M . P . RUDZKI.
O K S Z T A Ł C I E
F A L I S P R Ę Ż Y S T E J
W PO K ŁA D A C H ZIEM SKICH.
W K R A K O W I E .
NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.
S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K S IĘ G A R N I S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z E J P O L S K I K J .
NOWSZE WYDAWNICTW A
A K A D E M I I U M I E J Ę T N O Ś C I
WYDZIAŁU MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZEGO.
P a m i ę t n i k A k a d e m i i U m i e j ę t n o ś c i . W y d z i a ł m a t e m a t y c z n o - p r z y r o d n i c z y . T o m XVIII. 4°, str. 243, z 27. ta b lic a m i i liczn em i r y c in a m i w tek ście. C ena 5 złr.
R o z p r a w y A k a d e m i i U m i e j ę t n o ś c i . W y d z i a ł m a t e m a t y c z n o - p r z y r o d n i c z y . S e ry a II. to m X, ogólnego z b io ru tom XXX, 1896, w 8 ° d u żej, s tr. 403, z 12 tab lica m i i 22 ry c in a m i w tekście. C en a 6 złr. ■
E. B a n d r o w s k i: O u tle n ie n iu p a ra fe n ile n o d w u a m in u , lex. 8 ° s tr. 13. C en a 20 c t.
— O św ie c en iu po d czas k ry sta liz a c y i, lex. 8 -o, str. 8 . C en a 10 ct.
A. B e c k : O z m ia n ac h c iś n ie n ia krw i w ży łach , lex. 8 °, s tr. 40, z 20 ry c in a m i w tek ście. C ena 70 ct.
— P o m ia ry p o b u d liw o śc i ró ż n y ch m iejsc n e rw u za p o m o cą ro z b ro je ń k o n d e n sa to ra . lex . 8 -o, s tr. 13. C en a 20 ct.
A. B e c k i N. C y b u l s k i : D alsze b a d a n ia z ja w isk e le k try c z n y c h w k o rz e m ó z gow ej, lex . 8 -o, str. 84, z ta b lic ą i 17 ry c in a m i w tek ście. C e n a 1 złr.
L. B i r k e n m a j e r : M arcin B ylica z O lk u sza o ra z n a rz ę d z ia a stro n o m ic zn e , k tó re z a p is a ł U n iw e rsy teto w i Ja g iello ń sk iem u w r o k u 1493, z 12 ry c in a m i w tek ście lex. 8° str. 163. C ena 1 11. 50 ct.
— W y zn aczen ie d łu g o ści w a h a d ła se k u n d o w eg o w K rakow ie, o ra z d w ó ch in n y c h m iejsco w o ściach W. K sięstw a K rakow skiego, lex. 8-o, str. 6 8 . Cenm 80 ct.
— O w p ły w ie te m p e ra tu ry n a r u c h zegarów , a z w łaszcza c h ro n o m e tró w , le x . 8 -o, str. 36. C en a 50 ct.
C y b u l s k i i Z a n i e t o w s k i : D alsze d o św ia d c ze n ia z k o n d e n s a to ra m i: Z ależn o ść p o b u d z e n ia n e rw ó w od en erg ii ro z b ro je n ia , lex. 8 ° str. 5. C en a 10 ct.
B. D ę b s k i : O b u d o w ie i m ec h an iz m ie ru c h ó w liści u m a ra n to w a ty c h . lex. 8 -o, s t r . 109, z d w ie m a ta b lic a m i. C ena 1 złr. 25 ct.
S. D i c k s t e i n : O ro z w ią z a n iu k o n g ru e n cy i a" — ay" = 0 (m od M) lex . 8° str. 5.
C en a 10 ct.
— H o en e W ro ń sk i, je g o życie i dzieła, lex . 8 -o, s tr. 368. Z p o rtre te m W ro ń sk ieg o i p o d o b izn ą jeg o pism a. C en a 4 złr.
—• W iad o m o ść o k o resp o n d en c y i K o ch ań sk ieg o z L eib n icem , l e x 8 -o, str. 9 . C en a 10 ct.
B. E i c h l e r i M. R a c i b o r s k i : N ow e g a tu n k i zielen ic. 8° s tr . 11 z tab licą . C en a 20 ct.
B. E i c h l e r i R. ( ł u t w i ń S k i ; : De n o ń ń u llis sp e c ie b u s a lg a ru m n o v a ru m . lex.
8 ° s tr. 17, z 2 tab lica m i. C en a 40 ct.
T. E s t r e i c h e r : Z ac h o w a n ie się ch lo ro w co w o d o ró w w n izk ich te m p e ra tu ra c h , lex . 8 -0 , str. 6 . C ena 10 c t.
— O c iś n ie n ia c h n a s y c e n ia tlen u , lex . 8-o, s tr. 18. C en a 25 ct.
E. G o d l e w s k i : O n itry lik ac y i am o n ia k u i źró d ła ch w ę g la p o d czas ż y w ie n ia się fe rm e n tó w n itry fik a cy jn y ch , lex. 8 -o, str. 53, z d w ie m a ry c in a m i w tek ście.
C en a 60 ct.
W. G o s i e w s k i : 0 p rz ek sz tałc en iu n a jp ra w d o p o d o b n ie jsz e m c ia ła m a te ria ln e g o . lex. 8 “, str. 13. C en a 20 ct.
J. G r z y b o w s k i : O tw o rn ice c ze rw o n y c h iłó w z W adow ic, lex . 8 -o, s tr . 48, z c z te re m a tab licam i. C ena 80 ct.
J. T a l k o - H r y n c e w i c z : Z ary sy leczn ictw a lu d o w eg o n a R u si p o łu d n io w ej, lex.
8 ° str. 461. C e n a 3 złr.
E. J a n c z e w s k i : C lad o sp o riu m h e rb a ru m i jeg o n a jp o s p o litsz e n a zb o żu to w a rzy sze, lex. 8°, str. 45 z 4 tab licam i. C en a 1 złr.
— Z aw ilce. C zęść III. lex. 8°, s tr. 20, z tab licą . C en a 40 ct. — C zęść IV. z d w ie m a tab licam i, s tr, 26. C ena 50 ct.
M . P . R
u d z k i.
O K S Z T A Ł C I E
F A L I S P R Ę Ż Y S T E J
W POKŁADACH ZIEMSKICH.
" s r * -
W KRAKOWIE.
NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.
S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K S IljG A U N I S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z E J P O L S K I E J .
Osobne odbicie z T om u X X X III. R ozpraw W y d ziału m atem atyczno-przyrodniczego A kadem ii U m iejętności w K rakow ie.
TT
V "
"
W K r a k o w i e , 1898. — D r u k a r n i a U n i w e r s y t e t u J a g ie l lo ń s k i e g o , p o d z a r z ą d e m J . F i l i p o w s k i e g o .
0 kształcie fali sprężystej w pokładach ziemskich.
Przez
M. P . R U D Z K IE G O .
(Rzecz przedstaw iona n a posiedzeniu W ydziału m atem .-przyr. z d n ia 6 . g ru d n ia 1 897.
R eferow ał czł. Natanson).
>-<££-<---
W edle Milne’a 1) spostrzegane okresy drgań w trzęsieniach ziemi wynoszą od x/ 15 sek do 20 sek. W razie prędkości, wynoszącej tylko 1500 kilom, na sek. najkrótszem u okresowi (Y1B sek.) odpowiada d łu gość fali około 100 metrów.
W porównaniu z ta k wielką długością fal seismicznych rozmiary ziarn, z których składają się krystaliczne i inne pokłady są ta k bardzo małe, źe różnice oryentacyi oraz sprężystych własności różnych ziarn nie mogą mieć wpływu na sposób rozprzestrzeniania się fal seismicz
nych. Niema chyba wątpliwości, że gneissy, granity, lawy, piaskowce 1 wogóle wszystkie pokłady muszą się wobec tak długich fal seism i
cznych zachowywać ja k ciała jednolite, źe zatem w teoryi trzęsień ziemi, należy najczęściej uważać ich współczynniki sprężystości jak o wielkości od miejsca niezależne.
N aturalnie w takim razie, gdy natura pokładu zmienia się w pe- wnem miejscu zupełnie [n. p. gdy wapienny pokład w pewnej swojej części przechodzi w marmur] należy uważać współczynniki sprężysto
ści za funkcye miejsca.
Powiedzieliśmy, że wobec długich fal seismicznych należy uważać pokłady jak o ośrodki jednolite; ale jednocześnie zastrzegamy się, źe nie wszystkie pokłady mogą być uważane jak o ośrodki izotropowe. W po
*) On seism otogical Investigation- Rep. on the 66 m eeting of the B rit. Ass. ( L i verpool 1896) pp. 181. i nast.
1
ä M. P. EUDZKt. [ä?8]
kładach u warstwowanych często daje się spostrzegać pewne zoryentowa- nie ziarnek, tak np. blaszki miki w gneissie są zwykle ułożone równo
legle do płaszczyzn uwarstwo wania; w ogóle budowa uwarstwowanych pokładów jest inna wzdłuż a inna w poprzek warstw.
Przypom nijm y też znany takt, że przewodnictwo cieplne skał jest niejednakowe wzdłuż i w poprzek warstw, co wyraźnie dowodzi, że fizyczne własności uwarstwowanych pokładów nie są od k ierunku nie
zależne. Nareszcie zauważmy i to, że pokłady, osobliwie głębsze, znaj
dują się często pod wielkiem a przytem nie wszechstronnie jednakowem ciśnieniem, wiadomo zaś, że n. p. izotropowe ośrodki poddane nieje
dnakowemu z różnych stron ciśnieniu nabyw ają własności ośrodków podwójnie załam ujących.
W ośrodku izotropowym fala sprężysta ma kształt k u listy ; ja k i bę
dzie jej kształt w ośrodku elastycznym podwójnie załam ującym ? Kształt ten niekoniecznie musi być taki sam, ja k w ośrodku optycznie podwójnie załam ującym ; albowiem niektóre w arunki, które w optyce muszą być koniecznie spełnione, nie są obowiązujące w ośrodkach elastycznych.
N ajbardziej interesujące są ośrodki jednoosiowe, albowiem uw ar- stwowane pokłady oraz pokłady zalegające poziomo pod pionowem ci
śnieniem muszą zachowywać się w podobny sposób ja k ośrodki je
dnoosiowe. Zbadam y taki ośrodek nieco dokładniej, ponieważ zaś cho
dzi tylko o kształt fali, więc możemy pominąć absorpcyę, dyspersyę i t. d.
Wiadomo, że potencyał sił sprężystych podwójnie załamujących nieabsorbująoyeh ośrodków, jeżeli założymy, że osie sym etryi ośrodka są równoległe do osi spółrzędnych, ma kształt następujący:
I W = 1 {Ee2-\-F f2 -|- Gg2 jr 2 E t fg Ą-2Flge-\- 2 Q 1ef-\- A a 2 -j- B h 2 + Cc2}
gdzie W oznacza potencyał
Ę , E, Q . . . . A x . . . .
są stałe współczynniki sprężystości danego ośrodka; gdzie dalej:
3u 3v 3w
% 9 = a ;
9 w 9v 7 3u 3 w 3v 3u
d = ——- 4 - —— b = —— C — —— -4- -r—
3y 9 z 3 z 3 x 3x 3y
wreszcie n , v , są przesunięcia w kierunkach x , y, z. Ponieważ chcemy rozważać kształt tali w ośrodku jednoosiowym, przeto trzeba, aby dwa z pomiędzy kierunków a;, y, z, dajm y na to kierunki x i y , nie były od siebie różne, t. j. musimy założyć:
[379] O KSZTAŁĆ IB FALI SPRĘŻYSTEJ. 3
F = E B — A. F x — E x . I I
W skutek tego W przybiera następującą postać:
w = I lE (ß2 + / 2) + G g 2 + 2 Ą (,f g + g e ) + 2 Gx e f +
vl(a* + 6') + 0c:] (I* ) Prócz tego kształt potencyału nie powinien się zmienić, gdy obró
cimy osie X i y naokoło osi z o dowolny kąt w. Załóżmy, żeśmy w y
konali ten obrót i oznaczmy spółrzędne oraz przesunięcia względem no
wych osi przez x x y x sx oraz ux vx wx i t. d. O trzym am y:
x x = x cos w -|- y sin w y t = — x sin u -+- y cos w zx ~ 3
x — xx cos w — y x sin w y = x, sin o -f- y x cos m z = zx
ux = u cos to -]- v sin w i odw rotnie:
D a le j:
— u sin to -f- v cos w i odw rotnie:
u Mi cos (o — tn sin u v — ux sin w -p vx cos w w = vu .
I I I
IV wskutek tych związków m am y:
ex — e cos w — f sin w f x = e sin w -f- f cos w
9i = 9
ax = a. cos w -f- b. sin to bx = b. cos to — a sin w
cx — e cos 2(0 + (e—f ) sin Sto
Potencyał sił elastycznych powinien mieć względem nowych osi ten sam kształt jak względem daw nych, a zatem powinno b y ć :
W = { E (ex2 -|- f \ ) -j- G gx -j- 2 E X { f xg x + gxe^) + 2 G X ex f x -j- + ^ ( ai 2 + <V) + Gcx!]
4 M. P . RUDZKI. [380]
Podstawmy tu wartości ze wzorów IV , otrzym am y:
t + / ' ) + + A(a* + 6*) + Cc*]
+ \ ( E — G1 — 2C) sin 2w [c2 — (e — / ) 2] sin 2<o — c (e — f ) cos 2w}
Skąd widać, że na to, aby potencyał W był od k ąta co nie zależny, trzeba, aby było:
0 1 — E — 2 0 , V
jest to w arunek konieczny i zarazem dostateczny. A zatem potencyał sił elastycznych ośrodka podwójnie załam ującego jedno-osiowego po wpro
wadzeniu zw iązku V będzie:
W = \ [E(e + f y + Gg2 + 2 E X (ge + g f ) + A O2 - f b2) +
(I**) + 0 ( c * - 4 c / ) ] .
W tern w yrażeniu mamy pięć stały ch :
E G Ą A i C .
Ze względu na znaleziony powyżej kształt potencyału, równania różniczkowe, którym muszą czynić zadość drgania, odbywające się w da
nym ośrodku, będą m iały kształt:
gdzie p oznacza gęstość ośrodka Ponieważ wedle założenia gęstość bę
dzie stała, przeto możemy podzielić równania przez p, i pisząc zamiast:
— znów poprostu EE zam iast:
— ...C P
otrzym am y rów nania:
[381] O K SZTAŁCIE FA L I SPRĘŻY STEJ. 5
G dyby ośrodek by ł optycznie podwójnie załam ujący, musielibyśmy Wiadomo z doświadczenia, źe drgania świetlne są poprzeczne, tymczasem drgania odpowiadające równaniom V I nie są ani wyłącznie podłużne, ani wyłącznie poprzeczne, ale jednocześnie poprzeczne i podłużne. A by otrzym ać wyłącznie poprzeczne drgania, musimy w optyce zrobić zało
żenie, źe między stałemi, figurującemi w równaniach VI, zachodzą zw iązki:
Jeżeli te związki istnieją, wtedy przez różniczkowanie, dodawanie i odej
mowanie z rów nań V I łatwo otrzym amy równania:
zaś \ \ -§"( oznaczają składowe skrętu elementu, przyezem
wprowadzić jeszcze pewne nowe związki między stałemi A Ct G etc.
i
G = E
E^ = E — 2 A . V II
V II I i
IX
W tych równaniach 8 oznacza przyrost objętości (rozszerzenie) jedno
stki objętości, przyezem, ja k wiadomo:
6 M. P, RUDZKI, [382]
zaś sym bol:
, g : g:
Równanie V III nie zawiera wielkości Ę, yj, £, tylko S; przedsta
wia więc fale rozrzedzenia i z goszczenia (albo powiedzmy podłużne) rozprzestrzeniające się ze stałą prędkością \ E , zaś równania I X nie za
wierają § tylko składowe skrętu Ę, v), £, będą zatem wyrażały drgania, polegające na skręcie elementu, t. j. drgania poprzeczne. Widoczną jest rzeczą, że prędkości rozchodzenia się tych drgań nie będą równe pręd
kości rozchodzenia się fal rozrzedzenia i zgęszczenia, bo równania IX naw et wcale nie zaw ierają stałej E.
Prócz założeń, wyrażonych przez równania V II musimy w teoryi sprężystej światła poczynić jeszcze pewne dodatkowe założenia, aby po
zbyć się zupełnie fal zgęszczenia i rozrzedzenia, ale te dalsze założenia, ju ż nas nie obchodzą.
Otóż pytam y się, czy w teoryi sejsmicznych drgań także należy poczynić założenia, wyrażone przez równania V II. Oczywiście położenie nasze jest zgoła inne, aniżeli w elastycznej teoryi. światła. Tam m u s i m y zrobić założenia V I I , bo inaczej nie otrzym amy wyłącznie po
przecznych drgań, rozchodzących się oddzielnie od podłużnych; poprze
czne zaś drgania są nam koniecznie potrzebne, bo doświadczenia niezbicie dowodzą źe drgania świetlne są wyłącznie poprzeczne. Tu dzieje się wprost inaczej: nie znamy ani jednego faktu, ani jednego doświadczenia, na podsta
wie którego moźnaby twierdzić, że w trzęsieniach ziemi oddzielnie rozcho
dzą się drgania podłużne a oddzielnie poprzeczne. W prawdzie często czy
tam y w rozprawach o trzęsieniach ziemi o oddzielnem rozchodzeniu się drgań podłużnych i poprzecznych ale li tylko dlatego, że wśród uczonych, zajm ujących się trzęsieniami ziemi, panuje mniemanie, jak o b y wszystkie ośrodki, czy to izotropowe czy nieizotropowe, oddzielnie przewodziły po
dłużne a oddzielnie poprzeczne drgknia. To mniemanie jest słuszne, je
żeli chodzi o ośrodki izotropowe, ci tedy, którzy uważają pokłady ziemskie za ośrodki izotropowe m ają racy ą mówić o oddzielnem rozchodzeniu się drgań poprzecznych i podłużnych; ale ci, którzy tej hypotezy izotropii nie staw iają, nie m ają zgoła żadnego słusznego powodu mówić o od
dzielnem rozchodzeniu się poprzecznych i podłużnych drgań.
Skoro zaniechamy w arunki V II, nie otrzymamy ani drgań wy
łącznie podłużnych ani drgań w yłącznie poprzecznych, tylko drgania mieszanego charakteru.
Postaram y się teraz zbadać kształt fali w naszym ośrodku. W tym Cplu użyjem y metod podobnych do ty c h , które byw ają używane w optyce.
[388] Ö KSŻTAŁCJB FA L I SPRĘŻY STEJ. 3 Oznaczmy przez Z, m, n dostawy kierunkow e „czoła“ fali; przez
X , p , v dostawy kierunkow e kierunku drgania, przez F prędkość fali, zaś przez Ü i lt pewne stałe i weźmy cząstkowe całki równań V I:
\ —i k (&r + wy + nz — , Vt)
?/*j ~ R \ . tt !; 'v"C \ -Z yFTz/e (Za; + + «z — F#) X c, = lt u. e
\ —i k (lx + my + nz — Vt)
w± = R v . e l
Podstaw iam y te wartości we wzory V I, a po podstawieniu skróćmy przez
wspólny czynnik: v ^ „ifrigi-ó ;5|
\j—l k (lx -j- my Ą- nz — Vt) R e
O trzym am y po skróceniu następujące rów nania:
(El2 4 Cm2 + A n 2 — V2) X +'■ ( E — fi) Zm p + (E1 + A) ln v = o
( E — ć?) Z«łX -f- {Ol2 + E m2 I Jre2 — F 3) p + {Et -\-A) m n t — o X I (A\ + X) ZnX {Ei + A ) m n p -f- [ A (Z2 1 m 2) -j- G n2 — F 2] v = o R ugując z tych ró w n ań : X, p, v otrzymamy równanie:
Ü j — F 2 , i V JV
i f
. I L2 V 2.»
Z ,
= o X II
w którem :
/ / , = /i-?2 + C m 2 + X n 2
i? 2 = OZ2 + Ern2 + X n2
X I I I Z/;! =? X (Z2 i ?/t-. t frn2
L = (&j - f X) wh M = ( j^ ~p X) In N = { E — (7) Im .
Równanie X I I je st dobrze znane, wiadomo, źe jego pierw iastki' są zawsze rzetelne, jeżeli tylko wielkości H x H 2 L . . . . . są rze
telne, co tak jest oczywiście w tym przypadku. Zauw ażm y; źe jednak ujemne pierwiastki tego równania prowadzą do urojonych wartości F (bo F w ystępuje tylko w kwadracie) a zatem tylko dodatnim pierwia
stkom tego równania odpow iadają rzetelne wartości prędkości F Dla nas osobliwy interes ma ten specyalny przypadek g d y :
• albo l = o . m
*) W iadom o, że co się tyczy ośrodków izotropowych, to w aru n k i V II są ;zawsze spełnione (prócz tego jeszcze C = Ä).
Ś M. i». r u d z k i. [384]
W eźm y n. p.:
m = o w te d y :
L = o N = o l2 + n 2 = 1
H t = E l2 + A n 2 H2 = C'P + yln2 H 3 = A l * + G n2 . Zaś równanie X I I rozpada się na dwa rów nania:
V 2 — = o i
( F 2 - Ą ) ( F 2 - H z) - M 2 = o Z ostatniego ró w n a n ia:
2 V * = H t + H s ± \ { H 1 - H 3)2 + 4 M 2 .
Oczywiście pierwiastek ró w n an ia;
V 2 — 1I2 = o
i pierwszy pierwiastek równania kwadratowego są dodatnie, albowiem H x H s . . . są dodatnie z powodu, że s ta łe : E, O, A , G i -Z?x są dodat
nie, ale drugi pierw iastek równania kw adratowego jest odjemny, gdy:
( Ą + < (# 1 + t. j. gdy
Ą Ą c J f ' , t- j- gdy
X (£ F + G n1) < [E1 [El + 2 A ) - F G ] P w2, co wcale nie je st niemoźebne.
Jeżeli otrzym ane trzy wartości dla V 2 n. p. Ft 2 F22 F32 napo- wrót podstawimy w równania X I, to uwzględniając znany zw iązek:
i 2 + p.2 + v2 = 1,
otrzym amy trzy systemy wartości na 7., p., v , odpowiadające trzem war
tościom F 2.
Załóżmy, że można uważać źródło drgań jako pewien punkt, dalej załóżmy, że środek spółrzędnych znajduje się właśnie w tern źródle;
t. j. źródło drgań jest to p u n k t:
x — o y — o z = o .
Co do kierunków osi spółrzędnych już na początku założyliśmy, że są one równoległe do osi sy m etry i ośrodka.
Tedy wedle założenia drgania rozchodzą się z p u n k tu : x = y — z = o
[3 8 5 } b KSZTAŁCIE PA L I S P R Ę Ż Y S T E ! 9
na wszystkie strony. A by znaleźć kształt fali, musimy poszukiwać po
wierzchnię owijająca wszystkie elem entarne płaskie fale, t. j. powierz
chnię ow ijającą płaszczyzny:
lx -f- my + nz = V ( t — t0)
gdzie na t — t0 przyjm ujem y pewną stałą w artość; co zaś do l , m , w, to te dostawy mogą przyjm ować wszelkie wartości zadość czyniące związkowi:
P -f- np -j- rP — 1 .
Ponieważ t — t0 oznacza odstęp czasu, który upłynął od chwili t0 , pe
wnej fazy (S) d rg a ń , w źródle drgań aż do tej chwili #, w której ta sam a faza (8) drga w pewnej odległości od źródła drgań (powiedzmy od ogniska drgań), więc możemy ten odstęp czasu oznaczyć zupełnie dowolnie. Załóżmy n. p. dla ułatwienia dalszych rachunków, że:
t f0 = 1
Zauw ażm y teraz, źe z powodu własności naszego ośrodka powierz
chnia falowa musi być powierzchnią obrotową, co zresztą widać już ze wzorów X I, X I I i X III. Osią obrotu je st oś s-ów. A zatem można znów wprowadzić uproszczenie do naszych rachunków od razu rozwa
żając kształt przecięcia się powierzchni falowej z jed n ą z płaszczyzn zx lub zy. W eźm y n. p. przecięcie się z płaszczyzną ssc; wtedy m amy:
y = o m = o oraz:
P + V = 1 .
Jednocześnie zadanie sprowadza się do znalezienia krzyw ej owijającej p roste:
lx -j- nz = V . Ponieważ m am y związek:
P -f n2 = 1,
więc właściwie tylko jeden param etr l albo n je st niezależny. A zatem otrzym am y krzyw ą owijającą, jeżeli w równaniu:
lx -j- nz = V
w yrazim y l przez n , zaś następnie w yrugujem y n z rów nań:
- - (Ix Ą- nz — V ) = o d dn
i
lx -j- nz — V = o
2
i o M. V. RUDZKI. [386]
Ale
31 n
3 n = l
a zatem możemy napisać poprzednie równania pod kształtem : 3 V
X IV
przyczem :
- x n 4- Iz = l . 3 n lx nz = F
l = \ j l - n *
F unkcyę F należy podstawie z rów nania: X II, które, jeżeli m — o
rozpada się, ja k to wyżej było w skazane, na dwa rów nania:
F2 - H 2 = o i
( F2 - S j ) ( F2 - E 2) - Jlf2 = o . Oznaczmy którekolw iek z tych rów nań przez
f = °
i obliczmy 3 V . Z akładając, że niezależna zmienna jest n, otrzymamy
3n 3 F 3n 3 1 3n ale ponieważ
91 n
3n l
wiec można napisać:
a / , <ZF
ab g /
3 V
Z tego równania i z ró w n a ń : X IV otrzymujem y:
( — x n -j- U) = n — — l co można też napisać:
[3871 O KSZTAŁCIE FA L I SP RĘŻY STEJ. 11 Oznaczając przez o pewien czynnik proporcjonalności, możemy to ostatnie równanie rozdzielić na dwa następujące rów nania:
9 / 3 /
X V
Pomnóżmy pierwsze równanie przez l; drugie przez n \ następnie dodajm y je do siebie, otrzym am y ze względu na zw iązki:
P + n 2 = 1 o ra z :
lx -f- nz = V następujące ró w n an ie:
d f a r
d f .91
d f 9n •
Ale teraz skorzystajm y z tego, że / w obu p rzy p ad k ac h 1) jest funkcyą jednorodną wielkości V , l i n a zatem :
gdzie i — 2 albo i — 4 stosownie do tego, czy zamiast f podstawiamy pierwszą czy drugą funkcyą, którą ten symbol przedstawia. Ale
/ = „ a zatem :
Tedy z równania X V wypada:
* = *
XV*
To są ostateczne równania, z których wyprowadzimy równanie powierz
chni falowej.
Podstawimy w te równania najpierw :
Cl2 — A n 2 — o , X V I
') t. j. i w tedy, gdy / = 7* — = o i gdy / = (7 * - J / J (7* - 5 , ) - 1P = p
1 2 M. P . RUDZKI . [3 8 8 ]
uwzględniając przytem rów nanie:
lx + nz — V . Z równania X V I w y p a d a :
9/- = - 2 A n 9n
% =
Równania zaś X V ze względu na:
lx + nz — V ,
po podstawieniu wartości pochodnych: — etc. będą te ra z :3 f lxz + n (z2 — A) = o
nxz -}- l (* 2 — G) — o .
W yrugow aw szy z tych równań stosunek: , otrzym am y równanie ellipsy:
A zatem powierzchnia falowa, odpowiadająca ró w n a n iu : V 2 — H 2 ^ o
jest ellipsoidą obrotową, której osią obrotu jest oś s-ów, zaś połowy osi są:
1
Gdy
w tedy elipsoida je st w kierunku z spłaszczona:
g'dJ \JC > \i A
w tedy je st w k ieru n k u z wydłużona.
Podstawm y teraz zamiast f drugą wartość tej funkcyi tj. wartość:
f = {V2 - H x) (V2 — /Ą ) - M2 = o gdzie
— E l 2 A n2 S g == AZ2 -j- G nl M — D . I n , gdzie
1) = A -j- W skutek tego otrzym am y teraz:
[389] O KSZTAŁCIE FA L I SP R Ę ŻY ST EJ. 13
3 /
51 = 2 Z [ - F 2(A + E) + 2AEP + (A* + E G - D
^ = 2« [ - F 2(A + <y) + 2A(?»2 + (A2 + ^(? - i ) ' ) Z']
5 f
g F ' ■ 4 V S — 2F [(A I- E) P + (A + G) n2 Załóżmy dla uproszczenia:
A 2 + G E - D 2 = 2 /?2;
następnie w yrugujm y z powyższych wyrazów F przy pomocy równania:
lx + nz = F otrzym am y:
^ = 2 ^[AA-E/ — (A + S)£c2] £2 — 2( A -|- S ) zzZm + [2i£2 — ( A + ^ ) a 2j w2)
^ = 2 » {[2^"2- ( A + (?) z 2) ] Z2- 2 ( A + (?) zzlw + [ 2 A(? - (A + (?) z2] m2) 5 f = 2 (lx-\-nz){ [2x2 — (A-\-E)~\P-\-4xzln-\-[2z2 — (A-f- (?)]«2 }.
Podstawm y te w yrażenia do równań XV*, oznaczm y:
l AT = ?
XVII
XVIII uporządkujm y wedle potęg g; otrzym am y:
ro <f + r, f + q + r3 = o
«o 23 + *i ? ! + «2 ? + s3 = « g d zie:
r0 = 2(zs — A) (z2—- j?) 3zx (2xs — A — E )
^ =. 2 ( ^2+ z2z2) + z2(2z2 - A - (?) + z2( 2 z 2 - A - jB) fg = z x (2e2 — A — (?)
s0 = zx (2x2 — A — E )
= 2 ( K 2+ x ‘iz 2) + x 2(2z2 — A — G)-\-z2{2xi — A — E )
Sg = 3 z x (2 z2 — A — (?)
% = 2(c2- A ) (e2- ( ? ) . W idzim y, źe
r 2 = S1
ri = 3s0 s2 — 3 rg .
T rzeba teraz wyrugować g z równań X V I I ; uczynimy to przy pomocy znanych metod. Oznaczmy dla krótkości pierwsze równanie X V I I przez:
■a ■ ? i = ° )
zas drugie przez :
92 = o
14 M. P , RUDZKI, [390]
i utwórzmy rów nania;
so<pi - ro h = 0
Oo i + d ) f , - Oo g + n ) ?2 = 0
(«o 2* + «1 g + 8a)?i - K g2 + D g + ' Oczywiście te równania są zawsze spełnione, albowiem m am y:
9i = 0 i % = o .
U porządkujm y teraz te same równania wedle potęg q , otrzym amy:
X I X
g d z ie :
X X
U11 + c i 2 g + c i 3 — °
D a g " l 22g + &'23
g 2 + 'C23 g + C33 0 7
D i = r o D — S0 r l D a = r o »2 — *0 r 2 D a == r o *3 — S0 r 3 C22 =
U h — S0 r 3 + U s ; C23 =
V 1 S s — D r 3
C3 3 = = r 2S 3 — *2 r t
s, r„
Łatw o wyrugować g z równań X IX traktując te równania tak, jak gdyby to b y ły równania liniowe z niew iadom em i:
g2 g i q° — 1
Po wyrugow aniu q otrzym amy ostatecznie:
D l 7 D a > D s
X X I D a ; C2 2 7 C2 3 — 0
D s > C2 3 7 C 33
i to je st równanie przecięcia się powierzchni falowej odpowiadającej rów
naniu :
( U * - a j = o
z płaszczyzną zx.
Podam y tu jeszcze dokładne wyrażenia funkcyj c1 1 ’ 12 etc., ale wprowadzimy przy tern nowe stałe, założymy mianowicie, że:
(X -j- E ) = 2a (A -j- O) = 2b A E = c2
X # =
Dzięki wprowadzeniu tych nowych stałych można napisać wzory dla fun- kcyi eu c12 etc. w stosunkowo krótkim kształcie. Mianowicie otrzy
mamy :
[391] O fcSŻTAŁdlSl FATA SPRĘ ŻY ST EJ. 1 5 t cn — — a* {bx2 + aa2) + {2ab -j- K 2) x i + (3c2 — a 2) a2«2
— (2 a K2 + bc2)x 2— ac2 z 2 -j- c2 K 2
(— 2 x \ b x2 + aa2) 4 (Sab — W2) te2 + (3c2 — a 2) a2
= - ( g6c2- a ^ : 2)
{ Cjs == — #2a2(&%2 + o^2) 4- rf2 a4 4- 3abx2z2 4- c2 a4
— 2at72 a;2 — 25c2 a24- c2 d 2
i c22 = — 4 x 2z 2(bx2 4- aa2) 4~ (d2 — ó2)a?44- (lOab — 6 K 2) x 2z2 X X II 4- (c2 —o2) a4—2(a(Z2 — b K 2) x 2 — 2(bc2 — a K 2) z2
4- c2d 2— K i
] j — Sa2 (&c2 + aa2) 4 - (3^ 2 — ó2) x 2 4- (5a6 — W2) a2) - ( 3 a # - 6 2 2)
ic33 = — ^ ( ß x 2 4~ aa2) -f- (3c£2 — 52)a44~ (2ab -|~ K 2) x 2 z 2 - (26Z24- a<P) a2 - 6d2a;24- d2 ^
W idzimy tu, że chociaż r i .? sa wielomianami czwartego stopnia, wie
lomiany:
c = r, s* — r„ s,
sa nie ósmego ale szóstego stopnia. Pochodzi to stąd, źe w yrazy ósmego stopnia zupełnie się znoszą, a wyrazów 7-go stopnia wcale niema. Lecz uformujmy teraz pod wyznaczniki w yznacznika X X I i sam ten wyzna
cznik ; ponieważ c . .. są 6-tego stopnia, więc podwyznaczniki powinneby być 12-go a wyznacznik 1.8-go stopnia; tymczasem podwyznaczniki są 10-tego a wyznacznik 14. stopnia. W eźm y n. p. pod wyznacznik:
2 3 C2 2 c 3 3 — c *
W yrazy 12-go stopnia będą :
16 (bx2Ą-az2) [4 x 2z 2zl — (2z* x ) 2} = o.
ponieważ zaś podwyznacznik zawiera li tylko w yrazy parzystego stopnia zatem będzie to wielomian 10. stopnia. T ak samo w samym wyznaczniku w yrazy 18. stopnia b ę d ą :
64 (bx2 4- az2) D g d z ie :
x l 2 x sz x 2 z2 2 x s z 4 x 2z2 2 x z s
x 2z 2 2xz3 z i D
W yznacznik D jest tożsamościowe równy z e ru , w skutek tego w w y
znaczniku X X I znikną w yrazy 18 stopnia; co więcej ponieważ nietylko D
1 6 M. 1». RO DŻK t. [392]
ale wszystkie pierwsze podwyznaczniki wyznacznika D są tożsamościowe równe zeru, a zatem muszą zniknąć wszystkie w yrazy 16 stopnia, albo
wiem będą one te podwyznaczniki zawierać. Ponieważ zresztą wyzna
cznik X X I zawiera tylko w yrazy parzystych stopni, zatem ostatecznie pozostanie wyznacznik 14. stopnia.
Zauw ażm y dalej, że wyznacznik X X I zawiera tylko parzyste po
tęgi zmiennych x i 3 pomimo tego, źe pomiędzy wielomianami c12 . . . są dwa, mianowicie: c12 i c23 takie, które zawierają też nieparzyste po
tęgi zmiennych * i 2. Mianowicie rzecz się ma tak, że wyrazy zawiera
jące nieparzyste potęgi wzajemnie się mnożą i dają li tylko parzyste potęgi.
W idzimy zatem, że krzyw a wyrażona równaniem X X I jest krzyw ą 14 stopnia sym etryczną tak względem osi z ja k względem osi x \ dość więc znać je j przebieg w jednym kwadrancie, aby „eo ipso“ znać prze
bieg we Wszystkich czterech kw adrantach.
Dalej łatwo się przekonać, źe wśród wyrazów 14 stopnia w rów
naniu X X I niema ani wyrazu zawierającego £»u ani też wyrazu zawie
rającego 3U , ale są wyrazy, zaw ierające:
z 12 x 2 i x 12 z2 ,
a zatem kładąc n p. x = stałej, otrzymamy na z równanie 12. stopnia;
zaś kładąc z = stałej, otrzym am y na x równanie 12. stopnia. Innem i słowy wszystkie proste równoległe czy to do osi as, czy to do osi z , przecinają naszą krzyw ą w skończoności tylko w 12 punktach — dwa zaś pozostałe punkty przecięcia się znajdują się w nieskończonej odległości. Ponieważ uw aga ta odnosi się do w szystkich prostych rów
noległych do osi spółrzędnych, a zatem oczywiście krzyw a ma wszę
dzie w nieskończoności jed n ą g a łą ź ; ta gałąź znajdująca się w nieskoń
czoności niema fizycznego znaczenia.
Poprowadźm y prostą przez środek spółrzędnych; ta prosta będzie przecinała naszą krzyw ą w 12 punktach, znajdujących się w skończo
ności ; ale z tych punktów niekoniecznie są wszystkie rzetelne ; przeci
wnie niektóre punkty przecięcia mogą być urojone [ja k wogóle całe gałęzie krzyw ej mogą być urojone]. Dalej liczba rzetelnych i liczba urojonych punktów przecięcia nie jest koniecznie dla wszystkich pro
stych jednakow a; niektóre m ają więcej rzetelnych punktów przecięcia a inne m n iej; stosunek między liczbą jednych punktów i drugich zależy od położenia prostej. Zresztą przypominamy, że liczba tak rzetelnych ja k urojonych punktów przecięcia jest zawsze parzysta i że punkty przecięcia prostych przechodzących przez środek współrzędnych leżą zupełnie symetrycznie parami. Jeżeli mamy n. p. rzetelny punkt prze
cięcia się:
[893] Ö K SZTA ŁCIE F A L I SPRĘŻY STEJ.
x = a y = b to będzie też:
x = — a y — — b .
Z tego wnosimy, źe, jeżeli weźmiemy jakikolw iek punkt x , y, w naszym ośrodku, to przez ten punkt mogą kolejno przesunąć się co najwięcej 6 powłok naszej powierzchni falow ej; ale z tych powłok niektóre mogą być wszędzie urojone, inne zaś choć rzetelne mogą właśnie dany punkt ominąć. Zatem zależnie od położenia danego punktu mogą przezeń przesunąć się 2, 3, 4, b i t . d. rzetelne powłoki powierzchni falowej t. j. innemi słow y: ta sama faza wstrząśnienia może w pewnym punkcie powtórzyć się 2, 3 i t. d. razy stosownie do tego, ja k ie położenie ten punkt zajmuje względem ogniska.
To, cośmy tylko co powiedzieli, odnosi się tylko do powierzchni falowej, odpowiadającej rów naniu:
( F * - £ i ) ( F * - Ą ) - M'* = o , bo elipsoidalna fala odpowiadająca rów naniu:
V 2 — H 2 = o naturalnie nie omija żadnego punktu.
Oczywiście wartoby bliżej zbadać kształt powierzchni falowej okre
ślonej przez równanie X X I, jednakże ze względu na to, źe to równanie jest aż 14. stopnia, postanowiliśmy tymczasem przynajmniej zaniechać dalszego badania natury tego równania i ograniczyć się do paru uwag.
Przedewszystkiem zauważymy, źe krzyw a X X I nie przechodzi przez środek spółrzędnych, albowiem wartości:
x = o z = o nie czynią zadość równaniu.
Dalej zbadam y nieco dokładniej położenie punktów przecięcia się naszej krzywej z osiami spółrzędnych. Załóżmy n. p . x = o. W tedy ze wzorów X V I II o trzym am y:
r0 = 2 A E rx — o
r2 = 2 K 2 — z 2 r3 — o
s0 = o
s1 = 2 K2 — s3(A + E ) s2 — o
sa = 2 {z2 — A) (z2 — O)
3
i
1 B to. p . B u d z K i .
a w skutek tego na mocy równań X X :
cn = 2 A E [ 2 K * - z \ A + E )}
C12 = 0
e13 — 4 A E (z2 — A) (z2 — G)
Cg, = - X) (z2- G) - [2 Z2 - z2 (X + ] 2
C23 ~ 0
egg = 2(z2- X ) ( z2- G ) [ 2 Z2- z2( X + ^ ) ] .
Skoro podstawimy te wartości w rów nanie: X X I, otrzym am y:
4X# : 2 - {^X ^(z2- X)(s2- G) - [2 ^ 2- 0 2(X + ^ )]2}2= o. X X I I I Jestto równanie 6 stopnia względem a2 Ł). Rozpada się ono na równania
z2 = A z2 = G i
^ X ^ (z2- X ) ( z2- G ) - [ 2 ^ 2- z 2(X + g)]2 = o X X IV Pierw iastki tego ostatniego rów nania, ja k to widać ze wzoru X X III, są podwójne. Z równania X X IV otrzymamy podstawiając napo wrót zamiast:
2Z 2 = X2+ G ^ - i )2
y | (X2— G E ) {A—E ) - D ? ( A + E )
X X V ( A - E f | ± 2 D \ J A E \ J G { A - E ) - ^ D *
Pierw iastki równań:
z 1 — A = o i z2 — G = o
dają cztery rzetelne punkty przecięcia osi z-ów przez naszą krzywą, mianowicie p u n k ty :
z = -j- \j a z = + y G z = — A z = — \J G
Pierwiastki kwadratowego równania X X IV jak o pierwiastki po
dwójne właściwie nie dają przecięć; odpowiadają one punktom, w któ
rych nasza krzyw a dotyka osi z-ów, ale dotknięcie następuje jednocze
*) Przypom inam y, że pozostałe dw a pierw iastki rów nania X X I leżą w nie
skończoności.
[395] O KSZTAŁCIE F A L I SPRĘŻY STEJ. 1 9
śnie z obu stron osi tak, źe w punktach przez równanie X X IV w y
znaczonych dwie gałęzie krzyw ej stykaj a się jednocześnie ze sobą i z osią z. A by jed n ak te punkty b y ły rzetelnym i punktam i, trzeba nietylko aby pierw iastki równania X X IV były rzetelne ale też ażeby były dodatnie.
Ze wzoru X X V widać, źe warunkiem rzetelności je s t:
ß(vd - # ) + Z)» > o . Znaki pierwiastków zależą od znaków wyrazów:
p = ^ + ( ^ 2 - GIB)» - 2D2( ^ 2 + oraz:
q = 2 K * ( A + E ) - 2 A E ( A + G) = ( A 2 - GE) ( A — E) — l ) 2 ( A + E ).
Od znaku wyrazu p zależy znak iloczynu pierwiastków a od znaku wyrazu q zależy znak sumy pierwiastków. Otóż łatwo je st okazać, źe q musi być ujemne. Rzeczywiście w a ru n e k :
q > o
można napisać, przestawiwszy tylko w yrazy, pod następującym kształtem:
A ( A * ~ A E - D 2) > E { G { A - E ) + D 2}
Z prawej strony tej nierówności stoi w y ra z , który musi być dodatni ze względu na tylko co przytoczony w arunek rzetelności;
z lewej zaś strony mamy wyraz ujemny, albowiem wszystkie stałe A , E, E x i t. d. są zawsze dodatnie; zaś:
D2 = (A + Ą ) 2 > A 2 . W idzim y więc, źe w a ru n e k :
q > o
nie może być spełniony, źe przeciwnie wyraz q je st zawsze ujemny i suma pierwiastków jest zawsze ujemna. Co do wyrazu
p,
nie można nic ogólnego wypowiedzieć o jego znaku. Stosownie do wartości stałych A , E : G i t. d. p może być raz dodatnie, raz odjemne. Gdy p jest dodatnie, to z powodu, źe q jest ujem ne [zakładamy, źe w arunek rzetel
ności pierwiastków jest spełniony], oba pierw iastki kwadratowego rów
nania X X IV są ujemne i nasze punkty podwójne są urojone; jeżeli zaś p jest ujemne, to jeden z pierwiastków tego równania je s t dodatni a drugi ujem ny. Ujemnemu pierwiastkowi odpowiada urojony; a dodat
niemu rzeczywisty punkt podwójny na osi z-
20 M. P. RUDZKF. [396]
Jednocześnie prżykład ten wskazuje, że szczegóły kształtu naszej krzywej w wysokim stopniu zależą od stosunków między wartościami stałych: A , E , G . . . etc.
Zupełnie to samo, co powiedzieliśmy o przecięciach naszej k rzy wej z osią ą można powiedzieć o jej przecięciach z osia x, trzeba tylko wszędzie zamiast G podstawić E i odwrotnie.
Dla pewnych specyalnych wartości stałych 4 , E i t. d. całe ga
łęzie krzyw ej wyrażonej przez równanie X X I staja się urojone albo odsuwają się w nieskończoność, zatem tracą fizyczne znaczenie, a po
została rzeczywista krzyw a staję się o wiele mniej zawiłą.
Załóżmy n. p. że rów nanie:
(F% - - #3) — = o
rozpada się na dwa liniowe ró w n a n ia; zachodzi to n. p. wtedy, g d y 1):
D 2 = (A + -E^)2 = ( E — A) (ćr — A) W tedy można nasze równania napisać w kształcie:
albo po oczywistych przekształceniach:
Oczywiście rów naniu:
V 2 — A — o,
odpowiada fala kulista, rozchodząca się z prędkością \]A, zaś rów naniu:
=, o
fala, m ająca kształt elipsoidy obrotowej. Równanie południkowego prze
cięcia tej elipsoidy będzie:
as2 z 1
Jeżeli E = G , wtedy ta elipsoida staje się kulą, ale jednocześnie natrafiamy na ten p rz y p ad ek , w którym spełnione są w a ru n k i: V II i drgania poprzeczne rozchodzą się oddzielnie od podłużnych. W tedy kulista powierzchnia falowa o przecięciu południkowem:
x 2 + z 2 = E
odpowiada drganiom podłużnym; zaś powierzchnie, których południkowe przecięcia są :
x 2 + z 2 = A
b In n e przypadki, w któ ry ch pow yższe rów nanie rozpada się n a dw a liniowe, nie budzą interesu.
[397] O KSZTAŁCIE FA L I SPRĘ ŻY ST EJ. 2 1
odpowiadają drganiom poprzecznym.
Założyliśmy, że dzięki uw arstw ow aniu, ciśnieniu i t. p. przyczy
nom niektóre pokłady należy uważać za nieizotropowe [choć nie należy uważać odstępstw od izotropii za bardzo znaczne]. Jak o przykład obra
liśmy jednoosiowy podwójnie załam ujący ośrodek ale nie wprowadzi
liśmy warunków V II w optyce niezbędnych a tu nie obowiązujących.
Znaleźliśmy, że: 1) w takim razie drgania nie są ani wyłącznie podłużne, ani wyłącznie poprzeczne, lecz m ają charakter m ieszany; 2) że powierz
chnia fali składa się z elipsoidy obrotowej i pewnej innej obrotowej wogóle skomplikowanej powierzchni; 3) że liczba rzeczywistych fal, przechodzących przez dowolnie w ośrodku obrany punkt, zależy od po
łożenia tego punktu względem ogniska, z którego wychodzą drgania, a także od względnych wartości stałych sprężystych A , E . . . i t. d.
Dodajm y na zakończenie, że mieliśmy na celu rozpatrzenie tylko pewnej specyalnej kwesty! z teoryi rozchodzenia się drgań w trzęsie
niach ziemi. Z tego powodu nie należy sądzić, aby rozpatryw any tu idealny ośrodek m iał być zupełnym dokładnym m o d e l e m pokładów ziemskich.
S. J e n t y s : S tu d y a n a d ro zk ład em i p rz y sw a ja ln o śc ią zw iązk ó w azo to w y ch w o d cho d ach zw ierzęcych, lex. 8°, str. 113, z 9 ry c in a m i. C ena 1 ztr. 25 ct.
— O w p ły w ie tle n u n a ro z k ła d zw iązk ó w a zo to w y c h w o d c h o d ac h zw ierz ęc y ch , lex . 8 -o, str. 30. C ena 40 ct.
H. K a d y i : P rzy czy n k i do a n a to m ii p o ró w n aw czej z w ie rz ą t d o m o w y ch (z ta b lic ą j e d n ą i 2 ry c in a m i) lex. 8° s tr 22. C ena 50 ct.
S. K ę p i ń s k i : O fu n k c y ac h F u c h s a d w u zm ien n y ch z e s p o lo n y c h , le x . 8 -o, s tr. 11.
C en a 20 ct.
K. K i e c k i : B a d an ia d o św ia d c za ln e n a d s p ra w ą w y d z ie la n ia w jelicie c ien k iem , lex. 8 °, str. 55. C ena 60 ct.
K. K o s t a n e c k i : B a d an ia n a d zap lo d n io n em i ja jk a m i jeż o w c ó w , lex . 8 -o, str. 4 4 . Z tab licą. C ena 60 ct.
M. K o w a l e w s k i : S tu d y a h e lm in to lo g icz n e, lex . 8 -o, Część I , z je d n ą ta b lic ą , str. 19. C en a 30 ct. —■ C zęść II. P rzy czy n ek do h isto lo g iczn ej b u d o w y sk ó ry n ie k tó ry c h p rz y w r, z je d n ą ta b lic ą i je d n ą r y c in ą w tek ście, str. 19. Cena 25 ct. — Część III. B ilh arzia p o lo n ica sp. nov., z je d n ą tab licą , str. 30. C ena 40 ct. — Część IV. B ilh a rz ia p o lo n ic a sp. nov. S p ro s to w a n ia i u z u p e łn ie n ia . Z je d n ą tab licą , str. 12. C ena 20 ct.
J. K o w a l s k i : O p ra w ie zgodności term o d y n am icz n e j w z a s to s o w a n iu do ro z tw o ró w p o tró jn y c h , lex. 8 °, str. 5. C en a 10 ct.
W. I C r e t k o w s k i : O pew nej to żsam o ści, lex. 8 ° s tr. 4. C ena 10 ct.
F. K r e u t z : O p rzy czy n ie błęk itn eg o z a b a rw ie n ia soli k u c h en n e j, lex. 8° s tr . 13.
C en a 25 ct.
L. M a r c h l e w s k i : S y n te za c u k ru trzcinow ego, Iex. 8 -o, s tr. 6 . C en a 10 c t.
A. M a r s : O złośliw ym g ru c zo lak u m ac icy (A denom a d e s tru e n s u teri) (z je d n ą tablicą) lex. 8° str. 15. C ena 50 ct.
A. M a r s i J. N o w a k : O b u d o w ie i ro z w o ju ło ży s k a lu d zk ieg o , lex . 8 -o , str. 4 9 . Z trz e m a tab lica m i. C en a 8 0 ct.
F. M e r t e n s : P rz y c zy n e k do r a c h u n k u całkow ego, lex. 8 °, str. 14. C ena 20 ct.
— O z a d a n iu M alfattego, lex. 8 °, s tr. 26. C en a 35 ct.
W. N a t a n s o n : S tu d y a n a d teo ry ą ro z tw o ró w , lex . 8 ° s tr. 38. C en a 50 ct.
— O z n aczen iu k in ety c zn e m fu n k c y i d y s y p a c y jn e j, lex. 8 °, str. 10. C en a 20 ct.
— O p ra w a c h z ja w isk n ie o d w ra c a ln y c h , lex . 8 -o, str. 28. C e n a 50 ct.
J. N i e d ź w i e c k i : P rzy czy n ek do geologii p o b rz eż a k a r p a c k ie g o w G alicyi z a c h o d n ie j, lex. 8°, str. 13. C en a 20 ct.
S. N i e m e n t o w s k i : S y n te zy zw iązk ó w c h in a z o lin o w y c h , le x . 8 °, str. 15. C en a 25 ct.
— O u tle n ia n iu zw iązk ó w c h in azo lin o w y ch , lex . 8 -o, s tr. 15. C en a 20 ct.
J. N o w a k : B a d a n ia d o św ia d c za ln e n a d etio lo g ią sk ro b ia w ic y , lex . 8 -o, s tr. 35- C en a 50 ct.
— D alsze b a d a n ia n a d b u d o w ą i ro zw o jem ło ży s k a lu d zk ie g o , le x . 8 -0 , s tr. 32.
Z d w ie m a tab licam i. C en a 50 ct.
J. N u s b a u m : P rzy czy n ek do k w esty ! p o w s ta w a n ia śró d b ło n k ó w i cia łek k rw i, lex . 8 °, str. 56, z 3 tab lica m i. C ena 1 złr.
— L y ssa i szczątk i p o d języ k a z w ierz ąt m ięso żern y ch , lex. 8 -o, s tr. 21, z je d n ą ta b lic ą p o d w ó jn ą. C e n a 35 ct.
K. O l e a r s k i : N ow y sposób c a łk o w a n ia p e w n y ch r ó w n a ń ró ż n ic z k o w y c h p ie r w szego rzęd u o d w u z m ien n y ch , lex 8 ° s tr. 11. C en a 20 ct.
K. O l s z e w s k i : P ró b a s k ro p le n ia h e lu (helium ), le x . 8 -o, s tr. 8 . C e n a 10 ct.
K. O l s z e w s k i i A. W i t k o w s k i : O w ła sn o śc ia c h o p ty cz n y ch ciekłego tle n u . Z 2 ry c in a m i, lex 8° str. 4. C ena 10 ct.
B. P a w ł o w s k i : Z teo ry i ro z tw o ró w (z d w ie m a fig u ram i w tek ście), lex. 8° str. 20.
C en a 30 ct.
G. P i o t r o w s k i : O w a h a n iu w ste c zn e m p rzy p o b u d z a n iu ró ż n y c h m iejsc tego sam ego n erw u . lex. 8 ° s tr. 31. C ena 25 ct.
F. E. P o l ż e n i u s z : 0 d z ia łan iu c h lo rk u b enzoilow ego n a k w a sy i b e zw o d n ik i k w a so w e, lex . 8 -o, str. 6 . C ena 10 ct.
J. P r u s : O cia łk ac h R u ss ella, lex . 8 -o, str. 18, z tab licą . C e n a 40 ct.
I. P u z y n a : O w a rto ś c ia c h fu n k cy i a n ality c zn e j n a o k rę g ac h sp ó łśro d k o w y ch z kołem zb ieżn o ści je j e le m en tu , lex. 8 ° str. 51. C ena 65 ct.
M. R a c i b o r s k i : C b ro m aio lilia ją d e r w o rk a zalążk o w eg o , lex. 8 ° Str. 20. C en a 30 ct.
— P rz y c zy n e k do m o rfo lo g ii ją d r a ko m ó rk o w eg o n a sio n k iełk u jąc y ch (z jed n ą tab licą), lex. 8° s ir. 11. C en a 20 ct.
— C y cad e o id e a Niedz.wiedz.kii. N ov. Sp. (z d w ie m a tab licam i), lex. 8° sir. 10.
C ena 25 ct.
— E la io p la sly lilio w a ty c h , lex. 8°, str. 22, z tab licą . C en a 40 ct.
— F lo ra k o p a ln a glinek o g n io trw ały ch k ra k o w s k ic h ; część I. — 4°, str. 101.
z 22 ta b lic a m i. C en a 3 zlr.
— P s e u d o g a rd n e ria , n o w y ro d zaj z ro d z in y L o g an iaceae, lex. 8 -o, str. 9, z ośm iu ry s u n k a m i w tek ście. C en a 20 ct.
K. R a d z i e w a n o w s k i : P rzy czy n k i do z n ajo m o ści d z ia ła n ia ch lo rk u glinow ego, lex. 8 °, str. 11. C ena 20 ct.
— O z a s to s o w a n iu glinu m eta licz n e g o do sy n tez w ęg lo w o d o ró w a ro m a ty c z n y ch , lex . 8 -o, str. 9. C en a 20 ct.
M. P. R u d z k i : P rz y c zy n e k do te o ry i fal w o d n y ch n iew iro w y ch , lex . 8-o, str. 11.
C en a 15 ct.
1. S c h r a m m : O p o łąc ze n iac h s ty ro lu z k w a se m so ln y m i b ro m o w o d o ro w y m , lex.
8 ° str. 6 . C ena 10 ct.
M. S i e d l e c k i : O b u d o w ie leu k o c y tó w o ra z o p o d ziale ich ją d e r u ja s zc zu ró w , lex . 8 -o, str. 30. Z ta b lic ą . C en a 50 ct.
L. S i l b e r s t e i n ; P o ró w n a n ie p o la e le k tro m a g n ety c zn e g o z ośro d k iem sp ręży sty m , lex. 8 °, str. 9. C en a 15 ct.
J. A. S t o d ó l k i e w i c z : K ilk a u w a g o c z y n n ik u c a łk u ją c y m r ó w n a ń ró żn iczk o w y c h , lex. 8 °, str. 7. C ena 15 ct.
W . S y n i e w s k i : O m ety lo w ę g la n a c h w ielo w arto śc io w y ch fenolów , lex. 8-o, str. 5.
C en a 10 ct.
J. S z y s z y ł o w i c z : D iag n o ses p la n ta ru m n o v a r u m ; p a rs I. lex. 8 °, str. 25. C ena 30 ct.
L. T e i c h m a n n : N a cz y n ia lim fa ty c zn e w sło n io w a cin ie (E le p h an tiasis A ra b u m ) 5 ta b lic in 4° w teczce, o ra z te k s t im p. 8° s tr. 51. C ena 3 zlr.
L. W a c h h o l z : O o zn ac za n iu w ie k u ze zw łok n a p o d sta w ie k o s tn ie n ia głów ki k ości ra m ie n io w e j, lex. 8", s ir. 44, z ta b lic ą . C ena 65 ct.
D. W i e r z b i c k i : " S p o strz e że n ia m ag n e ty cz n e w y k o n a n e w zach o d n iej części W. X.
K rak o w sk ieg o w ro k u 1891, lex. 8° str. 20. C ena 30 ct.
A W i e r z e j s k i : R o ta to ria (W rotki) G alicyi. Z 3 ta b lic a m i i 3 ry c in a m i w tekście, lex. 8° s tr. 106. C en a 1 złr. 25 ct.
A W . W i t k o w s k i : O w ła sn o śc iac h te rm o d y n a m ic z n y c h p o w ie trz a, lex. 8-o, str.
46. Z d w ie m a ta b lic a m i i 6 ry s u n k a m i. C ena 60 ct.
W ł. Z a j ą c z k o w s k i : O in w o lu cy i p u n k tó w n a lin ia ch tw o rzący ch p o w ierzch n ię p ro sto k re śln e j sk o śn ej, le x 8 -o, s tr. 23, z fig u rą w tek ście. C en a 30 ct.
I. Z a k r z e w s k i ; . O zależn o ści cie p ła w łaściw eg o ciał sta ły c h od te m p e ra tu ry , lex.
8° str. 16. C ena 30 ct.
R. Z a ł o z i e c k i : O terp en o w y ch w ęg lo w o d o rac h w n afcie, lex. 8 °, s tr. 13. C ena 20 ct.
Z a n i e t o w s k i : P o s z u k iw a n ia n a d z m ia n a m i ele k tro to n icz n e m i w po b u d liw o ści n e rw ó w , lex. 8-o, str, 47. Z d w ie m a tab lica m i. C ena 70 ct.
K. Z o r a w s k i : O lin ii w s k az u jąc ej k rz y w izn ę p o w ie rz c h n i, lex. 8 °, s tr. 16. C ena 25 ct.
— Ite ra c y e i szereg i o d w ra c a ją c e , lex. 8 °, str. 10. C ena 20 ct.
S p r a w o z d a n i a K o m i s y ! f i z y o g r a f i c z n e j o b ejm u jące pogląd n a czynności d o k o n a n e w ciąg u ro k u 1891 o raz m a te ry a ły do fizyografii k ra jo w ej. Tom XXXI, 8-o, str. XXXIX, 60, 256 i 258, z 2 -m a tab lica m i. C en a 4 złr.
S k ł a d g ł ó w n y w y d a w n i c t w A k a d e m i i z n a j d u j e s ię w K s i ę g a r n i S p ó łk i w y d a w n i c z e j P o l s k i e j w K r a k o w i e .
