Rachunek Prawdopodobie´nstwa,
Lista zada´n #7: Zmienne losowe absolutnie ci¸ag le
Zad.1 Niech X b¸edzie zmienn¸a losow¸a o g¸esto´sci f (t) = 0; t /∈ [−2, 2]
a(4 − t2); t ∈ [−2, 2].
a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres f .
b) Wyznacz dystrybuant¸e zmiennej X i narysuj jej wykres.
c) Oblicz E(X), V ar(X).
d) Wyznacz E(3X + 2)2.
e) Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze X > 1 lub X < −1.
Zad.2 Dobierz sta le A i B tak, aby funkcja okre´slona dla x ∈ R wzorem F (x) = A + Barctgx, by la dystrybuant¸a zmiennej losowej X. Wyznacz g¸esto´s´c X.
Zad.3 Wiedz¸ac, ˙ze X ma rozk lad wyk ladniczy z parametrem λ > 0 i P(X < 2) = 34, wyznacz λ.
Zad.4 Znale´z´c warto´s´c oczekiwan¸a pola prostok¸ata, kt´orego obw´od jest r´owny 20, a jeden bok jest zmienn¸a losow¸a X o rozk ladzie jednostajnym na [1, 10].
Zad.5 Wyznaczy´c rozk lad zmiennej losowej Y = 3X−5, je˙zeli X ma rozk lad wyk ladniczy z parametrem α.
Zad.6 Zmienna losowa X ma g¸esto´s´c f (x) = 323(4 − x2)1(−2,2)(x). Wyznacz g¸esto´s´c zmiennej Y = −2X + 4.
Zad.7 Zmienna losowa X ma rozk lad asolutnie ci¸ag ly o g¸esto´sci f (x). Wyznaczy´c g¸esto´s´c zmiennej Y = X2.
