1. Zmienne losowe X 1 , X 2 , . . . , są niezależne i P (X k = k) = P (X k = −k) = 12 . Niech s 2n =

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa III rok matematyki

praca domowa 6 - semestr letni 2015/2016 24 maja 2016

1. Zmienne losowe X 1 , X ₂ , . . . , są niezależne i P (X _k = k) = P (X _k = −k) = ¹ ₂ . Niech s ² _n =

n

P

k=1

D ² (X _k ). Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu

X 1 + X 2 + . . . + X n

s _n .

2. Dane są ciągi {X n } i {Y n } niezależnych zmiennych losowych, przy czym P (X n = _n ¹

) = P (X _n = − _n ¹

) = p, P (X _n = 0) = 1 − 2p, 0 < p < ¹ ₂ , ¹ ₃ < α ≤ ¹ ₂ , P (Y _n = √

n) = P (Y _n = − √

n) = ¹ ₂ . Dowieść, że każdy z tych ciągów spełnia CTG.

3. Podać przykład zmiennych losowych X n , Y n , X, Y takich, że X n

→ X, Y D n

→ Y , ale nieprawda, że X D n +Y n

→ X +Y . D

4. Udowodnić, że jeśli n-wymiarowa zmienna losowa (X 1 , X 2 , . . . , X n ) ma rozkład ciągły, to wszystkie rozkłady brzegowe k-wymiarowych zmiennych losowych (X i

, X i

, . . . , X i

) (k = 1, 2, . . . , n − 1; 1 ≤ i 1 < i 2 < . . . , i k ≤ n) są ciągłe.

5. Podać przykład, że znajomość rozkładów brzegowych nie wystarcza do odtworzenia pierwotnego rozkładu.

uwaga:

• za zadania można otrzymać maksymalnie 1 punkt;

• przewidziana jest punktacja: 0, ¹ ₂ lub 1pkt;

• zadania należy rozwiązywać w podzespołach dwuosobowych;

termin oddania rozwiązań: 07. 06. 2015.