A| = |B|.
Definicja 8.4 Powiemy, ze zbiór A ma mniej elementów niż B, gdy zachodzi |A|6 |B| oraz zbiory A i B nie są równoliczne.
Definicja 8.5 Powiemy, że zbiór A jest zbiorem skończonym jeśli jest on zbiorem pustym lub ist- nieje liczba naturalna n ∈ N taka, że A ∼ {1, 2, . . . , n}. W takim przypadku mówimy, że zbiór A ma n elementów.
Zbiór, który nie jest skończony nazywamy nieskończonym.
Zbiór nazywamy przeliczalnym jeśli jest on równoliczny ze zbiorem licz naturalnych. Piszemy wtedy
|A| = ℵ0.
Zbiór A nazywamy co najwyżej przeliczalnym, jeśli jest on skończony lub przeliczalny. Zbiór nazy- wamy nieprzeliczalnym jeśli nie jest on zbiorem co najwyżej przeliczalnym.
Twierdzenie 8.6 Podzbiór zbioru skończonego, suma oraz iloczyn kartezjański skończenie wielu zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym.
Twierdzenie 8.7 Każdy zbiór zawierający zbiór przeliczalny jest zbiorem nieskończonym. Każdy zbiór nieskończony, zawiera zbiór przeliczalny.
Wniosek. Aby wykazać, że dany zbiór nieskończony jest przeliczalny, wystarczy ustawić jego elementy w ciąg.
Twierdzenie 8.8 Zbiór wszystkich podzbiorów skończonych zbioru mocy ℵ0 jest mocy ℵ0. Twierdzenie 8.9 Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Wniosek. Zbiór liczb całkowitych Z jest zbiorem przeliczalnym.
Twierdzenie 8.10 Przeliczalne suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Twierdzenie 8.11 Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym Wniosek. Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym (jako nieskończony podzbiór zbioru przeliczalnego - iloczynu kartezjańskiego Z × Z).
Twierdzenie 8.12 Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym Twierdzenie 8.13 Zbiór liczb rzeczywistych R nie jest zbiorem przeliczalnym.
Definicja 8.14 Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiorami mocy con- tinuum.
Twierdzenie 8.15 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru przeliczalnego jest mocy continuum.
Twierdzenie 8.16 Zbiór wszystkich nieskończonych ciągów o wartościach w zbiorze mocy conti- nuum jest mocy continuum.
Wniosek. |Rn| = |R|.
Twierdzenie 8.17 Niech zbiór A będzie zbiorem mocy continuum i niech S ⊂ A. wtedy, jeśli
|S| < |R|, to |A \ S| = |R|.
Wniosek. Zbiór liczb niewymiernych jest mocy continuum.
Twierdzenie 8.18 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru mocy continuum ma moc większą niż con- tinuum.
9 σ-ciała
Definicja 9.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki:
1o ∅ ∈ M;
2o jeśli A ∈ M, to X \ A ∈ M;
3o jeśli An ∈ M dla każdego n ∈ N, to Sn∈NAn ∈ M.
Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
Z powyższych warunków wynikają łatwo następujące własności σ - ciała M:
• X ∈ M
• jeśli J jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem, oraz Aj ∈ M dla każdego j ∈ J, to:
a) Sj∈JAj ∈ M;
b) Tj∈JAj ∈ M
tzn. suma i przecięcie co najwyżej przeliczalnej rodziny zbiorów należących do σ-ciała M, należą do M;
• jeśli A, B ∈ M, to A \ B ∈ M.
Definicja 9.2 Jeśli M jest σ- ciałem w zbiorze X, to parę (X, M) nazywamy przestrzenią mie- rzalną.
Stwierdzenie 9.3 Część wspólna rodziny σ-ciał w X jest σ- ciałem w X.
Powyższe stwierdzenie uprawnia nas do wprowadzenia następującego pojęcia:
Definicja 9.4 Niech R - pewna rodzina podzbiorów przestrzeni X. σ-ciałem generowanym przez R w X nazywamy część wspólną wszystkich σ-ciał w X zawierających R i oznaczamy σ(R). σ(R) bywa nazywane również najmniejszym σ-ciałem w X zawierającym rodzinę R.
Definicja 9.5 (zbiory borelowskie) Zbiorami borelowskimi względem danej przestrzeni
metrycznej X nazywamy zbiory należące do σ-ciała w X generowanego przez rodzinę O(X) — wszystkich zbiorów otwartych w X. Rodzinę wszystkich zbiorów borelowskich względem X oznaczamy B(X).
9.1 Miara
Definicja 9.6 Niech (X, M) - przestrzeń mierzalna. Miarą na σ-ciele M nazywamy funkcję µ : M 7−→ ¯R+ (czyli funkcję, która każdemu zbiorowi A z σ-ciała M przyporządkowuje liczbę nie- ujemną µ(A) — skończoną lub równą +∞) spełniającą dwa warunki:
1o µ(∅) = 0 (miara zbioru pustego równa się 0);
2o µ (Sn∈NAn) = Pn∈Nµ(An) dla każdego ciągu zbiorów An∈ M parami rozłącznych (miara sumy ciągu zbiorów parami rozłącznych równa się sumie ich miar).
Własność 2o nazywamy przeliczalną addytywnością funkcji zbioru µ .
Jeśli µ jest miarą na σ-ciele M w X, to trójkę (X, M, µ) nazywamy przestrzenią z miarą.
Jeśli A ∈ M i µ(A) = 0 to mówimy, że zbiór A jest miary µ zero.
Jeśli A ∈ M i µ(A) < +∞ to mówimy, że zbiór A jest miary µ skończonej.
Miara µ na σ-ciele M w X nazywa się:
• skończona, jeśli µ(X) < +∞;
• unormowana lub probabilistyczna, jeśli µ(X) = 1;
• półskończona lub σ-skończona, jeśli przestrzeń X daje się przedstawić w postaci sumy prze- liczalnej rodziny zbiorów miary µ skończonej;
• zupełna, jeśli z warunku A ⊂ B, B ∈ M, µ(B) = 0 wynika, że A ∈ M (tzn. każdy podzbiór zbioru miary zero należy do M).
Stwierdzenie 9.7 Niech µ będzie miarą na σ-ciele M. Wówczas:
(i) jeśli J jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, oraz {Aj: j ∈ J } - rodziną zbiorów parami rozłącznych należących do M, to
µ
[
j∈J
Aj
=X
j∈J
µ(Aj);
(ii) jeśli zbiór A jest miary µ skończonej, A ⊂ B, B ∈ M, to µ(B \ A) = µ(B) − µ(A);
(iii) jeśli A ⊂ B (A, B ∈ M), to µ(A)6 µ(B) (tzw. monotoniczność funkcji zbioru µ.)
(iv) jeśli J jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, oraz {Aj: j ∈ J } - rodziną zbiorów należących do M, to
µ
[
j∈J
Aj
6 X
j∈J
µ(Aj);
(v) suma przeliczalnej rodziny zbiorów miary µ zero jest zbiorem miary µ zero;
(vi) jeśli An% A, (AnM), to µ(An) % µ(A);
(vii) jeśli An & A, (AnM), to µ(An) & µ(A), przy dodatkowym założeniu, że zbiór A1 jest miary µ skończonej;
9.2 Miara Lebesgue’a
Definicja 9.8 Przedziałem w Rk nazywamy zbiór P ⊂ Rk postaci:
P = P1× . . . × Pk
gdzie Pi są przedziałami jednowymiarowymi. Objętością przedziału k- wymiarowego nazywamy ilo- czyn długości przedziałów jednowymiarowych określających ten przedział:
|P | = |P1| · . . . · |Pk|.
Definicja 9.9 Mówimy, że rodzina przedziałów {Pj}j∈J jest pokryciem zbioru A jeśli A ⊂Sj∈JPj. Definicja 9.10 (k-wymiarowa miara zewnętrzna Lebesgue’a)
k-wymiarową miarą zewnętrzną Lebesgue’a zbioru A ⊂ Rk określamy:
lk(A) = inf
X
n∈N
|Pn| : Pn− przedziały w Rk , A ⊂ [
n∈N
Pn
. Twierdzenie 9.11 Powyżej określona funkcja lk jest miarą zewnętrzną.
Twierdzenie 9.12 Miara zewnętrzna Lebesgue’a dowolnego przedziału k-wymiarowego równa się jego objętości.
Zbiory o mierze zewnętrznej Lebesgue’a równej zero nazywamy zbiorami miary zero.
Przez L(Rk) oznaczamy σ-ciało w przestrzeni Rk generowane przez rodzinę wszystkich k-wymiarowych przedziałów i rodzinę wszystkich podzbiorów Rk miary zero.
σ-ciało L(Rk) nazywamy klasą podzbiorów przestrzeni Rk mierzalnych w sensie Lebesgue’a.
Twierdzenie 9.13 a) Wszystkie podzbiory miary zero przestrzeni Rk oraz wszystkie jej podzbiory borelowskie są mierzalne (tzn. należą do L(Rk));
b) lk jest miarą na σ-ciele L(Rk);
c) miara lk jest zupełna i σ-skończona.
Twierdzenie 9.14 Iloczyn kartezjański zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym.
10 Funkcje mierzalne
Przez ¯R będziemy oznaczali zbiór liczb rzeczywistych uzupełniony o dwa elementy: −∞, +∞.
Przyjmujemy, że przedziały (a, +∞ >, < −∞, a), a ∈ R są zbiorami otwartymi w ¯R.
Definicja 10.1 (funkcja mierzalna) Niech (X, M) - przestrzeń mierzalna. Funkcję f : X 7−→ ¯R nazywamy mierzalną względem σ-ciała M (lub krótko M-mierzalną), jeśli f−1(G) ∈ M dla każdego zbioru G otwartego w ¯R.
Twierdzenie 10.2 Jeśli A ∈ M oraz f : A → ¯R, to następujące warunki są równoważne:
a) funkcja f jest M-mierzalna;
b) dla każdego przedziału P postaci P =< −∞, a), a ∈ R zachodzi:
f−1(P ) ∈ M; (*)
c) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P =< −∞, a >, a ∈ R;
d) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P = (a, +∞ >, a ∈ R;
e) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P =< a, +∞ >, a ∈ R.
Twierdzenie 10.3 Niech f : X → ¯R - M - mierzalna, g : R →¯ R - ciągła. Wtedy złożenie g ◦ f¯ jest M - mierzalne.
Stwierdzenie 10.4 Jeśli funkcja f : A → ¯R jest M-mierzalna, to ∀a∈ ¯Rzbiory {x ∈ X : f (x) = a}, {x ∈ X : f (x) 6= a} są mierzalne.
Twierdzenie 10.5 Jeśli funkcje f, g : A → ¯R są M-mierzalne oraz suma f + g jest wykonalna (tzn. dla żadnego x ∈ A liczby f (x) i g(x) nie są jednocześnie nieskończonościami różnych znaków), to jest ona funkcją mierzalną. Podobnie dla funkcji f − g, f · g, max{f, g}, min{f, g}.
Definicja 10.6 Częścią nieujemną funkcji f nazywamy funkcję f+= max{f, 0}, a częścią niedo- datnią f−= max{−f, 0}.
Stwierdzenie 10.7 Następujące warunki są równoważne:
(i) f jest mierzalna;
(ii) f+ i f− są mierzalne;
(iii) |f | i jedna z funkcji f+, f− jest mierzalna.
Stwierdzenie 10.8 Niech (fn)n∈N będzie ciągiem funkcji M-mierzalnych o wartościach w ¯R okre- ślonych na przestrzeni X. Wtedy zbiór A = {x ∈ X : lim
n→∞fn(x)istnieje} jest mierzalny i granica
n→∞lim fn jest funkcją mierzalną.
10.1 Konstrukcja całki Lebesgue’a
Uwaga. Mówiąc „funkcja nieujemna” mamy na myśli funkcję ze zbioru X ⊂ R o wartościach w ¯R+. Definicja 10.9 Funkcją charakterystyczną zbioru A ⊂ X nazywamy funkcję χA: X → R określo- ną wzorem:
χA(x) =
( 1 dla x ∈ A 0 dla x /∈ A
Definicja 10.10 Funkcją prostą nazywamy funkcję o skończonym zbiorze wartości.
Uwaga. Każdą funkcję prostą można przedstawić w następującej postaci:
f =
n
X
i=1
aiχAi, gdzie Ai = {x ∈ X : f (x) = ai}
Twierdzenie 10.11 Jeśli f jest nieujemną funkcją mierzalną, to istnieje niemalejący ciąg fn
funkcji prostych nieujemnych i mierzalnych, takich że ∀x∈X lim
n→∞fn(x) = f (x).
Definicja 10.12 Niech fn=Pni=1aiχAi - nieujemna funkcja prosta mierzalna określona na zbiorze X. Całką funkcji f względem miary µ nazywamy liczbę (skończoną lub nie):
Z
X
f (x)dµ =
n
X
i=1
aiµ(Ai).
Definicja 10.13 Niech f -nieujemna, mierzalna funkcja, fn - ciąg nieujemnych mierzalnych funk- cji prostych zbieżnych punktowo do f . Całką na zbiorze X funkcji f względem miary µ nazywamy liczbę:
Z
X
f (x)dµ(x) = lim
n→∞
Z
X
fn(x)dµ(x).
Definicja 10.14 Niech f - funkcja mierzalna. Jeśli przynajmniej jedna z wielkości:
Z
X
f+(x)dµ(x);
Z
X
f−(x)dµ(x) jest skończona, to całką funkcji f względem miary µ nazywamy:
Z
X
f (x)dµ(x) =
Z
X
f+(x)dµ(x) −
Z
X
f−(x)dµ(x).
Definicja 10.15 Funkcję mierzalną f nazywamy całkowalną w sensie Lebesgue’a na zbiorze A jeśli:
Z
A
f (x)dµ(x) jest skończona.
Definicja 10.16 Niech A ⊂ X. Całkę na mierzalnym zbiorze A ⊂ X funkcji f względem miary µ definiujemy:
Z
A
f (x)dµ(x) =
Z
X
f (x)χA(x)dµ(x)
11 Własności całki Lebesgue’a
Definicja 11.1 Niech (X, µ) - przestrzeń mierzalna. Powiemy, że pewien warunek zachodzi µ - prawie wszędzie jeśli zachodzi on wszędzie na zbiorze X poza zbiorem miary µ 0.
Stwierdzenie 11.2 Całka funkcji mierzalnej po zbiorze miary zero jest równa 0.
Stwierdzenie 11.3 Jeśli A ∩ B = ∅, to:
Z
A∪B
f (x)dµ(x) =
Z
A
f (x)dµ(x) +
Z
B
f (x)dµ(x), tzn. jeśli obie strony istnieją to są równe.
Stwierdzenie 11.4 Jeśli f = 0 µ - p.w. to dla każdego zbioru mierzalnego A zachodzi:
Z
A
f (x)dµ(x) = 0.
Stwierdzenie 11.5 Jeśli f = g µ - p.w., to dla każdego zbioru mierzalnego A zachodzi:
Z
A
f (x)dµ(x) =
Z
A
g(x)dµ(x).
Stwierdzenie 11.6 Jeśli f, g - całkowalne, f 6 g µ-p.w. to
Z
Af (x)dµ(x) 6
Z
A
g(x)dµ(x).
Stwierdzenie 11.7 Funkcja mierzalna f jest całkowalna na A wtedy i tylko wtedy gdy |f | jest całkowalna na A. Ponadto zachodzi:
Z
A
f (x)dµ(x)
6
Z
A
|f (x)|dµ(x).
Stwierdzenie 11.8 Jeśli f funkcja mierzalna, oraz istnieje funkcja g całkowalna na A taka, że
|f | 6 g µ - p.w, to f jest całkowalna na A.
Stwierdzenie 11.9 Jeśli f, g -całkowalne to:
∀a,b∈R
Z
A
(af (x) + bf (x))dµ(x) = a
Z
A
f (x)dµ(x) + b
Z
A
g(x)dµ(x).
Twierdzenie 11.10 (Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej) Niech fn oraz f — funkcje mierzalne. Jeśli 06 fn % f to :
n→∞lim
Z
A
fn(x)dµ(x) =
Z
A
f (x)dµ(x).
Uwaga. Z tego twierdzenia najczęściej korzystamy chcąc wykazać rozbieżność całki granicznej.
Twierdzenie 11.11 (Lebesgue’a o ograniczonej zbieżności) Jeśli fn, f - funkcje mierzalne, limn→∞fn= f (µ - p.w. na A) oraz istnieje g - całkowalna, taka że |fn| 6 g (µ p.w. na A), to:
n→∞lim
Z
A
fn(x)dµ(x) =
Z
A
f (x)dµ(x), tzn. obie całki istnieją i są sobie równe.
Twierdzenie 11.12 Niech f będzie funkcją ograniczoną na [a, b]. Jeśli f jest całkowalna w sensie Riemanna na [a, b], to f jest mierzalna i całkowalna w sensie Lebesgue’a na [a, b], oraz
Z b a
f (x)dx =
Z
[a,b]
f (x)dl1(x).
Uwaga. Czyli całka Lebesgue’a jest „ulepszeniem” całki Riemanna.
