Analiza pola przemieszczeń

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚL ĄS KI EJ 1989

Seria: AU TO M A T Y K A z.97 Nr kol. 975

Andrzej POLAŃSKI Konrad WOJCIECHOWSKI

ANALIZA POLA PRZEMIESZCZEŃ*^

St r e s z c z e n i e . VI pracy bsdano pola pr zemieszczeń wynikające z ru- chu kamery względem nieruchomej sceny. Podano zależność pewnych p a rametrów pola przemieszczeń od parame tr ów ruchu, ogniskowej s o cz ew

ki, szerokości kątowej obiektywu, średniej odległości zbioru pu nk

tów sceny od kamery.

1. Ws t ęp

Algo ry tm y wyznaczania parametrów ruchu na podstawie serii obrazów p r z e syłanych przez kamerę TV są ostatnio intensywnie rozwijane Q 1], [2], Q3 J , C7 J. C 81 między innymi ze wz ględu na ich rozmaite zastosowania [4], [s].

Jedną z metod proponowanych w literaturze [*2j, C 7] > L 83 polega na an al i

zie pól przemieszczeń, tzn. wyzn ac zo ny ch wcześniej w s pó łr zę dn yc h pewnej ilości od po wi ad aj ąc yc h sobie, na dwóch obrazach, punktów. Obliczanie p a rametrów ruchu przy zadanym polu pr zemieszczeń polega zawsze na m i n i m a l i zacji odpowiednie skonstruowanej funkcji celu. Ze względu na złożoność problemu mi ni malizację przeprowadza się numerycznie, w y ko rz ys tu ją c różne algorytmy op tymalizacji statycznej [2], Publikowane doświadczenia wynikające z praktycznych obliczeń wykazują jednak, że dotychczas st os o

wane postaci funkcji celu powinny ulec dalszej modyfikacji. A l g o r y t m y m i nimalizacji są bowiem często ro zb ie żne.wykazuJą też silną zależność od oddziałujących na pola pr zemieszczeń zakłóceń [ 2 3 . < C 83*

Wydaje się, że Jedną z przyczyn tego stanu rzeczy jest brak do st a t e c z nie szczegółowych badań do ty czących za le żn oś ci ''kształtu" pola pr ze m i e s z czeń od parame tr ów ruchu, a także takich czynników, jak: ogniskowa s o cz ew

ki, szerokość kątowa obiektywu, średnia odległość punktów sceny od kamery.

Niniejsze opracowanie ma na celu opisanie pewnych as pektów tych zale ż

ności.

Praca finansowana z Centralnego Programu Badań Podstawowych CP3P 02.13

"Układy ze sztuczną inteligencją do maszyn roboczych i pojazdów"

x}

(2)

92 A. Polański, K. Wojciechowski

2. Transformacje wizyjna

Oznaczmy układ ws półrzędnych zw ię za ny z poruszajęcę się kamerę przez O x y z , ogniskowę soczewki przez F. Punkty obrazu pr ze ka zy wa ne go przez ka

merę powstaję przez transformację pe rspektywicznę punktów przestrzeni Oxyz Q2j. Transformacja perspektywiczna Jest rzutem na pł as zc zy zn ę obrazu znajdujęcę się w odległości F od poczętku układu współrzędnych. Zakła

damy, że płaszczyzna obrazu jest prostopadła do osi Oz, tzn. oś Oz Jest osię soczewki kamery. Jak na rys. 1. Obrazem punktu p o współrzędnych

^*p'y p ’2 p) J Bat P unkt p nB pł as zc zy źn ie obrazu o w s p ó ł r zę dn yc h (x ,r ,F)

określonych przez zależności: P

x y

X ” F - Ł , Y = F - Ł (i)

P zp P Z p

Rys. 1. Transformacja perspektywiczna Fig. i. Perspective transformation

Na skutek ruohu kamery następuje zmiana wartości współrzędnych punktu p, nowe współrzędne oznaczamy przez p' (xp ,yp ,z^) . Rozkładając przemiesz

czenie n a obrót i translaoję otrzymuje się następujący wzór w iążący współ

rzędne p'(xp»yp»zp) i P(xp ,yp ,zp ).

(3)

Analiza pola przemieszczeń 93

X X ~A x "

p p

Y P » R

y p + A y

z_ A z

p_ ^{p _}

(2)

Wektor [Ax, Ay, A z J opisuje translację. Dla maci er zy obrotu R sto

sować będzie następujęcę parametryzację:

cos^cos'lJ’c o s v - s in tf’s i n y ; e in f c o a c o s v + c o s J ’j - s ln if 'c o s y /

-co scp co s^ sin Y - sin cfíco e ^ ; -sln<^ c o s í? ’ s i n y +coetj>; s in ty s i n

c o s y s ln i^ ; s i n s i n 1?1 ; co o ty

(3)

gdzie <f ,'d' , sę kętami Eulera.

3. Generacja pola przemieszczeń

Niech p 1 (x1 ,y1 ,z1) , p2 (x2 ,y2 < z2 ) ... Pn (xn>y n ,zn ) oznaczaję wspó ł

rzędne pewnego zbioru pu nktów w prze st rz en i Oxyz , a p^ (x'1 ,y^ ,z ') , p2^x2'^2‘z2^ p n ^ xń ' yn ' Z n^ wspó łr zę dn e tych punktów po transformacji (3). Pole p r ze mi es zc ze ń Jest złożone z w e kt or ów tworzonych przez rzuty tych punktów na płaszczyznę obrazu. Dla poczętków w e k t or ów pole p r ze mi es z

czeń mamy zatem :

y<

X » F— A , Y = F - Ł , 1 = l,2...n (4 )

Z 1 1 Z i

Końce wektorów pola pr zemieszczeń wyra ża ję się wzorami:

!<< * X 1 . Y = F - i , 1 = 1,2.. .n (5)

Z i 1 Z 1

Pola przemieszczeń pr zedstawione w niniejszej pracy na rysunkach 2-15 były wygenerowane za pomocę programu [_6]» który zo st ał o p ra co wa ny dla p o trzeb testowania algory tm ów wy zn ac za ni a pa ra me tr ów ruchu. Ge ne ra cj a pola odbywała się losowo, stosowano na st ępujęcy algorytm:

b) generuje się ws pó łrzędne x,y,z punktu przestrzeni Oxyz według wzorów

X = SCAL Ę (XMIN + (XMAX - XMIN) . (rnd( ) - l ) ) (6)

y = SCALĘ (YMIN + (YMAX - YMIN) . (rnd( ) - 1)) (7)

(4)

z = SCALĘ 1 . F(l + r n d ()) , (8)

; SCALĘ, SCALĘ 1, X M I N , X M A X , YMIN, Y M A X , sę stałymi 0 wartościach:

XMIN = -5. 0 (9)

XMAX = 5.0 (10)

YMIN = -5.0 (U)

YMAX = 5.0 (12)

SCALĘ = 5 . 0 (13)

SCALE1 = 3 . 0 (14)

Funkcja rnd( ) (funkcja biblioteczna kompilatora Aztec C ver 3.20 użytego przy pisaniu wspo mn ia ny ch programów generuje liczby double preci

sión, losowo w przedziale < 0 , 1 >

b) dla wy ge ne ro wa ne go punktu (x,y,z) wyznacza się obraz wg transformacji (3) ,

c) wyznacza się rzuty punktów przed i po transformacji na płaszczyznę oobrazu, wg wz orów (4 ), (5 ),

d) sprawdza się, czy ws pó łr zę dn e rzutów mieszczę się w zakresach odpowied

nio < X M I N , XMAX>- oraz -CYMIN, YM AX .> , W przypadku spełnienia tego warunku we kt or rzutów jest d o łę cz an y do ma cierzy pola przemieszczeń.

4. Pola obrotu i pola translacji

W przypadku, gdy wektor translacji we wz orze (3) jest zerowy, końce we kt or ów pola pr ze mieszczeń sę Je dn oznacznie określone poprzez ich po- czętki [aj. Takie pole pr zemieszczeń nazywa się polem obrotu. We ktory pola obrotu ukłedaję się wz dł uż linii (obwiedni) pola. Mogę one być łatwo wyznaczone - dla zadanego obrotu linie pola wy ni ks ję z przecięcia stożka o wi er zc ho łk u O, niez mi en ni cz eg o wzgl ęd em tego obrotu (tzn. ta

kiego, którego oś Jest Je dn oc ze śn ie osię obrotu), z płaszczyznę obrazu.

Sę to zatem rodziny linii stożkowych.

Na rysunkach 2-4 pr ze dstawione sę pola pr ze mieszczeń wynika ję ce z obro

tów odpowiednio wo k ó ł osi Oz, Oy, 0x. Linie pola przemi es zc ze ń przed

s tawianego na rys. 2 sę okręgami, a na rys. 3 i 4 parabolami. Wykonanie obrotu wokó ł osi 0x, jak na rys, 4, przy ustalonej we wz or ze (3 ) para

metryzacji ma cierzy obrotu R wymaga przyjęcia: tp=3r/2j 1?» za da ny kęt obrotu, y = -3T/2.

(5)

Analiza pola p r z e m ieszczeń 95

Również prosta jest sytuacja, gdy ma cierz obrotu R jest macierz? Jed

nostkową, a pole przemieszczeń wynika tylko z translacji. W takim pr zy

padku wektory pola, nazywanego polem translacji, ułożone są wz dł uż rodzi

ny linii prostych. Proste te maj? jeden punkt wspólny, będący przecięciem kierunku wektora translacji z płaszczyzną obrazu. Pięć przykładowych pól translacji przedstawionych Jest na rysunkach 5-10.

5, Wpływ ogniskowej soczewki i szerokości kątowej obiektywu na kształt pola przemieszczeń

W wykorzystywanych programach ws pó łr zę dn e we ktorów pola przemieszczeń zawsze mieszczą się w zakresie Y6 •‘¿YMIN, YMAX > X 6 -<XMIN, XMAX > • Wynika to z algorytmu przedstawionego w punkcie 3. Zakresy te, podane we wz orach (9) - (12), nie były zmieniane. Zmianom ulegała natomiast ognis- kowB soczewki F. Oczywiście zmiana ogniskowej przy tych założeniach w p ł y wa także na szerokość kątową obiektywu Z . Ponieważ |XMIN| = ¡XHAxi - ł |ymIn| = |ymax| wa rtość Z może być podana jako:

XMAX (15 J

Z = arctg — ^— V zo;

Przy malejących szerokościach kątowych(dużych ogniskowych) wpływ obro

tów wokół osi O y oraz Ox staje się bardzo słabo widoczny. Przykłady po dane są na rysunkach 11-13, gdzie obraz pola obrotu wokół osi Oy o kąt

'&'= 0.1 wykonano dla trzech różnych ogniskowych F-.2, F«=5 oraz F=20.

Pole obrotu z rys. 13, przy ogniskowej F=20, Jest praktycznie nierozróż- nialne od pola translacji wz dł uż osi 0x.

6. Puhkt osobliwy pola przemieszczeń

Dla pól translacji i rotacji w naturalny sposób można określić pojęcie punktu osobliwego pola. Oest to punkt przecięcia osi obrotu lub kierunku wektora translacji z płaszczyzną obrazu.

Badając pola pr ze mieszczeń o bardziej złożonych parametrach, g e n e ro wa

ne za pomocą algorytmu opisanego w punkcie 3, można się przekonać, że także one posiadają na ogół punkty osobliwe. W punktach osobliwych moduły wektorów pól przemieszczeń maleją do zera. Punkty osobliwe pól pr ze mi es z

czeń przedstawionych na dwóch kolejnych rysunkach 14 i 15 mają w s p ó ł r z ę d ne odpowiednio (-0.5,0), (-0.25,0). Łatwo się przekonać, źe o istnieniu tych punktów osobliwych decyduje sposób gneeracji - tzn. fakt, że w s p ó ł rzędne "zetowe” punktów P i > P 2 , - ’Pn z8W8ze większe od F. Współrzędne punktów osobliwych oblicza się wyznaczając przecięcie się kierunku w e k t o ra translacji poddanego dodatkowo transformacji obrotu obkreślonej przez macierz R z płaszczyzną obrazu.

(6)

Paranetry przenieszczenii fi =8.8 teta=B.188988 psi :0.0

¿X :0.

d!) :8.

il -0.

Rys. 2. Pole pr ze mieszczeń o parametrach 3 Qrad] , y = 0.0 [/adj A x = 0.0,

Ogniskowa soczewki = 1 . 0 Fig. 2. Displacement field with

= 0 .2 [ra d j , & = 0 .0 [ r a d ] , y = 0 .0 [Ji-adj Ax = 0 . 0 , Ay,' = 0 . 0 , A : Ogniskowa soczewki = 1 . 0

Parane try przemieszczenia fi :0, teta:0, psi =8.

dx =0,8 dy =9,009888 dz =8.8..

Rys. 3. Pole pr ze mi es zc ze ń o parsmetrach

<? = 0.0 [radj , $• = O. 1 [radj , V » 0.0 [radj A x = 0.0, A y = 0.0, A z Ogniskowa soczewki 1.0

Fig. Displacement field with

<f * 0.0, $ = 0 . 1 y » 0.0, A x = 0.0, A y = 0.0, A z = 0.0. Foc.dist. =

= 0.0

= 1 . 0

=0.0

1.0

(7)

Analiza pola przemieszczań 97

Paranetra przenieszczenia fi =1,570700 teta=0.100000 psi =-1.570700- dx =0, da =0, ÍZ :0 ,

Rys. 4. Pole przemi es zc ze ń o parametrach

<?-%/2 [jad] .

ty*

0.1 £rad],

V

a

3T

/2 J>ad] x = 0.0, y= 0.0, z « 0.0 Ogniskowe soczewki = 5 . 0

Fig. 4. Dieplacement field with

3T/2, ty* 0.1, y = 5 T / 2 , A x = 0.0. A y » 0.0, A z = 0.0. Foc.dist. =5.0

PwiHftfU ppzeNieszczenia fi :8, psi :8.

¿X JaJi

y = 0.0 OradJ , ty = 0 . 0 Qrsd] , y = O.O Prad] Ax = 0.0, A y = 0.0, Az= 0.5 Ogniskowa soczewki = 1 . 0

Fig. 5. Oisplacement field with

0.0,

ty*

o.l, V= 0.0, A x = 0.0, A y = 0.0, A z = 0.5. F o c. di st .= 1.0

(8)

9 8 A . P o l a ń s k i , K , W o j c i e c h o n s l

* N

^ S

> ' ' f / !

!

, / i

P a r a n e t r y

/ s '

/

t I

I I I "

C '

v \

d x = 0 . 8 0 0 0 0 0 d y = 0 . 0 0 0 0 0 0 d z = - 0 , 5 8 0 0 0 0

Rys. 6. Pole pr ze mieszczeń o parametrach

ej?» 0.0 [rad] f ty = 0-0 [rad] , y = 0.0 [rad] A x = 0.0, A y = 0.0 A z =-0.5 Ogniskowa soczewki = 1 , 0

Fig. 6. Displacement field with

0.0, « 0.0, V = 0.0, Ax = 0.0, A y = 0.0, A z =-0.5. Foc.dist =1.6

Pmwtra przenieszczenia

fi =8.930889 teta=8.008889 psi =8.898088 dx =8.898888 dy =2.880998

dz =y.em9

Rys. 7. Pole przemieszczeń o parametrach

tf>= 0 .0 Q"odJ. t ■* 0 .0 [ra d ] . V = C rad] A * = 0 . 0 . A y = 2 . 0 , A z = 0.0 Ogniskowa soczewki = 1.0

„ Fig. 7. Displacement field with

0.0. Ir* 0.0, y = 0.0, A x = O.O, A y • O.O, A z =0.0, Foc. dist.» M

(9)

Analiza pola przemieszczeń 99

Fig. 8. Dlsplacement field with

<j>= 0.0, = O.O, y = 0.0, A x ■ ‘2.0, A y « 0,0, A z ■ 0.0. Foc. diet. =1.0

PlfłKtW p»eKieszczenia fi =8, tttel.

psi =8.

¿X =2.

ii ü ¡ .

?*■ 0.0 ¡rag , t?1- 0.0 [radj , V » 0.0 [radj A x = 2.0, A y = 2.0, A z — 0.5 Ogniskowa soczewki = 1 . 0

Pig. 9. Diaplacement field with

i* 0.0, 0.0, ¥ n 0.0, A x = 2.0, A y - 2.0, A z — 0.5. Foc.dist » 1.0

(10)

100 A. Polański, K. Wojciechom

Paraîtra

przemieszczenia f i :B, teia=0.

psi :0.

dx :2.

dg =2.

dz =9.

Rys. 10, Polo przemi es zc ze ń o parametrach

cf> = 0.0 Lr8dJ * & “ 0.0 Lrac0 » V ■ O. O [radl A x « 2,0, A y « 2,0, A z «0,5 Ogniskowa soczewki = 1 . 0

Fig. 10. Displacement field with

0.0, & = 0.0, y = 0.0, A x = 2.0, A y = 2.0, A z = 5.0, F o c .diat,«1.0

Paranetrg p r z e m e s z c z e n i a

fi =0.

teta:0, psi =8.

dx =8.

dg i0.

dz :0,

Rys. 11. Pole przemi es zc ze ń o parametrach

ÿ » 0.0 CradJ , Z?>» 0.1, [radl, V m 0.0 [rad] A x » 0.0, A y » 0.0, A z « 0.°

Ogniskowa soczewki = 2 . 0 Fig. 11. Displacement field with

ÿ = 0.0, l?» 0.1., y - 0 . 0 , A x = 0.0, A y = 0.0, A z = 0.0. Foc.diet. « 2.°

(11)

Analiza pola pr ze mieszczeń 101

Paranetry przenieszczenia

fi :8, m m

teta=0.100080 psi =8.088880 dx =8.008808 dy =8.808808 dz =8.888880

Rys. 12. Pole pr ze mi es zc ze ń o parametrach

!P* 0.0 [rad], ■ 0.1 [[rad] , = 0. 0 [rad] Ax = 0.0, A y =0.0, A z = Ogniskowa soczewki = 5 . 0

Fig. 12. Displacemant field with

<P= 0.0, -iT = 0.1, 0.0, Ax = 0.0, A y = 0.0, A z = 0.0, Foc.dist.

Parane try pnenies zczenia Pi =8,088090 teta=8,188099 psi =8.888880 dx =8,888888 dy =8.808880

t

=0.800888

Rys. 13. Pole pr zemieszczeń o parametrach

?* 0.0 ¡_rad] , &= 0.1 [rad], V = 0.0 [radj A x = 0.0, A y = 0,0, A z « Ogniskowa soczewki = 20

. Fig. 13. Displacement field with

<f= 0.0, i9’= o.l, v • 0.0, A x . 0,0, A y = 0 . 0 , A z = 0.0. Foc.dist. = 0.0

' 5.0

0.0

20

(12)

Parane try przemieszczenia fi -.8,106880 teta=-8.850080 psi =8,060008 dx =0.000000 dy =8,000000 dz =-2.000000

-C -A -1 -1 -I

Rys. 14. Pole pr ze mieszczeń o parametrach

<p = 0 . 1 [rad] , fi = -O. 05 [rad] tp = O. O [rad] A x = 0.0, A y = 0.0, A z = -2.0 Ogniskowa soczewki = 5.0. Wspó łr zę dn e punktu osobliwego < - 0 . 5 , 0 . 0 ?

<J> = 0.1, fi = -0.05, = 0.0, Ax = 0.0, A y = 0.0, A z = -0.02. Foc.dist.

= 5.0

Rys. 15. Pole pr zemieszczeń o parametrach

<f = 0.1 [rad], fi = -0 .05 [radj , = 0.02[rad] A x =0.0, A y = 0.0, A z = -1.0 Ogniskowa soczewki = 1.0. Ws pó łr zę dn e punktu osobliwego <- 0 . 2 5 , 0.0 ?

* 0.1, fi = -0.05, w = 0.02, A x = 0.0, A y = 0.0,

= -1.0

A z = -1.0. Foc.dist.

(13)

Ansllza pola przemieszczań 103

7. Podsumowanie

Podano pewne podstawowe obserwacje wynika ją ce z badania pól prze mi es z

czeń wykorzystywanych w algorytmach obliczania parametrów ruchu. Oak się wydaje, dis praktycznego zastosowania najistotniejsze znaczenie maję przedstawione w punkcie 6 rozważania dotyczące punktu osobliwego pola przemieszczeń. Wrażliwość wektora pola pr ze mieszczeń na przypadkowe zakł ó

cenie Jest tym większa, im mniejsza Jest długość tego wektora. A zatem prawdopodobnie można uzyskać zmniejszenie wrażliwości algorytmów w y l i c z a nia parametrów ruchu na zakłócenia - eliminując wstępnie z pola przemiesz

czeń wektory o zbyt małych długościach. 2 drugiej strony informacjs o po

łożeniu punktu osobliwego może być wy ko rzystywana przy zadawaniu warunków początkowych dla algorytmów mi ni malizacji funkcji celu.

LITERATURA

[1] Tsia R.y. , Huang T.H. , We i- Le Z h u : Estimating three dimensional motion parameters of a rigid planar path, II, III, IEEE Trans. Acouet. Speech, Signal Processing, vol. ASSP-29, 1981, pp. 1147-1152, vol. ASSP-32, 1984, pp. 213-220.

[2] Fang O . Q . , Huang T . S . ; Solving three dimensional emall-rotation motion equations: Uniquenesss, Algorithms and numerical results, Comput.

Vision Graphics and Image Processing, vol. 26 1984, pp. 183-206.

[3] Bollea R.C. , Baker H.H. and Marimont D.H. ; Epipolar plane image a n a

lysis: An approach to determining structure from motnlon. Int. 0.

Computer Vision, vol. 1, 1987, pp. 7-55.

[4] Dickmanns E . D . , Zapp A. ; Guiding land vehicles along roadways by com

puter vision, Proc. Congress Automatique, Toulouse 1985.

[5] Dickmanns E.D. , Zapp A.; Au to no mo us high road vehickle guidance by computer vision, IFAC, Monachium 1987.

[6] Wojciechowski K. , Polański A. : Wyniki numerycznych badań algorytmu wyznaczania parametrów ruchu. Praca przygotowywana do druku.

[7] Prazdny k. : Determining the instantaneous direction form opltcsl flow generated by cu rv ilinearly moving observer, Comput. Graphics Image Processing, vol. 17, 1981, pp. 238-248.

[8] Polański A. ; Algorytm wyznaczania parametrów ruchu na podstawie pola przemieszczeń, ZN Pol. SI. Praca przyjęta do druku.

Recenzent: Doc. dr hab. inż: Mariusz Nienlewski

Wpłynęło do Redakcji 3.11.1987 r.

(14)

AHAJIH3A nOJIH IIEPEMEiHEHHli

P e 3 » m e

B padoxe npa^oxaBAeHti non a nepsMeneHait, nojiyaaeMue 3a oaex flaaxeHHa aa- u e p u oiHocaienbHO He noABaxHO# cijeHH. .Hami ₃a B n c a u o o x a aeaoTopioc napaMexpoa noaa napeaememitt ox n a p aM ex po a flBHxeaa, $₀K yc a JIHB₃H, yrjioBoro ap eHaa ofiieKiaBa, op e ^H e r o p ac i oaHaa To a ea ohohh oi Kaaepu,

AN ALYSIS OF DISPLACEMENT FIELD

S u m m e r y

In the paper displacement field resulting of the earners movement in the relation of the fixed scene are investigated. The relation between some field parameters and motion parameters, focal distance, objective breadth and the distance of the points of the set are given.