Wprowadzenie nr 1 do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość materiałów”
dla studentów II roku studiów dziennych I stopnia w kierunku „Energetyka”
Wydz. Energetyki i Paliw”, semestr zimowy 2012/2013 1. Zakres wprowadzenia nr 1
Niniejsze wprowadzenie dotyczy ćwiczenia, na którym kaŜdy student opracowuje samodzielnie
„Arkusz
ćwiczeniowy nr 1”. Przez opracowanie tego arkusza studenci nabywają umiejętnośćobliczania parametrów geometrycznych dla figur płaskich. Ta umiejętność jest niezbędna do zdoby- wania kolejnych umiejętności, jakie - zgodnie programem przedmiotu – studenci będą nabywać na kolejnych ćwiczeniach.
2. Momenty statyczne
Z zaleŜności (1) wynika, Ŝe dla kaŜdej figury płaskiej w układzie jak na rys. 1 moŜna wyznaczyć taki punkt C, Ŝe za pomocą współrzędnych x
C, y
C tego punktu moŜna przedstawić zaleŜności (1) w postaci:Tak wyznaczony punkt C figury płaskiej jest nazywany jej środkiem cięŜkości, a parametry x
C, y
Csą współrzędnymi tego środka.
Momenty statyczne mogą mieć wartości dodatnie, ujemne lub równe zero. ZaleŜy to od usytuowania figury w stosunku do osi, względem której jest liczony moment statyczny. Ten moment jest równy zero wtedy, gdy jest obliczony względem osi przechodzącej przez środek cięŜkości figury. Taka oś nosi nazwę osi centralnej. JeŜeli figura płaska ma oś symetrii, to jest ona takŜe osią centralną tej figury, bo środek cięŜkości figury leŜy na osi symetrii figury.
Z zaleŜności (1) i (2) wynika, Ŝe gdy figurę płaską o polu A podzielić na szereg pól A
1, A
2, …A
i, …A
nprzylegających ściśle do siebie (rys.2), to momenty statyczne S
x, S
y tej figury moŜna obliczyć ze wzorów:gdzie: x
ci,
yci– współrzędne środka cięŜkości C
ipola
Ai. Ze wzorów (2) i (3) uzyskuje się następujące zaleŜności:
∗ Autorem wprowadzenia jest Marek Płachno, prof. ndzw. AGH. Wprowadzenie (6 stron) stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn.
zmianami). Autor nie wyraŜa zgody na inne wykorzystywanie wprowadzenia niŜ podane w jego przeznaczeniu.
JeŜeli zadanej figurze płaskiej o polu A przyporządkuje się prosto- kątny układ współrzędnych 0, x, y (rys. 1), to momenty statyczne S
x,
Sy tej figury względem osi x, y definiuje się za pomocą zaleŜności:xdA S
, ydA S
A y A
x
= ∫ = ∫
(1) Rys.1(2)
x A S , y A
S
x= ⋅
c y= ⋅
c(3) x A S
, y A
S
x∑
c y∑
= c=
=
=
⋅
=
⋅
=
i n1 i
i i n
i
1 i
i i
(4) A
y A A
y S , A
x A A
x S
c c x
c y
c
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= =
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
=
i n1 i
i n i
1 i
i i n
i
1 i
i n i
1 i
i i
Rys.2
ZaleŜności (4) są wykorzystywane w praktyce inŜynierskiej do wyznaczania środka cięŜkości figury złoŜonej, którą moŜna podzielić na przylegające ściśle do siebie figury proste o znanych połoŜeniach środków cięŜkości. Takimi figurami prostymi są m. in. kwadraty, prostokąty i koła.
3. Przykład 1
3.3. Obliczenie pól A
1, A2, A33.4.Określenie współrzędnych y
c1, yc2, yc33.5. Obliczenie współrzędnej y
cUjemna wartość współrzędnej y
cpotwierdza, Ŝe środek cięŜkości C figury z rys. 3 jest usytuowany poniŜej osi x
2.
Rys.3
3.1. Temat
Wyznaczyć współrzędne x
c, y
cpołoŜenia środka cięŜkości figury płaskiej (rys. 3), względem zadanych osi x
2, y.
Wymiary figury podano na rys. 3 w milimetrach. Wyniki obliczeń współrzędnych podać w centymetrach.
3.2. ZałoŜenia
•
PoniewaŜ oś y jest osią symetrii figury, współrzędna x
Cjest równa zero. Obliczyć naleŜy tylko współrzędną y
C.
•
Figurę pokazaną na rys. 3 moŜna podzielić na przy- legające ściśle do siebie trzy prostokąty o polach A
1, A2, A3mające środki cięŜkości C
1, C2 , C3o znanych połoŜeniach. Z tego powodu, do obliczenia współrzęd- nej y
CmoŜna zastosować wzór (4).
, cm 7 mm 70 y
, 0 y , cm 7 mm 70
y
c1 = = c2 = c3 =− =−cm 2 2 20
mm 0
cm 2 2 24
mm 1
20
cm 2 2 12
mm
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
10 2 20 20 3 10
A
10 2 24 2 20
A
10 2 12 20 1 60
A
cm 20 1
24 12
) 7 ( 20 0 24 7 12 A
y A y
c
c
= −
+ +
−
⋅ +
⋅ +
= ⋅
⋅
=
∑
∑
=
=
=
= 3 i
1 i
i 3 i
1 i
i i
4. Momenty bezwładności
JeŜeli zadanej figurze płaskiej o polu A przyporządkuje się prostokątny układ współrzędnych 0, x, y (rys.4), to dla tej figury definiuje się trzy następujące rodzaje momentów bezwładności
•
momenty bezwładności osiowe:
•
moment bezwładności biegunowy:
•
moment bezwładności dewiacji:
Momenty bezwładności osiowe i biegunowe są zawsze wielkościami dodatnimi, natomiast moment dewiacji moŜe być dodatni, ujemny lub równy zero. Moment dewiacji jest równy zero wtedy, gdy przynajmniej jedna z osi x, y jest osią symetrii figury. W tym przypadku osie x, y są nazywane osiami głównymi figury. Gdy osie główne figury płaskiej przecinają się w środku jej cięŜkości, są one takŜe centralnymi osiami tej figury. Takie osie figury płaskiej nazywa się głównymi centralnymi osiami figury.
JeŜeli momenty bezwładności figury płaskiej zostały obliczone względem jej głównych centralnych osi, to takie momenty są nazywane głównymi centralnymi momentami bezwładności. W tab. 1 zestawiono wzory algebraiczne do obliczeń głównych centralnych momentów bezwładności figur symetrycznych prostych oraz odpowiadających im figur symetrycznych złoŜonych z tzw. wybraniem.
Tab.1.
Moment osiowy bezwładności
Moment osiowy bezwładności Figura
symetryczna prosta
J
xJ
yFigura symetryczna
złoŜona
z wybraniem J
xJ
ydA x J
, dA y J
A 2 y
A 2
x
= ∫ = ∫ (5)
∫ = +
=
A
y x
2
dA J J
J
ρρ (6)
(7)
xydA D
A
xy
= ∫ Rys. 4
64 J d
4 x =
π
64 J d
4 y =
π
12 J A
4 x =
12 J A
4 y =
12 J BH
3 x =
12 H J B
3 y =
64 4) 4 d D x (
J =
π
−64 4) 4 d D Jy =
π
( −12 a 4 A 4 J x = −
12 a 4 A 4 J
y= −
12 bh J BH
3 3 x
= −
12 h b H J B
3 3 x
= −
Ze wzorów podanych w tab. 1 wynika, Ŝe gdy odpowiadające sobie figury symetryczne bez wybrania i z wybraniem mają takie same połoŜenie środka cięŜkości, to moment bezwładności figury z wybraniem jest łatwy do obliczenia, bo jest róŜnicą momentu bezwładności figury bez wybrania oraz momentu bezwładności figury odwzorowującej to wybranie.
Te momenty oblicza się za pomocą tzw. twierdzenia Steinera, którego treść odpowiadającą potrze- bom omawianych obliczeń moŜna sformułować następująco:
„Moment bezwładności figury prostej, obliczony względem osi poprowadzonej równolegle do głównej centralnej osi tej figury, jest równy sumie głównego centralnego momentu bezwładności figury prostej oraz iloczynu dwu czynników, z których jednym jest kwadrat odległości obydwu osi, a drugim – pole figury prostej”.
Wykorzystując twierdzenie Steinera uzyskuje się dla przypadku figury z rys. 5 następujące wzory:
gdzie:
J
1x, J
2x, J
3x- momenty bezwładności figur prostych o polach A
1, A
2, A
3, obliczone względem osi x, J
1y, J
2y, J
3y- momenty bezwładności figur prostych o polach A
1, A
2, A
3, obliczone względem osi y, J
1x1, J
2x2, J
3x3- główne centralne momenty bezwładności figur prostych o polach A
1, A
2, A
3, obliczone
względem osi x
1, x
2, x
3tych figur, z zastosowaniem wzorów podanych w tab. 1,
J
1y1, J
2y2, J
3y3- główne centralne momenty bezwładności figur prostych o polach A
1, A
2, A
3, obliczone względem osi głównych y
1, y
2, y
3tych figur, z zastosowaniem wzorów podanych w tab. 1,
|y
c| – wartość bezwzględna współrzędnej y
cśrodka cięŜkości C figury złoŜonej.
Natomiast bardziej pracochłonne są obliczenia mo- mentów bezwładności figury symetrycznej złoŜonej, gdy tworzące tę figurę proste figury symetryczne mają środki cięŜkości przesunięte względem siebie (rys.5). W przy- padku takiej figury złoŜonej, obliczenie jej momentów bezwładności wymaga wykonania trzech kroków obli- czeniowych, z których pierwszym jest wyznaczenie poło- Ŝenia środka cięŜkości j figury złoŜonej, wykonywane w sposób omówiony w p. 2 i 3. W drugim kroku, dla kaŜdej figury prostej oblicza się osiowe momenty bez- władności względem osi x, y poprowadzonych przez środek cięŜkości C figury złoŜonej, równolegle do osi symetrii figur prostych.
Rys.5
A a J
J , A ) y b ( J J
J J , A
y J
J
A a J J , A ) y b ( J J
3 2 3 y 3 y 3 3
2 c 3
x 3 x 3
2 y 2 y 2 2
2 c 2 x 2 x 2
1 2 1 y 1 y 1 1
2 c 1
x 1 x 1
⋅ +
=
⋅
− +
=
=
⋅ +
=
⋅ +
=
⋅
− +
=
(8)
Z kolei w trzecim, ostatnim kroku omawianych obliczeń wyznacza się główne centralne momenty bezwładności J
x, J
y, figury złoŜonej, co wykonuje się sumując odpowiadające sobie momenty bezwład- ności figur prostych, obliczone za pomocą wzorów (8):
5. Przykład 2
5.2. Obliczenie pól A
1, A2, A35.3. Określenie współrzędnych x
c1, xc2, xc35.4. Obliczenie współrzędnej x
CWykorzystując wzór (4) uzyskuje się:
Ujemna wartość współrzędnej x
cpotwierdza, Ŝe środek cięŜkości C figury z rys. 6 jest usytuowany na lewo od osi y
2.
5.5. Obliczenie głównych centralnych momentów bezwładności figur prostych Wykorzystując wzory podane w tab.1 uzyskuje się:
(9)
J J J J , J
J J
J
x=
1x+
2x+
3x y=
1y+
2y+
3yRys.6
5.1. Temat
Obliczyć główne centralne momenty bezwładności figury złoŜonej pokazanej na rys. 6. Wymiary figury podano na rys. 6 w milimetrach. Momenty bezwład- ności obliczyć w cm
4, z zaokrągleniem do pierwszego miejsca po przecinku dziesiętnym.
, cm 5 mm 50 x
, 0 x , cm 5 mm 50
x
c1 =− =− c2 = c3 = =cm 2 2 10
mm 10
50
cm 2 2 16
mm 16
20
cm 2 2 14
mm 14
70
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
10 2 3 20
A
10 2 2 80
A
10 2 1 20
A
cm 5 , 10 0
16 14
5 10 0 16 ) 5 ( 14 A
x A x
c
c
= −
+ +
⋅ +
⋅ +
−
= ⋅
⋅
=
∑
∑
=
=
=
= 3 i
1 i
i 3 i
1 i
i i
cm 3 , 12 3
5 J 2
, cm 3 , 12 85
2 J 8
, cm 7 , 12 4
7 J 2
cm 8 , 12 20
5 J 2
, cm 3 , 12 5
2 J 8
, cm 2 , 12 57
7 J 2
3 3 y 3 4 3
2 y 2 4 3
1 y 1
3 4 3
x 3 3 4
2 x 2 3 4
1 x 1
