Zadania z algebry (zestaw 13)
1. Rozwa»amy rzeczywist¡ przestrze« wektorow¡ (tzn. K = R), z symetrycznym, dodatnio okre±lonym iloczynem skalarnym g. W pewnej bazie ortonormalnej (tzn. takiej »e g(ei, ej) = δij) macierz operatora liniowego A ma posta¢:
2 1 1 1 2 1 1 1 2
(jak w zadaniu 12.2). Prosz¦ znale¹¢ baz¦ ortonormaln¡, w której macierz tego operatora jest diagonalna.
2. Niech
u =
1
−1 i
, v =
1 0 i
.
Prosz¦ znale¹¢ wektor w, b¦d¡cy kombinacj¡ liniow¡ wektorów u i v i ortogonalny wzgl¦dem iloczynu skalarnego
g(u, v) = Tr u†· v
do wektora u. Wskazówka: wektora w nale»y poszukiwa¢ w postaci w = v − αu, gdzie α jest liczb¡ zespolon¡, któr¡ nale»y wyznaczy¢ z warunku ortogonalno±ci w i u.
3. Prosz¦ znale¹¢ posta¢ transformacji ortogonalnej, diagonalizuj¡cej macierz
A =
1 2 1
2 1 −1
1 −1 1
t.j. prosz¦ znale¹¢ tak¡ macierz β, dla której β†·β =1 i macierz A0 = β†·A·β jest diagonalna.
Jaka jest posta¢ macierzy A0?
4. Prosz¦ zdiagonalizowa¢ (za pomoc¡ transformacji ortogonalnej) form¦ kwadratow¡, która w pewnej bazie (e1, e2) ma posta¢:
g(x, x) = −3(x1)2+ 4x1x2 W szczególno±ci prosz¦
(a) odczyta¢ posta¢ macierzy formy g (oznaczamy j¡ przez G) w bazie (e1, e2), (b) znale¹¢ ortogonaln¡ macierz β tak¡, »e β†· G · β jest macierz¡ diagonaln¡,
(c) wyzanczy¢ posta¢ formy g w "nowej" bazie (e01, e02), takiej »e wspóªrz¦dne dowolnego wektora x = P1≤i≤2xiei =P
1≤i≤2x0ie0i wi¡»¡ si¦ wzorem x0i =P
1≤k≤2βikxk.
A. Rostworowski
