Prosz¸e obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1.

(1)

Lista zadań 10 Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi y ² = 2x, x + y = 1.

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć obj¸etość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ogra- niczonej krzyw¸ a o równaniu y = x √

lnx i osi¸ a Ox dla x ∈ [1, e].

Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć obj¸etość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru określonego nierównościami x ² + y ² ≤ 1 i 0 ≤ y ≤ ¹ ₂ .

Zadanie 4

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f (x) = _x

2

−4x+20 ^5−4x

prostymi x = 0, x = 1,oraz osi¸ a Ox.

Zadanie 5

Prosz¸e obliczyć długość łuku krzywej

y = x √ x, zawartego mi¸edzy punktami (0, 0) i ⁴ ₉ , ₂₇ ⁸ .

Zadanie 6

Prosz¸e obliczyć obj¸etość bryły otrzymanej z obrotu figury ograniczonej krzywymi

y = √

cot x, π

6 ≤ x ≤ π

3 .

wokół osi Ox.

(2)

Prosz¸e obliczyć obj¸etość kuli o promieniu R > 0, korzystaj¸ ac ze wzoru na obj¸etość bryły obrotowej.

Zadanie 8

Prosz¸e obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi

y = 1

1 + x ² , y = x ² 2 .

Zadanie 9

Prosz¸e podać wzór na obj¸etość bryły obrotowej. Korzystaj¸ ac z tego wzoru prosz¸e ob- liczyć obj¸etość walca o wysokości H i promieniu podstawy R > 0 i wykonać rysunek.

Zadanie 10

Prosz¸e obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji

f (x) = sin(x), gdzie 0 ≤ x ≤ π 2 wokół osi Ox.

Zadanie 11

Prosz¸e obliczyć długość łuku krzywej o równaniu y = ^x ₄

²

− ^{ln x} ₂ , gdzie 1 ≤ x ≤ 2.

Zadanie 12

Prosz¸e obliczyć długość łuku krzywej y = 2 √

x ³ , gdzie 0 ≤ x ≤ 2.

Zadanie 13

Prosz¸e obliczyć obj¸etość stożka o promieniu podstawy R > 0 i wysokości H > 0, ko-

rzystaj¸ ac ze wzoru na obj¸etość bryły obrotowej i wykonać rysunek.

(3)

Prosz¸e obliczyć pole powierzchni stożka o promieniu podstawy R > 0, i wysokości H > 0, korzystaj¸ ac z równania na pole powierzchni bryły obrotowej i wykonać rysunek.

Zadanie 15

Prosz¸e obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresem funkcji f (x) = tan x oraz pro- stymi: y = 0,x = ₁₂ ^π .

Zadanie 16 Prosz¸e obliczyć

Z 1 0

1 + 2x 4 + x ² dx.

Zadanie 17 Prosz¸e obliczyć

Z coslnx x dx.

Zadanie 18 Prosz¸e obliczyć

Z x

√ 3 − x ² dx.

Zadanie 19 Prosz¸e obliczyć

Z dx

x ² + 4x + 3 . Zadanie 20

Prosz¸e obliczyć

Z dx

x ² + 4x + 13 dx.

Zadanie 21 Prosz¸e obliczyć

Z x

x ² + 4x + 5 dx.

(4)

Prosz¸e obliczyć

Z (2x + 1) x ³ + x ² − 2x dx.

Zadanie 23 Prosz¸e obliczyć

Z dx

x ³ + x . Zadanie 24

Prosz¸e obliczyć

Z cos ³ x 2 − sinx dx.

Zadanie 25 Prosz¸e obliczyć

Z 1

cosx + sinx + 2 dx.

Zadanie 26 Prosz¸e obliczyć

Z π 0

sin3x e ^2x dx.

Zadanie 27 Prosz¸e obliczyć

Z cos x

√ 2 + cos2x dx.

Zadanie 28 Prosz¸e obliczyć

Z dx

x ³ + 9x . Zadanie 29

Prosz¸e znaleźć funkcj¸e pierwotn¸ a funkcji

f (x) = x ³ e ^3x .

(5)

Prosz¸e obliczyć

Z 1 0

x ³ x ² − 4 dx.

Zadanie 31

Prosz¸e znaleźć funkcj¸e pierwotn¸ a dla

f (x) = x + √

³

√ x x . Zadanie 32

Prosz¸e obliczyć

Z dx

1 + √

³

x + 1 .

Zadanie 33 Prosz¸e obliczyć

Z 2

−1

|1 − 2x|dx.

Zadanie 34 Prosz¸e obliczyć

Z 2

−3

e ^−|2x| dx.

Zadanie 35

Wyznaczyć ekstrema i punkty przegi¸ecia wykresu funkcji f (x) = R x

1 1−2lnt

t

³

dt.

Zadanie 36

Prosz¸e znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f (x) = x ² e

^x¹

. Zadanie 37

Prosz¸e sformułować twierdzenie Taylora i napisać wzór Taylora dla funkcji

√

(6)

wzór jest prawdziwy?

Zadanie 38

Prosz¸e oszacować przy pomocy wzoru Maclaurina dokładność przybliżenia

√ 1 + x ≈ 1 + x 2 − x ²

8 , dla 0 ≤ x ≤ 1.

Zadanie 39

Prosz¸e wyznaczyć przedziały i ekstrema lokalne funkcji f (x) = px

³

² (x − 3).

Zadanie 40

Prosz¸e wyznaczyć przedział na którym funkcja f (x) = x ² lnx jest malej¸ aca i wkl¸esła.

Zadanie 41

Prosz¸e znaleźć najmniejsz¸ a i najwi¸eksz¸ a wartość funkcji f (x) = ^√ ^3x

4x

²

+1 dla x ∈ [−1, 2].

Zadanie 42

Prosz¸e wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f (x) = ln(3x ² − x ³ ).

Zadanie 43

Prosz¸e wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegi¸ecia wykresu funkcji f (x) = xe ^−2x .

Zadanie 44

Korzystaj¸ ac ze wzoru Taylora-Maclaurina z odpowiedi¸ a reszt¸ a, prosz¸e uzasadnić nierów- ność

e ^−x > 1 − x + x ² 2 − x ³

6 dla każdego x > 0.

Zadanie 45

Prosz¸e napisać wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji f (x) = x ² e ^x z czwart¸ a reszt¸ a. Ko-

(7)

[−0.1, 0.1]

Zadanie 46

Prosz¸e sformułować twierdzenie Lagrange i korzystaj¸ ac z niego uzasadnić, że nierów- ność

| arctan x − arctan y| ≤ |x − y|

jest prawdziwa dla dowolnych x, y ∈ R.

Zadanie 47

Prosz¸e wyznaczyć najmniejsz¸ a i najwi¸eksz¸ a wartość funkcji f (x) = p

Prosz¸e obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1.

Lista zadań 10 Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1.

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć obj¸etość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ogra- niczonej krzyw¸ a o równaniu y = x √

lnx i osi¸ a Ox dla x ∈ [1, e].

Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć obj¸etość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru określonego nierównościami x 2 + y 2 ≤ 1 i 0 ≤ y ≤ 1 2 .

Zadanie 4

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f (x) = x

−4x+20 5−4x

prostymi x = 0, x = 1,oraz osi¸ a Ox.

Zadanie 5

Prosz¸e obliczyć długość łuku krzywej

y = x √ x, zawartego mi¸edzy punktami (0, 0) i 4 9 , 27 8 .

Zadanie 6

Prosz¸e obliczyć obj¸etość bryły otrzymanej z obrotu figury ograniczonej krzywymi

y = √

cot x, π

6 ≤ x ≤ π

3 .

wokół osi Ox.

Prosz¸e obliczyć obj¸etość kuli o promieniu R > 0, korzystaj¸ ac ze wzoru na obj¸etość bryły obrotowej.

Zadanie 8

Prosz¸e obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi

y = 1

1 + x 2 , y = x 2 2 .

Zadanie 9

Prosz¸e podać wzór na obj¸etość bryły obrotowej. Korzystaj¸ ac z tego wzoru prosz¸e ob- liczyć obj¸etość walca o wysokości H i promieniu podstawy R > 0 i wykonać rysunek.

Zadanie 10

Prosz¸e obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji

f (x) = sin(x), gdzie 0 ≤ x ≤ π 2 wokół osi Ox.

Zadanie 11

Prosz¸e obliczyć długość łuku krzywej o równaniu y = x 4

− ln x 2 , gdzie 1 ≤ x ≤ 2.

Zadanie 12

Prosz¸e obliczyć długość łuku krzywej y = 2 √

x 3 , gdzie 0 ≤ x ≤ 2.

Zadanie 13

Prosz¸e obliczyć obj¸etość stożka o promieniu podstawy R > 0 i wysokości H > 0, ko-

rzystaj¸ ac ze wzoru na obj¸etość bryły obrotowej i wykonać rysunek.

Prosz¸e obliczyć pole powierzchni stożka o promieniu podstawy R > 0, i wysokości H > 0, korzystaj¸ ac z równania na pole powierzchni bryły obrotowej i wykonać rysunek.

Zadanie 15

Prosz¸e obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresem funkcji f (x) = tan x oraz pro- stymi: y = 0,x = 12 π .

Zadanie 16 Prosz¸e obliczyć

Z 1 0

1 + 2x 4 + x 2 dx.

Zadanie 17 Prosz¸e obliczyć

Z coslnx x dx.

Zadanie 18 Prosz¸e obliczyć

Z x

√ 3 − x 2 dx.

Zadanie 19 Prosz¸e obliczyć

Z dx

x 2 + 4x + 3 . Zadanie 20

Prosz¸e obliczyć

Z dx

x 2 + 4x + 13 dx.

Zadanie 21 Prosz¸e obliczyć

Z x

x 2 + 4x + 5 dx.

Prosz¸e obliczyć

Z (2x + 1) x 3 + x 2 − 2x dx.

Zadanie 23 Prosz¸e obliczyć

Z dx

x 3 + x . Zadanie 24

Prosz¸e obliczyć

Z cos 3 x 2 − sinx dx.

Zadanie 25 Prosz¸e obliczyć

Z 1

cosx + sinx + 2 dx.

Zadanie 26 Prosz¸e obliczyć

Z π 0

sin3x e 2x dx.

Zadanie 27 Prosz¸e obliczyć

Z cos x

√ 2 + cos2x dx.

Zadanie 28 Prosz¸e obliczyć

Z dx

x 3 + 9x . Zadanie 29

Prosz¸e obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi y ² = 2x, x + y = 1.

Prosz¸e obliczyć obj¸etość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru określonego nierównościami x ² + y ² ≤ 1 i 0 ≤ y ≤ ¹ ₂ .

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f (x) = _x

−4x+20 ^5−4x

y = x √ x, zawartego mi¸edzy punktami (0, 0) i ⁴ ₉ , ₂₇ ⁸ .

1 + x ² , y = x ² 2 .

Prosz¸e obliczyć długość łuku krzywej o równaniu y = ^x ₄

− ^{ln x} ₂ , gdzie 1 ≤ x ≤ 2.

x ³ , gdzie 0 ≤ x ≤ 2.

Prosz¸e obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresem funkcji f (x) = tan x oraz pro- stymi: y = 0,x = ₁₂ ^π .

1 + 2x 4 + x ² dx.

√ 3 − x ² dx.

x ² + 4x + 3 . Zadanie 20

x ² + 4x + 13 dx.

x ² + 4x + 5 dx.

Z (2x + 1) x ³ + x ² − 2x dx.

x ³ + x . Zadanie 24

Z cos ³ x 2 − sinx dx.

sin3x e ^2x dx.

x ³ + 9x . Zadanie 29

f (x) = x ³ e ^3x .

x ³ x ² − 4 dx.

e ^−|2x| dx.

Prosz¸e znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f (x) = x ² e

√ 1 + x ≈ 1 + x 2 − x ²

² (x − 3).

Prosz¸e wyznaczyć przedział na którym funkcja f (x) = x ² lnx jest malej¸ aca i wkl¸esła.

Prosz¸e znaleźć najmniejsz¸ a i najwi¸eksz¸ a wartość funkcji f (x) = ^√ ^3x

Prosz¸e wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f (x) = ln(3x ² − x ³ ).

Prosz¸e wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegi¸ecia wykresu funkcji f (x) = xe ^−2x .

e ^−x > 1 − x + x ² 2 − x ³

Prosz¸e napisać wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji f (x) = x ² e ^x z czwart¸ a reszt¸ a. Ko-

(x ² + x) ² na przedziale [−2, 3].

Prosz¸e wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji f (x) = x ² − 5x + 4