PORÓWNANIE TEORII WARTOŚCI EKSTREMALNYCH I ROZKŁADÓW BEZWARUNKOWYCH W POMIARZE VALUE AT RISK STUDIUM PRZYPADKU

(1)

Krzysztof Echaust, Krzysztof Piasecki

Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu,

Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej, Katedra Badań Operacyjnych

PORÓWNANIE TEORII

WARTOŚCI EKSTREMALNYCH

I ROZKŁADÓW BEZWARUNKOWYCH W POMIARZE VALUE AT RISK

– STUDIUM PRZYPADKU

Streszczenie: W pracy podjęto temat dokładności pomiaru Value at Risk. Porównano wy- niki otrzymane na podstawie rozkładów bezwarunkowych z ujęciem wywodzącym się z teorii zdarzeń ekstremalnych. Na przykładzie kilkunastu dużych spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie przeanalizowano rozkłady normalny, alfa stabilny, hiperboliczny i odwrotny gaussowski. Jako alternatywne podejście wykorzystano parametryczny model przekroczeń, POT, pozwalający modelować ogony roz- kładu stóp zwrotu uogólnionym rozkładem Pareto, GPD. Wyniki badań wskazują, że wykorzystanie rozkładu GPD jest znacznie lepszym wyborem w analizie ryzyka ekstremalnego.

Słowa kluczowe: Value at Risk, ogony rozkładu, model przekroczeń, uogólniony rozkład Pareto, rozkład Gaussa, rozkład alfa stabilny, rozkład hiperboliczny, rozkład odwrotny gaussowski.

Wstęp

Wzrost zmienności na rynkach fi nansowych jest naturalną konsekwencją po- stępującej globalizacji. Swobodny przepływ kapitału powoduje, że ceny instru- mentów fi nansowych i towarów w znacznym stopniu stały się zależne od euforii i paniki spekulantów. Dla wszystkich uczestników rynków fi nansowych i towa- rowych wiąże się to z koniecznością akceptowania wyższego niż dotąd ryzyka potencjalnych strat na zajmowanych pozycjach. Kluczową kwestią w tych warun- kach staje się właściwy pomiar ryzyka towarzyszącego każdej transakcji, a szcze-

ZN 221 Sikora.indb 18

ZN 221 Sikora.indb 18 2012-08-07 10:28:582012-08-07 10:28:58

Podstawowy niebieskozielony

Podstawowy niebieskozielonyPodstawowy karmazynowyPodstawowy karmazynowyPodstawowy żółtyPodstawowy żółtyPodstawowy czarnyPodstawowy czarny

(2)

gólnie ryzyka ekstremalnego. Najpopularniejszą miarą tego ryzyka jest obecnie Value at Risk (VaR). Wskazuje ona taką stratę wartości instrumentu fi nansowego lub portfela, że prawdopodobieństwo jej poniesienia lub przekroczenia w przyję- tym horyzoncie czasowym jest równe przyjętemu poziomowi tolerancji. Wyzna- cza się ją, jako odpowiedni kwantyl rozkładu prawdopodobieństwa potencjalnych strat i dlatego punktem wyjścia w pomiarze VaR jest właściwy wybór modelu rozkładu prawdopodobieństwa zwrotów. Choć w praktyce wygodne jest przyję- cie gaussowskiego paradygmatu, z teoretycznego punktu widzenia jest to nie do zaakceptowania. Niepodważalne są własności empirycznych fi nansowych szere- gów czasowych jak leptokurtyczność, występowanie grubych ogonów zwrotów, skośność czy grupowanie zmienności [M. Doman i R. Doman 2009]. Już w latach sześćdziesiątych Mandelbrot [Mandelbrot 1963] odrzucił normalność rozkładu stóp zwrotu, analizując alfa stabilne rozkłady Pareto. Inne rozkłady, na przykład hiperboliczne, odwrotne gaussowskie czy uogólnionego błędu, były dotąd przedmiotem innych badań, między innymi [Eberlein i Keller 1995; Barndorff-Nielsen 1998; Küchler i in. 1999; Tomasik i Echaust 2008; Kobus 2010].

Oprócz rozkładów bezwarunkowych w ocenie VaR, w ostatnich kilkunastu latach dużą popularność zyskała grupa modeli heteroskedastyczności warunko- wej (G)ARCH i metody wywodzące się z teorii zdarzeń ekstremalnych, EVT (od Extreme Value Theory). Żaden z modeli jednak nie potrafi przewidzieć, kiedy do- kładnie ryzyko ekstremalne się pojawi i każdy ma swe słabe i mocne strony. Cho- ciaż modele bezwarunkowe bazują na nieprawdziwym założeniu niezależności i jednakowego rozkładu zwrotów, instytucje fi nansowe preferują je nad modelami warunkowymi w celu uniknięcia niepożądanych częstych zmian w limitach tole- rowanego ryzyka dla swoich traderów i menedżerów [Danielsson i Vries 2000].

Celem niniejszej pracy jest porównanie dokładności pomiaru VaR w próbie dla rozkładów bezwarunkowych z ujęciem wywodzącym się z teorii zdarzeń ekstremalnych. Na przykładzie kilkunastu dużych spółek notowanych na Gieł- dzie Papierów Wartościowych w Warszawie zostaną przeanalizowane rozkłady normalny, alfa stabilny, hiperboliczny i odwrotny gaussowski (NIG). Jako alternatywne podejście wykorzystamy parametryczny model przekroczeń, POT (od Peaks Over Threshold), pozwalający modelować ogony rozkładu stóp zwrotu uogólnionym rozkładem Pareto, GPD (od Generalised Pareto Distribution).

1. Rozkłady stóp zwrotu i grube ogony

Grube (ciężkie) ogony rozkładu stóp zwrotu oznaczają wyższe niż w rozkładzie normalnym prawdopodobieństwo wystąpienia skrajnie wysokich (gruby prawy ogon) lub skrajnie niskich (gruby lewy ogon) stóp zwrotu. O ile występowanie grubych ogonów w empirycznych fi nansowych szeregach czasowych nie budzi

ZN 221 Sikora.indb 19 2012-08-07 10:28:582012-08-07 10:28:58

(3)

kontrowersji, o tyle sposób opisu grubości ogona jest przedmiotem wielu analiz.

Przyjęta w literaturze defi nicja grubych ogonów rozkładu pochodzi od Resnicka [Resnick 1997]. Rozkład ma grube ogony, jeśli dystrybuantę tego rozkładu moż- na przedstawić następująco:

F(x) = 1 – x^–αL(x), α > 0,

gdzie L(·) jest wolno zmieniającą się funkcją, tzn. lim ( ) / ( ) 1

x L tx L x

of dla każde-

go skończonego t. Wykładnik α jest nazywany indeksem ogona lub stopniem gru- bości ogona – im niższa jego wartość, tym grubszy ogon rozkładu. Dodatkowo α określa maksymalny skończony moment rozkładu. Oznacza to, że nie istnieją skończone momenty rzędu równego lub wyższego α.

Nie jest możliwe wybranie modelu, który byłby najbardziej adekwatny do opisu szeregów czasowych wszystkich instrumentów fi nansowych, ich portfeli i w każdym horyzoncie czasowym. Można jednak wskazać te, które w większo- ści wypadków są bardzo zbliżone do rozkładów empirycznych. Nie bez znaczenia w praktycznych zastosowaniach jest też prostota estymacji rozkładu, możliwość uogólnienia wielowymiarowego w przypadku portfela czy możliwość agregacji czasowej VaR.

Rozkłady alfa stabilne zostały scharakteryzowane w 1924 roku przez Paula Lévy’ego [Lévy 1925] i są obecnie szeroko wykorzystywane w modelowaniu fi - nansowym. Ponieważ nie istnieje postać analityczna funkcji gęstości dla całej klasy tych rozkładów, charakteryzuje się je funkcją charakterystyczną postaci

z

¨ ¨ ȕ t ¸ iĲt¸ Į

¨ ¸

| | 1 sign ln(| |) , 1,

§ ·

¨ ¸

© ¹

exp§ | | 1 sign tg ·, 1,

© ¹

> @

exp( ) 2

2

Į Į ʌĮ

c t i

itX

exp c t i

ʌ

§ § ··

° ¨ ¸

© ¹

° © ¹

®°

°¯

gdzie parametr α  (0, 2] jest nazywany parametrem kształtu albo indeksem sta- bilności, a β  [–1, 1], τ  , c ≥ 0 to odpowiednio parametry skośności, położe- nia i skali. Parametr α jest odpowiedzialny za grubość ogona rozkładu – im niższa jego wartość, tym grubszy ogon. Dla α  (0, 2) nie istnieje drugi moment rozkła- du, a dla α = 2 rozkładem granicznym jest rozkład normalny. Ciekawą własnością rodziny rozkładów alfa stabilnych jest ich zamknięcie na przekształcenia liniowe, co oznacza, że kombinacja liniowa zmiennych o rozkładzie alfa stabilnym z tym samym indeksem stabilności α, ma również rozkład alfa stabilny z indeksem α.

Rozkłady hiperboliczne zostały zaproponowane przez Barndorffa-Nielsena [Barndorff-Nielsen 1977]. Są szczególnym przypadkiem szerszej klasy rozkła- dów tzw. uogólnionych rozkładów hiperbolicznych. Funkcję gęstości określa się następująco:

ZN 221 Sikora.indb 20 2012-08-07 10:28:582012-08-07 10:28:58

(4)

2 2

( ) exp§¨ ( ) ( )·¸

© ¹

2 2

2 1

H Į ȕ

f x Į į x ȝ ȕ x ȝ

ĮįK į Į ȕ

§ ·

¨ ¸

© ¹

,

gdzie α i β są parametrami kształtu spełniającymi warunek 0 < |β| ≤ α, a μ  , δ > 0 to odpowiednio parametry położenia i skali, K₁ to zmodyfi kowana funkcja Bessela trzeciego rodzaju z indeksem 1.

Rozkłady NIG są również szczególnym przypadkiem uogólnionych rozkła- dów hiperbolicznych. Funkcja gęstości tych rozkładów wyraża się wzorem

2 2

( ) exp§¨ ( )·¸

© ¹

²

1 2

NIG 2 ( )2

ĮįK Į į x ȝ

f x į Į ȕ ȕ x ȝ

ʌ į x ȝ

§ ·

¨ ¸

© ¹

,

gdzie z racji wspólnej parametryzacji dla uogólnionych rozkładów hiperbolicznych wszystkie oznaczenia są takie, jak dla rozkładu hiperbolicznego. Rozkłady te są szeroko stosowane w fi nansach w zarządzaniu ryzykiem, prognozowaniu i wnioskowaniu statystycznym.

2. Teoria zdarzeń ekstremalnych

Teoria zdarzeń ekstremalnych, EVT (od Extreme Value Theory) dostarcza właści- wej metodologii pomiaru zjawisk rzadkich. Pozwala ona na wyznaczanie i anali- zę miar ryzyka, takich jak Value at Risk czy Expected Shortfall.

Zasadniczo istnieją dwa różne podejścia do analizy zdarzeń ekstremalnych.

Pierwsze, klasyczne ujęcie jest oparte na twierdzeniu Fishera-Tippetta z 1928 roku [Fisher i Tippett 1928]. Idea tego podejścia polega na modelowaniu rozkładu mak- simów zmiennych losowych, wykorzystując uogólniony rozkład wartości ekstre- malnych, GEV. Drugie ujęcie EVT to tzw. model przekroczeń POT (od Peaks Over Threshold Model) oparty na twierdzeniu Pickandsa–Balkemy–de Haana [Balkema i de Haan 1974]. Pozwala on na estymację ogona rozkładu zwrotów zamiast modelowania rozkładu ich ekstremów. Punktem wyjścia jest tu warunkowy rozkład przekroczeń zmiennej X (np. strat portfela) pewnej progowej wartości u:

^|

⁽ ₁ ⁾₍ ^{( )}

) )

u( F x u F u

F P X u x X u

x F u

d !

,

gdzie F jest nieznaną dystrybuantą zmiennej losowej X. Twierdzenie Pickand- sa–Balkemy–de Haana stanowi, że dla wystarczająco dużego u dystrybuanta wa- runkowa F_u(x) ma rozkład graniczny, który jest uogólnionym rozkładem Pareto, GPD (od Generalized Pareto Distribution), z dystrybuantą postaci:

ZN 221 Sikora.indb 21 2012-08-07 10:28:592012-08-07 10:28:59

(5)

1

GPD

x ȟ

ȟ ȟ

x ȕ

x ȟ

ȕ

§ ·

° ¨ ¸ z

°° © ¹

®° § ·

° ¨ ¸

° © ¹

¯

1 1 dla 0,

1 exp dla 0, gdzie β > 0, x ≥ 0 dla ξ ≥ 0 oraz 0 ≤ x ≤ β/ξ dla ξ < 0.

Parametr ξ jest nazywany parametrem kształtu i odpowiada za grubość ogona rozkładu. Grube ogony otrzymuje się dla ξ > 0, a im wyższa jego wartość, tym grubszy ogon rozkładu. Odwrotność parametru kształtu jest omówionym wcze- śniej indeksem ogona rozkładu α.

Parametry rozkładu szacuje się metodą największej wiarygodności, co pozwala otrzymywać estymatory asymptotycznie normalne i efektywne. Niestety wybór wartości progowej ma wpływ na otrzymywane wartości estymatorów. Zbyt duża wartość progowa u sprawia, że niewiele obserwacji przekroczy próg, co skut- kuje dużą wariancją. Zbyt mała jej wartość powodować będzie duże obciążenie estymatorów. Ważną kwestią zatem jest właściwy wybór u stanowiący kompro- mis między obciążeniem a wariancją. Zastępując F(u) estymatorem empirycz- nym (n – N_u)/n, gdzie n to liczba obserwacji, a N_u to liczba przekroczeń progu u, otrzymujemy

ˆ ( ) GPD( ) N^u n N^u

F x x u

n n

§ ·

¨ ¸

Dla ξ ≠ 0 zależność (1) przyjmuje następującą postać:

1 ˆ

ˆ

( )

ˆ ( ) 1 N^u 1 ˆ x ^ȟ

x ȕ

F ȟ u

n

§ ·

¨ ¸

© ¹

. (2) W celu znalezienia estymatora POT kwantyla (VaR) rzędu p wystarczy prze- kształcić zależność (2) do postaci

ˆ ˆ (1 ) ˆ

ˆ _u ^ȟ 1

x u ȕ n p

ȟ N

§ ·

¨ ¸

© ¹

.

3. Opis danych

Analizie poddano szeregi r_t dziennych logarytmicznych stóp zwrotu trzynastu dużych spółek z GPW w Warszawie wymienionych w tabeli 1. Niech p_t ozna- cza kurs zamknięcia dla danej spółki, wtedy r_t = 100(ln p_t – ln p_{t – 1}). Wszystkie szeregi czasowe notowań pochodzą z jednakowego okresu od 2 stycznia 2008 do 23 marca 2011 roku, co daje 812 stóp zwrotu. Okres badań wzięty pod uwa-

ZN 221 Sikora.indb 22 2012-08-07 10:28:592012-08-07 10:28:59

(6)

gę wiąże się z koniecznością uwzględnienia zarówno trendu wzrostowego, jak i spadkowego, w taki sposób, aby nie było wyraźnej przewagi żadnego z nich w całym szeregu czasowym.

W tabeli 1 przedstawiono charakterystyki opisowe wybranych szeregów zwro- tów. Jedynie spółki KGHM i Kernel charakteryzują się dodatnimi średnimi stopa- mi zwrotu. Są to spółki, których kurs od zakończenia spadkowego okresu kryzy- su wzrósł najmocniej (niemal 890% dla KGHM i 790% dla Kernel). Najwyższą zmiennością i rozstępem charakteryzuje się KGHM, która jest zwykle najaktyw- niejszą spółką podczas sesji giełdowych. Większość szeregów charakteryzuje się ujemną skośnością i we wszystkich przypadkach widać wyraźnie podwyższoną – w stosunku do rozkładu normalnego – kurtozę. Wskazuje to na większą koncen- trację obserwacji wokół średniej i większą masę prawdopodobieństwa dla obserwacji skrajnych. Największą leptokurtyczność można zaobserwować w wypadku najbardziej zmiennych szeregów KGHM i Kernel.

Tabela 1. Statystyki opisowe analizowanych szeregów

Spółka Branża Średnia

Odchy- lenie standar-

dowe

Skoś-

ność Kurtoza Mini- mum

Maksi- mum

ASSECOPOL Informatyka – 0,0425 3,10 – 0,069 1,73 – 9,69 7,28

CEZ Energia – 0,0344 2,39 – 0,5186 4,14 – 12,68 9,83

GTC Deweloperska – 0,0967 3,11 0,215 3,94 – 14,66 17,28 KERNEL Spożywcza 0,1010 3,20 – 0,034 5,40 – 21,01 16,06

KGHM Surowce 0,0670 3,40 – 0,329 4,94 – 23,62 17,69

PBG Budownictwo – 0,0634 2,29 0,026 1,88 – 10,00 9,27

PEKAO Finanse – 0,0348 3,023 – 0,203 3,96 – 20,59 13,56

PGNIG Paliwa – 0,0367 2,05 0,147 1,73 – 8,05 8,30

PKNORLEN Paliwa 0,0000 2,65 – 0,072 1,74 – 12,16 12,87

PKOBP Finanse – 0,0225 2,67 – 0,062 1,59 – 12,22 9,97

PULAWY Chemia – 0,0071 2,30 – 0,051 3,47 – 11,19 11,93 TPSA Telekomunikacja – 0,0353 2,00 – 0,150 2,28 – 9,02 9,61

TVN Media – 0,0494 2,84 – 0,241 3,75 – 15,93 12,86

Źródło: Obliczenia własne.

4. Badania empiryczne

Choć zasadniczym celem niniejszego artykułu jest porównanie dokładności estymacji kwantyla za pomocą rozkładów bezwarunkowych i teorii wartości ekstremalnych, w pierwszej części analizy skupimy się na analizie wybranych roz- kładów. Porównamy ze sobą cztery klasy rozkładów: normalny pełniący rolę

ZN 221 Sikora.indb 23 2012-08-07 10:29:002012-08-07 10:29:00

(7)

benchmarku, alfa stabilny, hiperboliczny i NIG. Trzy ostatnie mogą być z powo- dzeniem stosowane do modelowania szeregów o charakterystykach przedstawionych w tabeli 1.

Pierwszym krokiem rozważań jest porównanie rozkładów teoretycznych z roz- kładem empirycznym. Ponieważ analiza jest ukierunkowana na ogony rozkładu, najwłaściwszym testem statystycznym jest test Andersona–Darlinga (AD), oparty na odległości Cramér–von Mises. Test AD sprawdza poprawność rozkładu teoretycznego z empirycznym w hipotezie zerowej, wobec rozbieżności tychże roz- kładów w hipotezie alternatywnej. Statystyka testowa jest modyfi kacją statystyki Kołmogorowa–Smirnova przypisującą wyższe wagi ogonom rozkładu. Statysty- ka jest postaci [Malevergne i Sornette 2006, s. 61]:

2

emp teo

teo teo teo

( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

F x F x

ADS N dF x

F x F x

ª º

¬ ¼

³

^,

gdzie N jest wielkością próby, a F_emp(∙) i F_teo(∙) są dystrybuantami empirycz- ną i teoretyczną odpowiednio. Do kalkulacji wartości krytycznych statystyki wy- korzystuje się specyfi czny rozkład zależny od dystrybuanty teoretycznej F_teo(∙).

Wyniki testu zostały umieszczone w tabeli 2.

Wyniki przedstawione w tabeli 2 nie pozostawiają cienia wątpliwości, że roz- kłady empiryczne mają grube ogony. W każdym z rozpatrywanych wypadków test AD odrzucił prawdziwość hipotezy o rozkładzie normalnym na poziomie Tabela 2. Test Andersona-Darlinga

Spółka Normalny Stabilny Hiperboliczny NIG

ASSECOPOL 4,31*** 1,51 0,51 0,53

CEZ 9,82*** 0,59 0,67 0,41

GTC 10,53*** 2,18* 1,26 0,52

KERNEL 14,89*** 3,48** 2,13* 2,45*

KGHM 6,48*** 0,55 0,31 0,24

PBG 6,75*** 2,83** 1,44 1,05

PEKAO 4,77*** 0,83 0,24 0,21

PGNIG 6,35*** 1,30 0,48 0,58

PKNORLEN 1,94* 0,35 0,27 0,27

PKOBP 3,88** 0,41 0,16 0,17

PULAWY 8,92*** 1,09 0,55 0,73

TPSA 3,63** 0,48 0,33 0,33

TVN 8,45*** 0,56 0,35 0,24

* przypadek odrzucenia hipotezy H₀ na poziomie istotności 0,1, ** na poziomie 0,05, *** na poziomie 0,01.

ZN 221 Sikora.indb 24 2012-08-07 10:29:002012-08-07 10:29:00

(8)

istotności 0,1 i tylko w przypadku PKNORLEN nie było podstaw odrzucenia roz- kładu normalnego na poziomie 0,05. Na poziomie istotności 0,05 w dwóch wypadkach również rozkład stabilny okazał się różny od rozkładu empirycznego.

Dla rozkładów hiperbolicznego i NIG na tym samym poziomie istotności w żad- nym wypadku nie było podstaw do odrzucenia hipotezy o zgodności rozkładów, chociaż wyraźnie widać słabość dopasowania wszystkich rozkładów dla spółki Kernel. Niemniej jednak test AD wyraźnie faworyzuje oba te rozkłady w stosunku do rozkładu stabilnego.

Rysunek 1. Wykresy Q-Q dla KGHM

Źródło: Obliczenia własne

normalny

kwantyle empiryczne

kwantyle teoretyczne

0 5

–5 10

–10 10

–10 20

–20 0

stabilny

kwantyle empiryczne

0 20

–20 40

–40 10

–10 20

–20 0

hiperboliczny

kwantyle empiryczne

0 5

–5 10 15

–10

–15 –15 –10 –5 0 5 10 15

10

–10 20

–20 0

NIG

kwantyle empiryczne

kwantyle teoretyczne 10

–10 20

–20 0

ZN 221 Sikora.indb 25 2012-08-07 10:29:002012-08-07 10:29:00

(9)

Drugi etap analizy to oszacowanie parametrów przedstawionych rozkładów.

Estymacji parametrów rozkładu alfa stabilnego dokonano metodą kwantyli, a pozostałych rozkładów metodą największej wiarygodności. O dokładności estymacji można się przekonać, analizując wykresy Q-Q i wykresy dystrybuant, szczególnie w obszarze ogonów rozkładów. Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono ilustrację dopasowania dla KGHM.

Analiza wzrokowa obu rysunków pozwala ocenić jakość rozważanych modeli. Rozkład normalny, co oczywiste, charakteryzuje się zbyt lekkimi ogonami zarówno po stronie zwrotów ujemnych, jak i dodatnich. Rozkład alfa stabilny z kolei ma zbyt ciężkie ogony, zdecydowanie przeszacowując prawdopodobień- stwo wystąpienia skrajnych zwrotów. Rozkład hiperboliczny i NIG w obszarze ogonów rozkładu są do siebie bardzo zbliżone i bardzo dobrze aproksymują roz- kład empiryczny. Choć rysunki dotyczą przykładowo wybranej spółki, to sytu- acja wygląda podobnie dla wszystkich analizowanych szeregów. Przedstawione w tej części wnioski są zbieżne w wynikami prezentowanymi w wielu pracach, między innymi [Tomasik i Echaust 2008; Haas i Pigorsch 2009; Kobus 2010].

Zasadniczą częścią artykułu jest porównanie omówionych rozkładów z modelem POT. Punktem wyjścia w estymacji parametrów rozkładu GPD jest wła- ściwy wybór wartości progowej u. Najczęściej wybieraną wartością jest kwantyl rzędu 90 lub 95% w zależności od liczebności próby. Inne popularne w literatu- rze podejście bazuje na analizie tzw. wykresu mean excess [Coles 2001; Bradley

Parametry rozkładu stabilnego: α = 1,683, β = –0,097, c = 1,902, τ = 0,091, normalnego: μ = 0,067, σ = 3,401, hiperbolicznego: α = 0,461, β = –0,021, δ = 1,232, μ = 0,297, NIG: α = 0,281, β = –0,021, δ = 3,157, μ = 0,307

Rysunek 2. Dopasowanie ogonów dystrybuant do dystrybuanty empirycznej dla KGHM

SUDZGRSRGRELHĔVWZR

VWRSD]ZURWX VWRSD]ZURWX

–5 –10 –15 –25 –20 0,03

0,01 0,00 0,02

SUDZGRSRGRELHĔVWZR

0,99 1,00

0,97 0,96 0,98

10 12

4 6 8 14 16 18

normalny

VWDELOQ\ KLSHUEROLF]Q\ NIG

ZN 221 Sikora.indb 26 2012-08-07 10:29:012012-08-07 10:29:01

(10)

i Taqqu 2003; LeBaron i Ritirupa 2005]. W niniejszym artykule ze względu na stosunkową niewielką liczbę obserwacji wybrano wartość progową na poziomie kwantyla 90%. W tabeli 3 przedstawiono wyniki estymacji dla parametru kształ- tu ξ.

Tabela 3. Parametry kształtu dla lewych i prawych ogonów rozkładu

Spółka

Ogon lewy Ogon prawy

ξ̂ błąd

standardowy ξ̂ błąd

standardowy

ASSECOPOL 0,197 0,157 – 0,304 0,100

CEZ 0,233 0,176 0,199 0,135

GTC 0,136 0,131 – 0,003 0,096

KERNEL 0,174 0,123 0,087 0,132

KGHM 0,150 0,134 0,214 0,144

PBG 0,053 0,121 0,004 0,134

PEKAO 0,237 0,141 – 0,057 0,114

PGNIG – 0,209 0,094 – 0,030 0,144

PKNORLEN 0,055 0,121 0,098 0,125

PKOBP – 0,035 0,121 – 0,140 0,115

PULAWY – 0,071 0,146 0,231 0,200

TPSA 0,028 0,126 0,209 0,143

TVN 0,138 0,130 – 0,086 0,112

Wyniki przedstawione w powyższej tabeli potwierdzają, że większość rozkła- dów charakteryzuje się grubymi ogonami. Widoczna jest też duża asymetria po- między lewymi i prawymi ogonami. Lewe są na ogół cięższe od prawych, co implikuje znany z literatury fakt częstszego występowania skrajnych zwrotów w okresach kryzysów niż boomów [Cotter 2006]. Najcięższymi lewymi ogonami charakteryzują się CEZ i PEKAO. Szereg zwrotów KGHM, co nie jest zaskaku- jące, ma najcięższy prawy ogon rozkładu.

Porównania pomiędzy wszystkimi omówionymi rozkładami dokonamy, ana- lizując kwantyle rzędu 0,004, 0,01, 0,05, 0,1 w lewym ogonie rozkładu i analo- gicznie 0,9, 0,95, 0,99, 0,99, 0,996 w prawym. Nietypowe kwantyle 0,004 i 0,996 zostały uwzględnione, aby określić roczne poziomy zwrotów, tj. te, które są prze- kraczane średnio raz w roku. Rysunki 3 i 4 przedstawiają różnice w ogonach po- między rozkładem NIG i GPD dla spółki KGHM. Trudno jednak w wyniku analizy wzrokowej rozstrzygnąć, który z nich lepiej przybliża rozkład empiryczny.

Aby przekonać się o jakości każdego z modeli, wyznaczono ich kwantyle i porównano z kwantylami rozkładu empirycznego. Wyniki dla spółki KGHM

ZN 221 Sikora.indb 27 2012-08-07 10:29:022012-08-07 10:29:02

(11)

przedstawiono w tabeli 4. Grubą czcionką zaznaczono kwantyl najbliższy empi- rycznemu. W trzech wypadkach najlepszym modelem okazał się GPD, a rozkład hiperboliczny i stabilny w dwóch wypadkach.

Sformułowanie bardziej ogólnych wniosków wymaga przeanalizowania ana- logicznych tabel dla wszystkich rozważanych szeregów czasowych. Jako miernik syntetyczny wykorzystano RMSE, obliczony oddzielnie dla każdego kwantyla w następujący sposób:

Rysunek 3. Wykresy Q-Q dla KGHM w ogonach rozkładów

GPD (lewy ogon)

kwantyle empiryczne

GPD (prawy ogon)

kwantyle empiryczne

kwantyle teoretyczne NIG (lewy ogon)

kwantyle empiryczne

kwantyle teoretyczne –5 –10

–20 –15 5 10 15

–5 –10

–20 –15 5 10 15

–15 –10 –5

–20

NIG (prawy ogon)

kwantyle empiryczne

kwantyle teoretyczne 10

5 15 –15

–10 –5

–20

10

5 15

ZN 221 Sikora.indb 28 2012-08-07 10:29:022012-08-07 10:29:02

(12)

13 2

teo emp

1

RMSE 1

( ) 13 ⁱ ( ) ⁱ ( )

i

Į

¦

q Į q Į ^,

gdzie qⁱ_teo(α), qⁱ_emp(α) to α-kwantyle odpowiednio teoretyczny i empiryczny, dla i-tej spółki (i = 1, …, 13). Wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli 5.

Podobnie jak w poprzedniej tabeli wytłuszczono najlepszy wynik dla każde- go kwantyla z osobna. Wyniki eksperymentu zdecydowanie przemawiają na ko- rzyść aproksymacji rozkładem GPD. Jedynie dla kwantyli rzędu 0,95 i 0,99 do- kładniejszy okazał się inny rozkład (stabilny i hiperboliczny, odpowiednio), choć w obu tych wypadkach rozkład GPD jest niewiele mniej dokładny. Dla rozkładu normalnego wartości RMSE mocno odbiegają od optymalnej dla każdego kwan-

Parametry rozkładu GPD lewy ogon: ξ = 0,150, β = 2,141 prawy ogon: ξ = 0,214, β = 1,649, NIG: α = 0,281, β = –0,021, δ = 3,157, μ = 0,307

Rysunek 4. Dopasowanie ogonów dystrybuant do dystrybuanty empirycznej dla KGHM

Tabela 4. Kwantyle rozważanych modeli dla KGHM

Rozkład 0,004 0,01 0,05 0,1 0,9 0,95 0,996

Empiryczny – 10,84 – 9,96 – 5,12 – 3,65 3,84 4,99 8,42

Normalny – 8,95 – 7,84 – 5,53 – 4,29 4,43 5,66 7,98

Stabilny – 17,16 – 10,57 – 5,14 – 3,69 3,67 4,99 9,68

Hiperboliczny – 11,24 – 9,15 – 5,45 – 3,85 3,88 5,35 8,73

NIG – 12,03 – 9,51 – 5,4 – 3,76 3,81 5,27 8,86

GPD – 12,55 – 9,57 – 5,24 – 3,67 3,85 5,09 8,77

SUDZGRSRGRELHĔVWZR

VWRSD]ZURWX VWRSD]ZURWX

–5 –10 –15 –25 –20 0,30

0,10 0,00 0,20

SUDZGRSRGRELHĔVWZR

0,99 1,00

0,97 0,96 0,98

10 12

4 6 8 14 16 18

GPD NIG

ZN 221 Sikora.indb 29 2012-08-07 10:29:032012-08-07 10:29:03

(13)

tyla. Rozkład alfa stabilny, jeśli pominąć rozkład GPD, zdecydowanie najdokład- niej ze wszystkich rozkładów aproksymuje kwantyle rzędu 5% i 95%. Niestety dla kwantyli bardzo wysokiego rzędu charakteryzuje się największym błędem, gdyż jego ogony są zbyt ciężkie, aby poprawnie odwzorowywać własności analizowanych szeregów czasowych. Dodatkowo brak drugiego momentu, który jest podstawą większości modeli ryzyka współczesnej teorii fi nansów, przemawia na niekorzyść tego rozkładu. Jeśli chodzi o dwa pozostałe rozkłady, to oba są zdecy- dowanie dokładniejsze od rozkładu alfa stabilnego i normalnego. Trudno jednak na podstawie przeprowadzonych obliczeń wskazać jednoznacznie, który z nich charakteryzuje się wyższą precyzją. Rozkłady hiperboliczne charakteryzuje hi- perboliczna w całej dziedzinie funkcja logarytmu gęstości. W przypadku rozkła- du NIG funkcja logarytmu gęstości jest wklęsła w okolicach wartości średniej i wypukła dla skrajnych obserwacji. Dzięki temu, wykorzystując rozkład NIG, można lepiej uchwycić zjawisko występowania grubych ogonów rozkładów stóp zwrotu. Własności te przedstawia rysunek 5.

Tabela 5. Przeciętna odległość (RMSE) kwantyli teoretycznych i empirycznych

Rozkład 0,004 0,01 0,05 0,1 0,9 0,95 0,99 0,996

Normalny 3,28 1,67 0,36 0,46 0,39 0,26 0,73 1,71

Stabilny 7,92 2,71 0,09 0,19 0,21 0,06 3,81 10,18

Hiperboliczny 1,67 0,62 0,20 0,12 0,11 0,22 0,47 0,80

NIG 1,28 0,51 0,17 0,11 0,16 0,17 0,82 1,11

GPD 1,11 0,44 0,08 0,09 0,08 0,09 0,54 0,50

Rysunek 5. Logarytm funkcji gęstości dla KGHM

hiperboliczny

0 10

–20 –10 20 –20 –10 0 10 20

NIG

x x

log f (x)

–12 –10 –8 –6 –4 –2

–10 –8 –6 –4 –2

log f (x)

ZN 221 Sikora.indb 30 2012-08-07 10:29:042012-08-07 10:29:04

(14)

Podsumowanie

W artykule podjęto problem dokładności pomiaru kwantyli rozkładów stóp zwrotu w próbie. Dokonano porównania pomiędzy rozkładami: normalnym, alfa stabilnym, hiperbolicznym i odwróconym gaussowskim, a także uogólnionym roz- kładem Pareto wywodzącym się z teorii zdarzeń ekstremalnych. Wykorzystanie tej teorii pozwala skupić się na dokładności estymacji jedynie ogona rozkładu, zamiast modelowania całego zakresu danych. Jeśli celem modelowania jest okre- ślenie poziomu straty mierzonego przez Value at Risk, to takie podejście jest w zupełności wystarczające. Szczególne korzyści takiego ujęcia wynikają z moż- liwości uchwycenia asymetrii pomiędzy skrajnymi obserwacjami leżącymi w lewych i prawych ogonach. Lewe ogony z racji bardziej burzliwych okresów spad- kowych są często cięższe od prawych.

Na próbie trzynastu dużych spółek warszawskiej giełdy z różnych sektorów dokonano porównania dokładności pomiaru typowych kwantyli rozkładu. Otrzy- mane wyniki pozwalają stwierdzić, że najdokładniejszym modelem jest rozkład GPD, najlepiej aproksymujący kwantyle empirycznych rozkładów stóp zwrotu.

Jedynie dla dwóch z ośmiu analizowanych kwantyli nieznacznie lepsze wyniki dało stosowanie innych rozkładów. Nie tylko dokładność jest atutem tego podej- ścia, ale również prostota. W przeciwieństwie do czteroparametrycznych rozkła- dów stabilnych, hiperbolicznych i NIG, rozkład GPD ma jedynie dwa parametry do estymacji, co z ekonometrycznego punktu widzenia jest nie do przecenienia.

Kwantyle tego rozkładu, a w konsekwencji VaR i Expected Shortfall (nieanalizo- wane tutaj) można w przeciwieństwie do pozostałych przedstawić w postaci ana- litycznej, preferowanej w praktycznych zastosowaniach. Kolejnym atutem jest możliwość innej niż poprzez pierwiastek kwadratowy agregacji czasowej VaR.

Banki są zobowiązane do wyznaczania ryzyka dla pozycji utrzymywanych przez 10 dni. VaR liczona na podstawie dziennych danych wymaga właściwego sposo- bu agregacji. Większość modeli stosuje regułę pierwiastka kwadratowego, jednak istnieją argumenty [Danielsson, Hartmann i de Vries 1998; Danielsson i de Vries 2000; Novak 2007] na gruncie EVT, gdzie krytykuje się takie podejście. Postu- luje się zastąpienie t wyrażeniem t^1/α. Przy założeniu, że istnieje drugi moment rozkładu (α > 2), prawdziwa jest nierówność t VaR!t^1/^ĮVaR, dla jednodnio- wego VaR. Na mocy tej nierówności agregacja czasowa VaR wykorzystująca re- gułę pierwiastka jednostkowego przeszacowuje faktyczny poziom ryzyka.

Choć zaprezentowana tu teoria zdarzeń ekstremalnych cieszy się świecie fi - nansów dużym uznaniem, to jak każda inna ma wiele słabości. Jak zostało wyka- zane w niniejszym artykule dzięki EVT możemy dokładniej i w prostszy sposób niż za pomocą rozkładów bezwarunkowych mierzyć wartość zagrożoną. Podsta- wowy problem polega na tym, że zarówno modele ryzyka, jak i modele eko- nometryczne mimo swojej złożoności są nadal zbyt proste, by objąć całą gamę

ZN 221 Sikora.indb 31 2012-08-07 10:29:062012-08-07 10:29:06

(15)

decydujących zmiennych, które kierują światową rzeczywistością gospodarczą.

Dlatego precyzyjne prognozowanie kryzysów gospodarczych, momentu ich wy- buchu, zasięgu i skutków jest nieosiągalne.

Bibliografi a

Barndorff-Nielsen, O.E., 1977, Hyperbolic Distribution and Distribution on Hyperbolae, Scandinavian Journal of Statistics, vol. 5.

Barndorff-Nielsen, O.E., 1998, Process of Normal Inverse Gaussian Type, Finance and Stochastics 2, s. 41–68.

Balkema, A.A., Haan, L. de, 1974, Residual Life Time at Great Age, Annals of Probabili- ty, vol.2, no. 5.

Bradley, B.O., Taqqu, M.S., 2003, Financial Risk and Heavy Tails, w: Rachev, S.T. (ed.), Handbook of Heavy-tailed Distributions in Finance, North Holland.

Coles, S.G., 2001, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Springer- -Verlag, London.

Cotter, J., 2006, Extreme Value Estimation of Boom and Crash Statistics, The European Journal of Finance, 12, no. 6–7, s. 553–566.

Danielsson, J., Hartmann, P., Vries, C.G. de, 1998, The Cost of Conservatism: Extreme Returns, Value at Risk, and the Basle „Multiplication Factor”, Risk, January.

Danielsson, J., Vries, C.G. de, 2000, Value at Risk and Extreme Returns, Annales d’Eco- nomie et de Statistique, no. 60, October.

Doman, M., Doman, R., 2009, Modelowanie zmienności i ryzyka, Ofi cyna, Kraków.

Eberlein, E., Keller, U., 1995, Hyperbolic Distributions in Finance, Bernoulli 1, s. 281–299.

Fisher, R.A., Tippett, L.H.C., 1928, On the Estimation of the Frequency Distributions of the Largest or Smallest Member of a Sample, Proceedings of the Cambridge Philoso- phical Society, 24, s. 180–190.

Haas, M., Pigorsch, C., 2009, Financial Economics, Fat-tailed Distributions, w: Meyers, R.A.

(ed.), Complex Systems in Finance and Econometrics, Springer, New York.

Kobus, P., 2010, Uogólnione rozkłady hiperboliczne i rozkłady α-stabilne w modelowaniu stóp zwrotu podstawowych indeksów WGPW, w: Tarczyński, W. (red.), Rynek kapita- łowy, Wydawnictwo Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin, s. 417–430.

Küchler, U., Neumann, K., Sørensen, M., Streller, A., 1999, Stock Returns and Hyperbo- lic Distributions, Mathematical and Computer Modelling 29, s. 1–15.

LeBaron, B., Ritirupa, S., 2005, Extreme Value Theory and Fat Tails in Equity Markets, International Business School, Brandeis University, June.

Lévy, P., 1925, Calcu des Probabilities, Gauthier Villars, Paris.

Malevergne, Y., Sornette, D., 2006, Extreme Financial Risk, Springer-Verlag, Berlin.

Mandelbrot, B., 1963, The Variation of Certain Speculative Prices, Journal of Business, 36, s. 394–419.

ZN 221 Sikora.indb 32 2012-08-07 10:29:072012-08-07 10:29:07

(16)

Novak, S.Y., 2007, Measures of Financial Risk and Market Crashes, Theory of Stochastic Process, vol. 13 (29), no. 1–2.

Resnick, S.I., 1997, Heavy Tail Modeling and Teletraffi c Data, Annals of Statistics, vol. 25, no. 5.

Tomasik, E., Echaust, K., 2008, Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa w modelowa- niu empirycznych stóp zwrotu akcji notowanych na GPW w Warszawie, w: Sikora, W.

(red.), Z prac Katedry Badań Operacyjnych, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań, s. 34–66.

A COMPARISON OF EXTREME VALUE THEORY AND

UNCONDITIONAL DISTRIBUTIONS FOR DETERMINING VALUE AT RISK – CASE STUDY

Summary: In this paper Extreme Value Theory is applied to estimate low and high quan- tiles of profi t-loss distribution. Results are compared to four unconditional return distributions: Gaussian, Stable, Hyperbolic and Normal Inverse Gaussian. We study the daily return distributions for thirteen stocks of the Warsaw Stock Exchange. This paper gives empirical evidence that EVT is a much better choice for describing tail behavior of fi nan- cial time series than unconditional distributions of returns.

ZN 221 Sikora.indb 33 2012-08-07 10:29:072012-08-07 10:29:07