ZASTOSOWANIE METODY RÓĩNIC SKOēCZONYCH W MODELU UĝREDNIONYM PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO W PERIODYCZNYM OĝRODKU DWUWARSTWOWYM

Acta Sci. Pol. Architectura 15 (2) 2016, 55–65

ZASTOSOWANIE METODY RÓĩNIC SKOēCZONYCH W MODELU UĝREDNIONYM PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO W PERIODYCZNYM OĝRODKU DWUWARSTWOWYM

Vazgen Bagdasaryan, Marek Chalecki

Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. Przedmiotem rozwaĪaĔ w niniejszej pracy są periodyczne kompozyty warstwowe. ZaáoĪono, Īe skáadniki kompozytów są jednorodne i izotropowe. W pracy skonstruowano model przewodnictwa cieplnego, w którym zamiast klasycznego równa- nia Fouriera o nieciągáych i skokowo zmiennych wspóáczynnikach wystĊpują równania o staáych wspóáczynnikach. W pracy przeanalizowano zagadnienia stacjonarne bez Ĩródeá ciepáa. Rozwiązanie numeryczne otrzymano, stosując metodĊ róĪnic skoĔczonych. Zbada- no wpáyw liczby komórek periodycznoĞci na dokáadnoĞü wyników otrzymanych metodą róĪnic skoĔczonych.

Sáowa kluczowe: kompozyty warstwowe, równanie Fouriera, uĞrednianie tolerancyjne, metoda róĪnic skoĔczonych

PRZEWODNICTWO CIEPLNE W WARSTWOWYCH KOMPOZYTACH PERIODYCZNYCH

Przedmiotem pracy są niejednorodne oĞrodki warstwowe, których skáadniki są jedno- rodne. Rozpatrywane oĞrodki mają strukturĊ, w której wydzieliü moĪna powtarzające siĊ elementy o wáasnoĞciach zmieniających siĊ periodycznie.

WáasnoĞci efektywne przewodników periodycznie warstwowych są wyznaczane me- todami homogenizacyjnymi. W celu rozwiązania zagadnienia przewodnictwa cieplnego w takich oĞrodkach zastosowano technikĊ uĞredniania tolerancyjnego. Podstawy tej me- tody moĪna znaleĨü w wielu monogra¿ ach [np. WoĨniak i Wierzbicki 2000, WoĨniak i in.

2008]. Zagadnienia dotyczące przewodzenia ciepáa równieĪ omawiane byáy w licznych Adres do korespondencji – Corresponding author: Vazgen Bagdasaryan, Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydziaá Budownictwa i InĪynierii ĝrodowiska, Zakáad Mechaniki, ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa, e-mail: vazgen_bagdasaryan@sggw.pl

© Copyright by Wydawnictwo SGGW, Warszawa 2016

pracach [np. Piwowarski 2006, Michalak i in. 2007, Jurczak 2011, Bagdasaryan i Na- górko 2013, Szlachetka i in. 2013]. Rozwiązanie zagadnienia dwuwymiarowego prze- wodzenia ciepáa w oĞrodku o funkcyjnej gradacji wáasnoĞci przy uĪyciu metody róĪnic skoĔczonych znaleĨü moĪna w pracy Radzikowskiej i Wirowskiego [2012].

Kon¿ guracją rozpatrywanych w pracy oĞrodków jest obszar. Ÿ = (0, L₁) × (0, L₂) ×

× (0, L₃). Przewodnik jest periodyczny w kierunku osi x₁, z elementem reprezentatyw- nym Λ ≡<0,λ> podzielonym na 2 czĊĞci o dáugoĞciach Ȝ_i, i = 1, 2, tak Īe Ȝ₁ + Ȝ₂ = Ȝ.

Przewodnik podzielony jest na n elementów reprezentatywnych, a wiĊc na 2n warstw.

Wprowadzono oznaczenia ¹ ₁ ¹ ₂ , ¹ ₁ ¹ ₂

2 2 2 2

i

i i

i i i i

λ λ λ λ

− − + −

§ · § ·

Λ ≡

¦

¦

dla i = 1, 3, 5, ..., 2n – 1 oraz 1 2 1 2

2 ,

2 2 2 2

i

i i

i i i i

λ ⁻ λ λ λ

§ · § ·

Λ ≡

¦

¦

Na rysunku 1 przedstawiono periodyczny przewodnik dwuwarstwowy.

x₁

λ1 λ2

L3

x3

x2

L₁

L2

Rys. 1. Periodyczny kompozyt dwuwarstwowy Fig. 1. Periodically strati¿ ed two-layered composite

ZaáoĪono, Īe przewodnik jest niejednorodny oraz Īe kaĪda warstwa jest jednorodna.

W przypadku przewodnika warstwowego wspóáczynniki tensora przewodnictwa cie- páa K, ciepáo wáaĞciwe c i gĊstoĞü masy ȡ są funkcjami periodycznymi o okresie Ȝ.

Dla oĞrodków izotropowych wspóáczynniki tensora przewodnictwa ciepáa przyjĊto jako K_kl = K, dla k = l oraz K_kl = 0, dla k z l, k, l = 1, 2, 3.

ZaáoĪono, Īe wáasnoĞci termiczne w oĞrodku zmieniają siĊ tylko w kierunku osi x₁. I tak na przykáad dla wspóáczynnika przewodnictwa cieplnego: K(x₁, x₂, x₃) = K(x₁) oraz

( )

1 1

1 0,

1 1 1 2

dla (0, )

( ) dla ( , )

K x

K x ^λ K x

λ λ λ λ

′ ∈

= ®­¯ ′′ ∈ +

WielkoĞci Kƍ i Ks i są staáe.

Dla pozostaáych wielkoĞci zachodzi analogiczna zaleĪnoĞü.

Oznaczono przez θ θ= ( , , , ), ( , , )x x x t_{1 2 3} x x x_{1 2 3} ∈ Ω ∈<, t t t_o,₁> temperaturĊ, a przez f = f(x₁, x₂, x₃, t) wydajnoĞü Ĩródeá ciepáa. Równanie przewodnictwa cieplnego rozpatry- wanych przewodników ma postaü:

,_ii

cρθ−Kθ = f (1)

Równanie przewodnictwa ciepáa (1) jest równaniem róĪniczkowym liniowym o zmie- niających siĊ skokowo wspóáczynnikach. Dla takiego opisu moĪna zbudowaü model prostszy, w którym wspóáczynniki bĊdą staáe.

UĝREDNIONY MODEL PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO PERIODYCZNYCH PRZEWODNIKÓW WARSTWOWYCH

Do modelowania zastosowano technikĊ uĞredniania tolerancyjnego [WoĨniak i Wierz- bicki 2000]. Zgodnie z tą techniką przyjĊto rozkáad temperatury w postaci:

1 2 3 1 2 3 1 1 2 3

( , , , )x x x t ( , , , )x x x t h x^A( ) ^A( , , , )x x x t

θ =ϑ + ⋅ψ (2)

gdzie, A = 1, 2, ..., M, ϑ jest temperaturą uĞrednioną, a ȥ^A są funkcjami nazwanymi À uk- tuacjami, opisującymi wpáyw niejednorodnoĞci na przewodnictwo ciepáa. Funkcje h^A są danymi Λ-periodycznymi, oscylującymi funkcjami ksztaátu. Funkcjami poszukiwanymi są ϑ oraz ȥ^A.

Równania modelu dla rozkáadu (2) byáy wyprowadzane w wielu pracach [np. WoĨ- niak i in. 2008, Bagdasaryan i Nagórko 2013] i mają postaü:

11 22 33 1 1

2 2 2

22 33 1 1 1

, , , , ,

( , , ) ( , ) , ,

c K K K Kh f

c h Kh K h Kh fh

ρ ϑ ϑ ϑ ϑ ψ

ρ ψ ψ ψ ψ ϑ

− − − − =

− + + + =



 (3)

gdzie dla dowolnej funkcji g

1 ( )

g | | g y dy

Λ

= Λ

³

W przypadku przewodnika dwuwarstwowego funkcjĊ ksztaátu zaáoĪono w postaci funkcji przedziaáami liniowej:

2

1 1

2 2

2 2

1 1 1

1 1

2

2

1 1

2 2

dla 0,

2

( ) dla ,

2 2 2

dla ,

2

x x

h x x x

x x

λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ λ

­− ∈< >

°°

=°°® − ∈< − >

°°

°− + ∈< − >

°¯

(5)

Na rysunku 2 przedstawiono wykresy przyjĊtych funkcji ksztaátu przy zaáoĪeniu:

Ȝ = 0,06 m, Ȝ₁ = 0,04 m, Ȝ₂ = 0,02 m.

0.02 0.04 0.06

0.03 0.02 0.01 0.01 0.02 0.03

Rys. 2. Wykres funkcji ksztaátu z zaznaczonymi granicami warstw Fig. 2. Graph of shape function with marked layer boundaries

W przypadku funkcji ksztaátu przyjĊtej w postaci (5) oraz periodycznego kompo- zytu dwuwarstwowego, dla którego wáasnoĞci termomechaniczne (ciepáo wáaĞciwie c, wspóáczynnik przewodnictwa cieplnego K, gĊstoĞü masy ȡ) oznaczono ogólnie ijƍ ijƎ odpowiednio w pierwszej oraz drugiej warstwie, wystĊpujące w równaniach wielkoĞci uĞrednione mają postaü:

( )

2 2

1 2 1 1 2

2 1

1 2

' '', , ' '', 1 ' '' ,

12 ' ''

( , )

h h

h

φ η φ η φ φ φ φ φ η φ η φ λ

φ φ φ

η η

= + = − = + ⋅

= + (6)

We wzorze (6): η₁ λ¹,η₂ λ²,η η_{1 2} 1.

λ λ

= = + =

MODEL ASYMPTOTYCZNY

JeĞli wykorzystując przejĞcie graniczne Ȝ ĺ 0, w równaniach (3) pominie siĊ wyrazy rzĊdu O(Ȝ²), a dodatkowo zaáoĪy siĊ brak Ĩródeá ciepáa, to ukáad równaĔ modelowych przyjmie nastĊpującą postaü:

11 22 33 1 1

2

1 1 1

, , , , , 0

( , ) , , 0

c K K K Kh

K h Kh

ρ ϑ ϑ ϑ ϑ ψ

ψ ϑ

− − − − =

+ =



(7)

Z równania (7)₂ wyznaczyü moĪna amplitudĊ À uktuacji w postaci:

1 2 1 1

, ,

( , ) Kh

ψ = − K h ϑ (8)

Po podstawieniu amplitudy À uktuacji do (7)₁ otrzymano znane równanie na tempera- turĊ uĞrednioną w postaci:

11 22 33 0

cρ ϑ^−Keffϑ ⁻ K ϑ ⁻ K ϑ ⁼ (9)

gdzie przez K^eff oznaczono efektywny wspóáczynnik przewodnictwa cieplnego:

2 1

2 1

, ( , )

eff Kh

K K

= − K h (10)

Równanie (9) przyjmuje postaü analogiczną do równania Fouriera (1), z tym Īe wy- stĊpują w nim uĞrednione staáe wspóáczynniki.

JeĞli do równania (2) wstawi siĊ wartoĞü À uktuacji (8), to otrzyma siĊ poszukiwaną temperaturĊ ș w postaci:

1

2 3 2 3 2 1 2 3

1

( , , , ) ( , , , ) ( ) , , ( , , , ) ( , )

x t x t h x Kh x t

θ ξ ξ =ϑ ξ ξ − K h ϑ ξ ξ (11)

Równania (7)–(11) przedstawiają model przewodnictwa cieplnego przewodników warstwowych uzyskany w ramach techniki uĞredniania tolerancyjnego.

PRZYKàAD ROZWIĄZANIA ZaáoĪenia

Niech przedmiotem rozwaĪaĔ bĊdzie dwuwarstwowy przewodnik o kon¿ guracji od- niesienia Ȇ = (0, L₁) × (0, L₂). ZaáoĪono, Īe skáada siĊ on z jednorodnych i izotropowych warstw równolegáych do osi. W przypadku dwuwymiarowego zagadnienia stacjonarnego przewodzenia ciepáa równanie (9) na temperaturĊ uĞrednioną ϑ przyjmuje postaü:

11 22

, , 0

Keffϑ + K ϑ = (12)

gdzie K^eff okreĞlono związkiem (10).

Równanie (12) moĪna zapisaü w postaci:

2

11 22

, , 0

ϑ +κ ϑ = (13)

gdzie ^{2 K}_eff κ = K

Warunki brzegowe przyjĊto w postaci:

1 1 2 2 1 2 1 2 2 2

( ,0)x ( , ) 0,x L (0, )x f x( ), ( , )L x f x( )

ϑ =ϑ = ϑ = ϑ = (14)

Metoda róĪnic skoĔczonych

Problem opisany równaniem (13) rozwiązano, stosując metodĊ róĪnic skoĔczonych.

Rozwiązania otrzymano dla przewodnika, w którym L₁ =1,2 m, L₂ = 1,0 m. Niech rozpa- trywany przewodnik bĊdzie záoĪony z dwu jednorodnych i izotropowych warstw – styro-

pianu _{' 0,042} ^W _{, 1 0,02 m}

K m K λ

§ = = ·

¨ ⋅ ¸

© ¹ oraz betonu komórkowego o klasie gĊstoĞci 600

2

'' 0, 210 W , 0,04 m

K m K λ

§ = = ·

¨ ⋅ ¸

© ¹. Nasycenie kaĪdej warstwy poszczególnymi materiaáa-

mi jest równe 1 ¹ 2 1

1 2

, 1

3 3

η λ η η

= λ = = − = , odpowiednio dla warstwy 1 i warstwy 2.

Rozwiązanie otrzymano dla róĪnych wielkoĞci komórki periodycznoĞci Ȝ: 0,03 m;

0,06 m; 0,12 m; 0,15 m; 0,24 m; 0,6 m.

W przypadku funkcji ksztaátu (5) otrzymano nastĊpujące wartoĞci uĞrednione:

1

2 1

W W

0,154 , 0,168

m K m K

W W

( , ) 0, 441 0,09

m K m K

i

eff i

K K h

K h K

= =

⋅ ⋅

= =

⋅ ⋅

(15)

Po obliczeniu podstawowych wielkoĞci uzyskano wystĊpującą w równaniu (13) war- toĞü wspóáczynnika ^{2 K}_eff ^1,711

κ ⁼K ⁼ .

PrzyjĊto ponadto, Īe na brzegach x₁ = 0 oraz x₁ = L₁zadana jest temperatura w formie funkcji _{1 2 2 2}

2

( ) ( ) 40sin y

f x f x

L π

§ ⋅ ·

= = ¨ ¸

© ¹.

Rysunek 3 przedstawia siatkĊ MRS dla rozpatrywanego przewodnika. W lewej czĊ- Ğci pokazano warunki brzegowe, w prawej – numeracjĊ wĊzáów przy zaáoĪeniu, Īe oczko siatki jest kwadratem o boku h ^{L1 L2}

n m

= = , i podziale na n elementów wzdáuĪ osi x₁ oraz na m elementów wzdáuĪ osi x₂.

1,2 1,3

1,1 1,n-1 1,n 1,n+1

m-1,n+1

m,n+1 m-1,n-1

m,n-1 m-1,n

m,n

ϑ = 0

ϑ = 0 L1

L2

x1

x2

m+1,2 m,2 m-1,2

m+1,3 m,3 m-1,3

m+1,1 m,1 m-1,1

m+1,n+1 m+1,n 2,2

3,2 2,3

3,3 2,1

3,1

2,n+1

3,n+1 2,n-1

3,n-1 2,n

3,n

m+1,n-1

ϑ=f1(x2) ϑ=f2(x2)

Rys. 3. Warunki brzegowe i siatka MRS dla rozpatrywanego przewodnika

Fig. 3. Boundary conditions and FDM mesh for the conductor under considerations

NaleĪy zatem znaleĨü wartoĞci temperatury w (n + 1)(m + 1) = mn + m + n + 1 wĊzáach.

Warunki brzegowe dają 2(m + 1) + 2(n + 1) – 2m + 2n wartoĞci, czyli niewiadomych pozostaje mn – m – n + 1.

Dla punktu wewnĊtrznego o wspóárzĊdnych i, j (i = 2, ..., m; j = 2, ..., n + 1) równa- nie (13) przeksztaácono na równanie róĪnicowe nastĊpująco:

2 2 2

1, 1, 2( 1) , , 1 , 1 0

i j i j i j i j i j

ϑ+ +ϑ− − κ + ϑ +κ ϑ + +κ ϑ − = (16)

Do wyznaczenia amplitudy À uktuacji (8) potrzebna jest pochodna ϑ,1, którą przybliĪo- no ilorazem róĪnicowym:

1, ,

,1 ^{i j i j}

h

ϑ ϑ

ϑ ≅ ^{+ −} (17)

Rozwiązanie otrzymano, przyjmując siatkĊ kwadratową o wymiarach 1 cm na 1 cm, co daje m = 100 i n = 120, a wiĊc 11 781 równaĔ róĪnicowych. Równania te rozwiązano w Ğrodowisku MATHEMATICA^®. Wyniki przedstawiono dla Ȝ = 0,06 m. Rysunek 4a po- kazuje rozkáad temperatury uĞrednionej z warunkami brzegowymi przyjĊtymi w postaci równania (14), a rysunek 4b rozkáad temperatury caákowitej ș(x₁, x₂) z uwzglĊdnieniem dekompozycji mikro-makro (równanie 13). Rysunek 5 przedstawia wykresy temperatury caákowitej i temperatury uĞrednionej w przekrojach x₂ = 0,1L, x₂ = 0,25L₂, x₂ = 0,5L₂.

a b

θ

Rys. 4. Rozkáad temperatur dla liniowej funkcji ksztaátu: a – temperatura uĞredniona, b – tempe- ratura caákowita

Fig. 4. Distribution of temperatures for linear shape function: a – averaged temperature, b – total temperature

Na rysunkach 4b i 5 wyraĨnie widaü wpáyw warstwowej struktury przewodnika na przepáyw ciepáa. Wpáyw ten maleje wzdáuĪ osi x₁, co wynika z równania (8).

20 40 60 80 100 120 10

20 30

40 T

Rys. 5. Rozkáad temperatury uĞrednionej i caákowitej w wybranych przekrojach dla liniowej funkcji ksztaátu

Fig. 5. Distribution of averaged and total temperature in selected sections for linear shape func- tion

Rozwiązanie Ğcisáe

Rozwiązanie równania (13) otrzymaü moĪna równieĪ w postaci Ğcisáej [Zill i Wright 2012]. Rozwiązanie to otrzymuje siĊ metodą separacji zmiennych i z zastosowaniem zasa- dy superpozycji (rys. 6):

1 2 1 1 2 2 1 2

( , )x x ( , )x x ( , )x x

ϑ =ϑ +ϑ (18)

gdzie:

1 1 2 2 2 1

1 1 1 1

2 1 2 1 1 2

1 2 2 2

( , ) cosh sinh sin

( , ) cosh sinh sin

n n

n

n n

n

n n n

x x A x B x x

L L L

n n n

x x C x D x x

L L L

κ π κ π π

ϑ

κ π κ π π

ϑ

∞

=

∞

=

§ ·

= ¨ + ¸

© ¹

§ ·

= ¨ + ¸

© ¹

¦

¦

1

1

1 1 1

1 0 1

1 1 1 2

1 0 1 1

2 1

2 ( )sin

1 2 ( )sin cosh

sinh

L n

L

n n

A f x n x dx

L L

n n

B g x x dx A L

n L L L L

L

π

π κ π

κ π

=

§ ·

= ¨¨© − ¸¸¹

³

³

ϑ

x₂ = 0,5 L₂

x₂ = 0,25 L₂ x₂ = 0,1 L₂

x₁

2

2

2 2 2

2 0 2

2 2 2 1

2 0 2 2

1 2

2 ( )sin

1 2 ( )sin cosh

sinh

L n

L

n n

C F x n x dx

L L

n n

D G x x dx C L

n L L L L

L

π

π κ π

κ π

=

§ ·

= ¨¨© − ¸¸¹

³

³

L₁

x₁ x₂

L₂

g(x1)

F(x2) ϑ(x¹, x2)

f(x1) G(x2)

L₁

x₁ x₂

L₂

g(x1)

0 ϑ¹(x1, x2)

f(x1)

L₁

x₁ x₂

L₂

0

F(x2) ϑ²(x1, x2)

0 G(x2)

0

Rys. 6. Zasada superpozycji przy rozwiązywaniu równania (13) [Zill i Wright 2012]

Fig. 6. Rule of superposition by solving of equation (13)

Rozwiązanie Ğcisáe daáo wykresy niemal identyczne jak wykresy otrzymane metodą róĪnic skoĔczonych, z tego powodu nie zostaáy one zamieszczone w pracy.

ANALIZA DOKàADNOĝCI ROZWIĄZAē PRZYBLIĩONYCH

Sprawdzono dokáadnoĞü zastosowanej metody róĪnic skoĔczonych w zaleĪnoĞci od liczby komórek periodycznoĞci, na które podzielony zostaá przewodnik. Porównania dokonano, wyznaczając najwiĊksze báĊdy wzglĊdne wartoĞci temperatury caákowitej ș, otrzymane metodą róĪnic skoĔczonych, w stosunku do wyników Ğcisáych. Wykres za- leĪnoĞci wartoĞci báĊdu wzglĊdnego į od liczby komórek periodycznoĞci n przedstawia wykres (rys. 7), przy czym:

Ğcisáe

Ğcisáe

max 100%

θMRS θ

δ θ

= − ⋅ (19)

0 10 20 30 40

0.5 1.0 1.5 2.0

δ

Rys. 7. Báąd wzglĊdny (równanie 19) w zaleĪnoĞci od liczby komórek Fig. 7. Relative error (eq. 19) vs. number of periodicity cells

n

Z wykresu na rysunku 7 wynika, Īe dokáadnoĞü rozwiązania metodą róĪnic skoĔczo- nych roĞnie (tzn. báąd wzglĊdny maleje) wraz z liczbą komórek periodycznoĞci (przy zachowaniu tej samej siatki podziaáu MRS). Báąd ten jest bardzo maáy, co oznacza, Īe w porównaniu z rozwiązaniem Ğcisáym metoda róĪnic skoĔczonych daje zadowalające wyniki. Rozwiązanie metodą róĪnic skoĔczonych moĪna uznaü za zgodne ze Ğcisáym juĪ przy kilkunastu komórkach periodycznoĞci. MoĪna zatem przyjąü, Īe w przypadku rozwiązywania zagadnieĔ o nieznanych rozwiązaniach Ğcisáych metoda róĪnic skoĔczo- nych da wystarczająco dokáadne wyniki juĪ przy stosunkowo nieduĪej liczbie komórek periodycznoĞci.

PODSUMOWANIE

W klasycznym modelu przewodzenia ciepáa, opisanym równaniem Fouriera na maáych przedziaáach okreĞlonoĞci funkcji dla rozwaĪanych przewodników, wystĊpują wspóáczynniki nieciągáe, skokowo zmienne. Przedstawiony model, opisany równaniem na uĞrednioną temperaturĊ, ma wspóáczynniki staáe.

Rozwiązania numeryczne otrzymano metodą róĪnic skoĔczonych przy przyjĊciu kwadratowej siatki podziaáu. Metoda ta jest stosunkowo prosta oraz wygodna ze wzglĊdu na swobodĊ wyboru warunków brzegowych. Wyniki otrzymano dla róĪnej liczby ko- mórek periodycznoĞci i porównano je z rozwiązaniami Ğcisáymi. Okazuje siĊ, Īe metoda róĪnic skoĔczonych daje wyniki porównywalne z wynikami Ğcisáymi juĪ przy kilkunastu komórkach periodycznoĞci. Báąd wzglĊdny wyników otrzymanych MRS-em w stosunku do wyników Ğcisáych maleje wraz ze zwiĊkszaniem liczby komórek periodycznoĞci.

Skonstruowany model wydaje siĊ byü wygodnym narzĊdziem do badania przewod- nictwa ciepáa w warstwowych materiaáach wieloskáadnikowych.

PIĝMIENNICTWO

Bagdasaryan, V., Nagórko, W. (2013). Model asymptotyczny przewodnictwa cieplnego w oĞrod- kach wieloskáadnikowych o funkcyjnej gradacji wáasnoĞci materiaáowych. Acta Sci. Pol., Architectura, 12 (3), 3–15.

Jurczak, T. (2011). Modelowanie tolerancyjne przewodzenia ciepáa w materiaáach periodycznie niejednorodnych. Praca doktorska. Warszawa.

Michalak, B., WoĨniak, Cz., WoĨniak, M. (2007). Modelling and analysis of certain functionally graded heat conductors. Arch. Appl. Mech., 77, 823–834.

Piwowarski, M., 2006, Przewodnictwo cieplne w oĞrodkach periodycznie wieloskáadnikowych.

Praca doktorska. CzĊstochowa.

Radzikowska, A., Wirowski, A. (2012). Two-dimensional heat conduction in the laminate with the functionally graded properties. Civil and Environmental Engineering reports, 8, 61–68.

Szlachetka, O., Wągrowska, M., WoĨniak, Cz. (2013). Effective heat conductivities in certain bipe- riodically strati¿ ed composites. Acta Sci. Pol., Architectura, 12 (4), 5–15.

WoĨniak, Cz., Wierzbicki, E. (2000). Averaging techniques in thermomechanics of compos- ite solids. Tolerance averaging versus homogenization. Wydawnictwo Politechniki CzĊstochowskiej, CzĊstochowa.

WoĨniak, Cz., Michalak, B., JĊdrysiak, J., red. (2008). Thermomechanics of microheterogeneous solids and structures. Tolerance averaging approach. Politechnika àódzka, àódĨ.

Zill, D.G., Wright, W.S. (2012). Differential Equations with boundary-value problems. Brooks/

Cole – Cengage Learning.

APPLICATION OF FINITE DIFFERENCE METHOD IN AN AVERAGED MODEL OF HEAT CONDUCTION IN PERIODICALLY STRATIFIED TWO-LAYERED MEDIUM

Abstract. The subject of the paper are periodically layered composites. It is assumed that the components of the composites are homogeneous and isotropic. A model of heat conduc- tion was constructed in which the classical Fourier equation with discontinuous and jump- type varying coef¿ cients was substituted with an equation with constant coef¿ cients. In the paper, stationary problems without heat sources were analysed. The numerical solution was obtained as a result of application of ¿ nite difference method. The inÀ uence of the number of periodicity cells on the accuracy of results obtained with ¿ nite difference method was investigated.

Key words: layered composites, Fourier’s law, tolerance averaging, ¿ nite difference method

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 12.06.2016

Cytowanie: Bagdasaryan, V., Chalecki, M. (2016). Zastosowanie metody róĪnic skoĔczonych w modelu uĞrednionym przewodnictwa cieplnego w periodycznym oĞrodku dwuwarstwowym.

Acta Sci. Pol. Architectura, 15 (2), 55–65.