Modele liniowe statystyki matematycznej, Colloquium 13 czerwca 2011
Zadania teoretyczne
1. Przedstaw ogólny model liniowy Gaussa-Markowa wraz ze wszystkimi założeniami. Opisz, które wielkości są w nim losowe, a które deterministyczne. Zaznacz, które spośród deter- ministycznych wielkości uznajemy za znane, a które są nieznanymi parametrami, które chcemy estymować. Podaj estymatory tychże wielkości otrzymane metodą najmniejszych kwadratów. Podaj jawny wzór na nieobciążony estymator wspólnej wariancji, wyrażając go w terminach macierzy planu i wektora obserwacji.
2. W oparciu o założenia modelu oblicz wartości oczekiwane i macierze kowariancji na- stępujących wektorów losowych (przy standardowych oznaczeniach): ˆβ, X ˆβ, Y − X ˆβ.
Zakładamy odwracalność pewnej wiadomej macierzy.
3. Zdefiniuj współczynnik determinacji R2 w modelu liniowym, w którym 1 ∈ Lin(X) (mo- żesz posłużyć się opisem geometrycznym). Przedstaw jego interpretację.
Niech X i eX będą macierzami planu, przy czym 1 ∈ Lin( eX) ≤ Lin(X). Znajdź za- leżność współczynnika determinacji w modelu porównawczym (X, eX) i współczynników determinacji w poszczególnych modelach (X, 1), ( eX, 1).
4. Przedstaw model jednoczynnikowej analizy wariancji. Wypisz jego istotne założenia.
Niech spełniony będzie model jednoczynnikowej analizy wariancji, w którym wyróżniono k grup liczących odpowiednio n1, n2, ..., nk obserwacji. Wyznacz przedział ufności na po- ziomie ufności 1 − α dla wartości oczekiwanej w i-tej grupie, i = 1, 2, ..., k.
Zadania praktyczne, dane w pliku colloquium.xls
1. (a) Wyznacz metodą najmniejszych kwadratów estymatory parametrów w modelu Yi = β0 + β1xi1+ β2xi2 + β3xi3+ εi. Podaj nieobciążony estymator wariancji Yi. Podaj estymatory wariancji poszczególnych estymatorów parametrów.
(b) Podaj wartość statystyki testowej i wyznacz p-wartość testu hipotezy H: β1 = 0, β2 = β3 przy założeniu, że Y ∼ N (X, σ2I).
2. Jednoczynnikowa analiza wariancji.
(a) Zweryfikuj za pomocą testu Levene’a hipotezę o homoskedastyczności danych. Podaj wartość statystyki testowej, jej rozkład przy testowanej hipotezie i p-wartość testu.
Zinterpretuj wynik.
(b) Przeprowadź jednoczynnikową analizę wariancji, formułując hipotezę i kontrhipo- tezę. Podaj wartość statystyki testowej, jej rozkład przy testowanej hipotezie i p- wartość testu. Zinterpretuj wynik.
(c) Wysuń hipotezę o tym, ile faktycznie jest grup różniących się pod względem średniej.
Zweryfikuj postawioną hipotezę przy użyciu metody porównań zaplanowanych. Opisz pokrótce swoje postępowanie, podaj wartość statystyki testowej, jej rozkład przy testowanej hipotezie i p-wartość odpowiedniego testu. Zinterpretuj wynik.
