kołowej. Obliczyć zmianę częstotliwości krąŜenia elektronu po umieszczeniu atomu wodoru w polu magnetycznym o wektorze indukcji B prostopadłym do płaszczyzny orbity elektronu.

1. Według teorii Bohra elektron w atomie wodoru krąŜy wokół jądra atomowego po orbicie

kołowej. Obliczyć zmianę częstotliwości krąŜenia elektronu po umieszczeniu atomu wodoru w polu magnetycznym o wektorze indukcji B prostopadłym do płaszczyzny orbity elektronu.

Odpowied ź : m eB ν π

= 4

∆

2. Przez miedzianą płytkę o grubości a = 0,1mm i szerokości b = 20mm płynie prąd o natęŜeniu I = 5A. Płytkę umieszczono w polu magnetycznym, którego wektor indukcji B = 2T jest prostopadły do płaszczyzny płytki. Obliczyć:

a. natęŜenie pola elektrycznego wytworzonego w płytce w kierunku prostopadłym do kierunku przepływu prądu,

b. stosunek natęŜenie pola elektrycznego wytworzonego w płytce w kierunku prostopadłym do kierunku przepływu prądu do natęŜenia pola elektrycznego wzdłuŜ kierunku przepływu prądu.

Koncentracja elektronów w miedzi wynosi n = 1,1·10

²⁹

/m

³

, oporność właściwa miedzi wynosi ρ ^=

1,72·10

^-8

Ω m. Ładunek elementarny e = 1,6 10

^-19

C.

Odpowied ź :

a. V m

neab

E = IB = 2 , 8 ⋅ 10

⁻⁴

/ ^b. = = 6 , 6 ⋅ 10

⁻³

ρ

ne B E E

x y

3. Przez długi przewód cylindryczny o promieniu R płynie prąd elektryczny z gęstością

powierzchniową 



 



 −

= R

j r

j

₀

1 , gdzie r - odległość od osi przewodu. Obliczyć wartość wektora indukcji pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz przewodu.

Wskazówka. Zastosowa ć metodę Ampere’a.

Odpowied ź :

r < R wewnątrz przewodu 



 



 −

⋅

= R

r r r j

B 3

1 2 ) 2

( µ

^{0 0}

r = R na powierzchni przewodu

R R I R R j

B π

µ µ

2 ) ( ) 6

( =

^{0 0}

=

⁰

r > R na zewnątrz przewodu

r R I R

r j

B π

µ µ

2 ) ( ) 6

(

⁰

2 0

0

=

= dla r R

4

= 3 ( )

8 9 16

3

0 0

max

j R B R

B = µ =

4. Bardzo długi, cienki przewód prostoliniowy zgięto pod kątem α ^. Zakładając, Ŝe przez przewód płynie stały prąd o natęŜeniu I wyznaczyć wektor indukcji pola magnetycznego w odległości x od wierzchołka kąta α ^, na prostej prostopadłej do płaszczyzny przewodu w punkcie zgięcia przewodu.

Odpowied ź .

Na pierwszym rysunku wektory B punkcie połoŜonym na osi OX zostały zrzutowane na płaszczyznę YZ, w której leŜy przewód

[ ^{0 , sin , cos 1} ]

4

0 2

1

+ = − −

= α α

π µ

x B I

B B

r r r

( ^α )

π

µ 2 1 cos 4

0

−

= x B I

r

dla α = 180

^o

(przewód wyprostowany) otrzymujemy [ ^{0 , 0 , 1} ]

2

0

−

= x B I

π µ r

.

W takim przypadku wynik ten moŜna bardzo łatwo otrzymać z prawa Ampere’a.

α

y

z

1

2

I B

B

B

_1z

1y 1

α

α ^y

x

1

2

B

₂

z

I

.

5. W dwóch równoległych, cienkich przewodach prostoliniowych o długości l płyną zgodne prądy o

natęŜeniach równych I . Odległość między przewodami jest równa a . Obliczyć siłę, jaką jeden przewód działa na drugi.

Odpowied ź .

( ^{a l a} )

a

F =

⁰

I

^{2 2}

+

²

− 2 π

µ

6. Dwa elektrony poruszają się z nierelatywitycznymi prędkościami

v

₁

_i v

₂

w laboratoryjnym układzie odniesienia. Obliczyć siłę, jaką pierwszy elektron działa z odległości r na elektron drugi, w sytuacji przedstawionej na rysunku.

Odpowied ź .

2 0 2 2

2 1 2

0 2

sin 4

4 1 r

e c

r F e

ε α π

ε

π ^{+ ≈}

= v v

7. W polu magnetycznym wytworzonym wokół bardzo długiego, cienkiego przewodu prostoliniowego, w którym płynie prąd o natęŜeniu I , porusza się ze stałą prędkością v r metalowy pręt o długości l . Prędkość jest prostopadła do pręta. Obliczyć stosunek wartości napięcia między końcami pręta dla dwóch sposobów przesuwania pręta:

a. wektor v r

jest równoległy do przewodu b. wektor v r

jest prostopadły do przewodu Skomentować otrzymany wynik.

Odpowied ź .

a. ^U

¹

^{= µ} ₂

⁰

_π ^{I v ln} ( ^{1 + l} _d ) ^{= const}

b. d t

l U Iv

+ v

⋅

= µ π 2

0 2

W pierwszym przypadku napięcie ma stałą wartość (pręt porusza się tak, Ŝe średnia wartość wektora indukcji magnetycznej jest stała), natomiast w drugim przypadku napięcie maleje w miarę oddalania się od długiego przewodu(pręt przemieszcza się w obszary coraz słabszego pola).

Zatem stosunek napięć jest zaleŜny od czasu.

 

 



 +

= +

d l l

vt d U

U ln 1

2 1

8. W odległości a od nieskończenie długiego przewodu prostoliniowego w którym płynie prąd o natęŜeniu I umieszczono kwadratowy obwód o boku a i oporności R . Obliczyć:

a. strumień pola magnetycznego przez powierzchnię obwodu.

b. ładunek jaki przepłynie w obwodzie po wyłączeniu prądu I .

c. energię przekazaną do obwodu, przy załoŜeniu, Ŝe zanik prądu I ma charakter eksponencjalny, z czasem relaksacji τ ^.

Odpowied ź .

a.

a I

y dy dx dx y x y I ^a x

a a a

a a

B = ⋅

















∫ 















∫ + ∫

⋅ +

=

Φ

π

µ π

µ

19 2 , 4 1

2 ⁰

2 2 2

2 2 0

b. R

dI aI R Q a

I

π

µ π

µ

19 2 , 2 1

19 ,

1

⁰

0

∫ −

0

⋅ =

=

Warto zauwaŜyć, Ŝe wartość tego ładunku jest niezaleŜna od rodzaju funkcji opisującej zanik prądu.

υ υ

α

1

2

r

1 2

I I

a a

a a

dS = dx dy y

x

x y

α

c.

^{0 0 2}

19 2 , 2 1

1 



 



= 

π µ τ

a I W R

9. Na długich poziomych szynach spiętych opornikiem o oporności R leŜy pręt o masie m i długości l . Wektor indukcji

B

r

stałego, jednorodnego pola magnetycznego jest skierowany przeciwnie do wektora natęŜenia pola grawitacyjnego

gr

. Obliczyć moc potrzebną do przesuwania pręta ze stałą prędkością v r

. Zaniedbać oporność szyn i pręta oraz tarcie pręta o szyny.

Odpowied ź :

R l I B R P

2 2 2

2

v

=

=

10. Z dwóch odcinków cienkiego drutu o tej samej długości wykonano odpowiednio a) jeden zwój kołowy, b) ściśle do siebie przylegające dwa zwoje kołowe. Porównać wartość natęŜenia pola magnetycznego w przypadkach a) i b) (w środku zwojów), przy załoŜeniu, Ŝe przez oba elementy przepływa prąd stały o takim samym natęŜeniu.

11. Przez obwód w kształcie łuku o promieniu krzywizny R0, opartym na kącie środkowym a.

Przez łuk przepływa prąd stały o natęŜeniu I. Wyznaczyć wektor indukcji w środku krzywizny tego łuku.

12. Przez zwój kołowy o promieniu R0 przepływa prąd stały o natęŜeniu I. Zwój ten zgięto pod kątem prostym wzdłuŜ jednej ze średnic. Wyznaczyć wektor H we wspólnym środku krzywizny obu półzwojów.

13. dwa płaskie zwoje kołowe o promieniach a=R0 i b=2R0 leŜą w jednej płaszczyźnie i mają wspólny środek. W obwodzie o mniejszym promieniu płynie prąd stały o natęŜeniu I. Określić wartość i kierunek prądu w zwoju o większym promieniu, jeŜeli natęŜenie pola magnetycznego w środku krzywizny obu zwojów wynosi 0.

14. Ładunek ujemny rozmieszczono równomiernie z gęstością powierzchniową s na cienkiej półkulistej czaszy dielektrycznej o promieniu R0. Czasza obraca się wokół osi przechodzącej przez środek krzywizny czaszy i prostopadłej do jej podstawy z prędkością kątową w. Obliczyć wektor natęŜenia pola magnetycznego w środku krzywizny czaszy.

15. Prze nieskończenie długi, cienki i płaski pasek przewodnika o szerokości a (w kierunku osi X) płynie prąd stały o natęŜeniu I. Obliczyć wektor H w dowolnym punkcie osi y, przy załoŜeniu, Ŝe pasek leŜy w płaszczyźnie XZ, a kierunek przepływu prądu jest zgodny ze zwrotem ozi Z.

16. Na powierzchni kuli dielektrycznej o promieniu R0 umieszczono ładunek dodatni Q. Kula obraca się z prędkością kątową w wokół osi przechodzącej przez środek kuli. Wyznaczyć moment magnetyczny kuli.

17. W jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B w płaszczyźnie prostopadłej do linii pola wiruje ze stałą prędkością kątową w prostoliniowy cienki pręt o długości L. Oś obrotu znajduje się na jednym z końców pręta. Obliczyć SEM indukowaną w pręcie.

18. Prostoliniowy cylindryczny przewód o stałym przekroju poprzecznym wykonano z jednorodnego przewodzącego materiału. Średnica przewodu wynosi d, a jego długość L. Obliczyć współczynnik indukcyjności związany z polem magnetycznym istniejącym wewnątrz przewodu.

19. W obwodzie RLC zachodzą elektromagnetyczne drgania wymuszone pod wpływem napięcia

( ) ^{t U t}

U =

0

^sin ω . Obliczyć średnią moc pochłanianą przez obwód w ciągu jednego okresu drgań.

Dla jakiej wartości częstości wymuszania wartość tej mocy jest największa?

Odpowied ź : ( ) (

^{02 2}

)

^{2 2 2}

2 2

2 0

2 ω ω 4 β ω

ω ω

+

= − L

P U , ( )

R P U

P 2

2 0 0

max

= ω =