Relacja R1 R Rjest okre´slona wzorem: xR1y , x = 2y a) Znale´z´c jakikolwiek element który nie jest w relacji R1 z liczb ¾a 2

Zadania powtórzeniowe do drugiego kolokwium z podstaw logiki

Zadanie 1. Niech dla dowolnego n 2 N A_n= 1

n; 3 +1 n .

Znale´z´c

10S

n=8

An, ¹S

n=1

An oraz ¹T

n=10

An.

Zadanie 2. Niech dla dowolnego n 2 N A_n= h n; 2 + ni . Znale´z´c ¹S

n=1

A_n,

12T

n=10

A_n oraz ¹T

n=1

A_n.

Zadanie 3. Relacja R₁ R Rjest okre´slona wzorem:

xR1y , x = 2y

a) Znale´z´c jakikolwiek element który nie jest w relacji R1 z liczb ¾a 2.

b) Sprawdzi´c czy relacja R1 jest relacj ¾a przechodni ¾a.

c) Czy jest to relacja cz ¾e´sciowego porz ¾adku?

Zadanie 4. Niech X oznacza zbiór wszystkich ci ¾agów liczbowych. Relacja R₂ X X jest okre´slona wzorem:

(an) R2(bn) , (a¹= b1^ a²= b2)

a) Znale´z´c dwa ró·zne ci ¾agi, które s ¾a w relacji R₂z ci ¾agiem z÷o·zonym z samych jedynek.

b) Rozstrzygn ¾a´c, czy R2 jest relacj ¾a równowa·zno´sci.

c) Je´sli R2jest relacj ¾a równowa·zno´sci, znale´z´c klas ¾e abstrakcji ci ¾agu (2; 4; 6; :::) z÷o·zonego z liczb parzystych.

Zadanie 5. Funkcja f : R ! R jest okre´slona wzorem f (x) = 4 x² dla x6 2 2x 4 dla x > 2 . a) Znale´z´c obraz przedzia÷u (1; 3) wzgl ¾edem funkcji f .

b) Znale´z´c przeciwobraz przedzia÷u h0; 1i wzgl ¾edem funkcji f . c) Czy funkcja f jest ró·znowarto´sciowa? Uzasadni´c odpowied´z.

d) Czy f jest funkcj ¾a "na"? Uzasadni´c odpowied´z.

Zadanie 6. Funkcja g : R ! R jest okre´slona wzorem g (x) = x + 2 dla x < 0 4 3x dla x> 0 . 1

a) Znale´z´c obraz przedzia÷u h 1; 1i wzgl ¾edem funkcji g.

b) Znale´z´c przeciwobraz przedzia÷u (1; 5) wzgl ¾edem funkcji g.

c) Czy funkcja g jest ró·znowarto´sciowa? Uzasadni´c odpowied´z.

d) Czy g jest funkcj ¾a "na"? Uzasadni´c odpowied´z.

Zadanie 7. Czy funkcja f : R ! R okre´slona wzorem f (x) = tg(x) + 5 jest odwracalna? Uzasadni´c odpowied´z. Zapisa´c wzór na z÷o·zenie f f .

Zadanie 8. Czy funkcja f : (0; 1) ! (8; 10) okre´slona wzorem f (x) = 2x + 8 jest odwracalna? Czy zbiory (0; 1) i (8; 10) s ¾a równoliczne? Uzasadni´c odpowiedzi.

Odpowiedzi:

Zadanie 1.

10S

n=8

An = ₁₀¹; 3¹₈ , S¹

n=1

An= (0; 4), ¹T

n=10

An= ₁₀¹; 3 . Zadanie 2. ¹S

n=1

An = R, T12 n=10

An = A10 = h 10; 12i, ¹T

n=1

An = A1 = h 1; 3i.

Zadanie 3. a) 3, b) nie jest, np. 4R₁2 i 2R₁1, ale 4R₁1, c) nie, bo nie jest przechodnia

Zadanie 4. a) (1; 1; 2; 3; 4; :::) i (1; 1; 0; 0; 0; :::) b) tak, bo jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, c) wszystkie ci ¾agi których dwa pierwsze wyrazy to 2 i 4.

Zadanie 5. a) f ((1; 3)) = h0; 3) b) f ¹(h0; 1i) = 2; p

3 [ p 3;⁵₂ , c) nie, bo np. f ( 2) = f (2) = 0, d) tak, bo f (( 1; 0)) = ( 1; 4) oraz f ((2; 1)) = (0; 1), czyli f (R) = R.

Zadanie 6. a) g (h 1; 1i) = h1; 2) [ h1; 4i = h1; 4i, b) g ¹((1; 5)) = ( 1; 1), c) nie, bo np. g ( 1) = g (1) = 1, d) nie, bo nie s ¾a osi ¾agane liczby wi ¾eksze niz 4.

Zadanie 7. Nie, bo funkcja f jako okresowa nie jest róznowarto´sciowa.

f f (x) = tg (tg (x) + 5) + 5.

Zadanie 8. Tak, bo jest ró·znowarto´sciowa (jako rosnaca) i "na". Tak, bo istnieje funkcja róznowarto´sciowa przekszta÷cajaca (0; 1) na (8; 10).

2