Dla macierzy danych X rozmiaru n × p obliczono: próbkowy wektor ±rednich ¯x i próbkow¡ macierz kowariancji S. Próbkow¡ odlegªo±ci¡ Mahalanobisa p-wymiarowych wektorów y i w nazywamy liczb¦

Statystyka wielowymiarowa - ¢wiczenia 5

Zadanie 11

Dla macierzy danych X rozmiaru n × p obliczono: próbkowy wektor ±rednich ¯x i próbkow¡ macierz kowariancji S. Próbkow¡ odlegªo±ci¡ Mahalanobisa p-wymiarowych wektorów y i w nazywamy liczb¦

d _S (y, w) = q

(y − w) ^T S ⁻¹ (y − w).

1. Poka», »e odlegªo±¢ Mahalanobisa jest odlegªo±ci¡ w sensie topologicznym,

2. Jaka jest interpretacja odlegªo±ci, gdy S jest macierz¡ przek¡tniow¡ i gdy jest macierz¡ jednostkow¡?

3. Poka», »e wiersze macierzy X (jaka jest ich interpretacja?) le»¡ na powierzchni sfery Mahalanobisa o ±rodku w punkcie ¯x i promieniu p(n − 1) p

Zadanie 12

p -wymiarowy rozkªad normalny X o warto±ci oczekiwanej µ ma macierz kowariancji postaci

Σ =

 Σ ₁₁ 0 0 Σ 22

 ,

gdzie Σ ii jest p i - wymiarow¡ macierz¡ kwadratow¡ dla (i=1,2).

1. Poka», »e macierze Σ ii s¡ symetryczne, nieosobliwe i dodatnio okre±lone, 2. Wektor X jest postaci

X =

 X 1

X ₂

 ,

gdzie X i s¡ p i -wymiarowymi niezale»nymi wektorami losowymi normalnymi o macierzach kowariancji Σ ii ,

3. Wyra¹ EX i za pomoc¡ warto±ci oczekiwanej µ oraz macierzy Σ ii . 4. Poka», »e

d ² _Σ (y, w) = d ² _Σ

(y 1 , w 1 ) + d ² _Σ

(y 2 , w 2 ) ,

gdzie y 1 , w 1 s¡ pierwszymi p 1 wspóªrz¦dnymi wektorów y i w, za± y 2 , w 2 s¡ kole- jnymi p 2 wspóªrz¦dnymi wektorów y i w.

1

Zadanie 13

p -wymiarowy rozkªad normalny X o warto±ci oczekiwanej µ ma macierz kowariancji Σ . Niech

X =

 X 1

X ₂

 , Σ =

 Σ 11 Σ 12

Σ ₂₁ Σ ₂₂

 ,

gdzie X i jest p i - wymiarowym wektorem, Σ ii jest p i - wymiarow¡ macierz¡ kwadratow¡

dla (i=1,2). Oznaczmy przez X 2.1 wektor losowy

X 2.1 = X 2 − Σ ₂₁ Σ ⁻¹ ₁₁ Σ 12 X 1

1. Poka», »e wektory X 1 , X 2 , X 2.1 maj¡ rozkªady normalne.

2. Oblicz ich warto±ci oczekiwane i macierze kowariancji.

3. Poka», »e wektory X 1 i X 2.1 s¡ niezale»ne.

2