Dobór wartości początkowej jednego z parametrów regulatora w układzie regulacji samonastrajającej

ZESZYTY N A U K O W E P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K I E J Seria! A U T O M A T Y K A z. 73

_________ 19B4 Nr kol. 798

Darzy MOŚCIlisKI

DOBÓR W A R T O Ś C I P O C Z Ą T K O W E J J E D N E G O Z P A R A M E T R Ó W R E G U L A T O R A W UKŁADZIE R E G U L A C J I S A M O N A S T R A J A J Ą C E J

S t r e s z c z e n i e . W a r t y k u l e o m ó w i o n y z o s t a ł p r o b l e n a s y m p t o t y c z ne j n l e i d e n t y f i k o w o l n o ś c i p a r a m e t r ó w r e g u l a t o r a w u k ł a d z i e uogó l n i o n e j s s m o n a s t r a j a j ę c e j r e g u l a c j i a i n i m a l n o w a r i a n c y j n e j . O p i s a n o p r a k t y c z ­ ne m e t o d y d o b oru w a r t o ś c i po cz ą t k o w e j J e d n e g o z p a r a m e t r ó w r e g u l a ­ tora 1 J e g o w p ł y w na J a k o ś ć r e g u l a c j i m l n i a a l n o w a r l a n c y j n e j . P r z e d ­ sta w i o n o t akie w y n i k i s y B u l a c J i k o m p u t er o we j u k ł a d u r e g u l a c j i samo- nas traj a j g c e j tego typu.

W o st a t n i c h l atach d z i e d z i n ę teorii s t e r o w an i a, której p o ś w i ę c a się wie­

le uwagi, jest z a g a d n i e n i e s t e r o w a n i a o p t y m a l n e g o w w a r u n k a c h I s t n i e n i a zakłóceó s t o c h a s t y c z n y c h (Astrom [l] ). N a j c z ę ś c i e j o p t y m a l i z o w a n y m w s k a ź ­ nikiem j a k o ś c i dla tego typu p r o b l e m u Jest w a r i a n c j a w i e l k o ś c i w y j ś c i ow e j obiektu p rzy p e w n y c h o g r a n i c z e n i a c h n a ł o ż o n y c h na w a r t o ś c i p r z y j m o w a n e przez Jego w i e l k o ś ć s t er ujęcę. O g r a n i c z e n i a te p o w o d o w a n e aę tym, li a l ­ gorytm B i n i m a l n o w a r l a n c y j n y ż ę d a ć mo i e zbyt w i e l k i c h .przekraczaj ę c y c h m o ż ­ liwości or ganu w y k o n a w c z e g o , w a r t o ś c i w i e l k o ś c i s t e r u j ę c e j . Z a k ł a d a j ę c do­

datkowo, z© na k ł a d a się wagę na o p t y m a l n e w p e w n y m ( o k r e ś l o n y m p r z e z po- atać i p a r a m e t r y w i e l o m i a n ó w P ( z ) i R ( z )) s e n s i e n a d ę i a n i e w i e l k o ś c i wyjściowej ob i e k t u za jaj w a r t o ś c l ę z a d ang, m o Z n a w p r o w a d z i ć J a k o p r z e d ­ miot o p t y m a l i z a c j i n s s t ę p u j ę c y w s k a ź n i k j a k o ś c i ( c i arkę i in. (4}):

gdzie:

y(l) - w i e l k o ś ć w y j ś c i o w a obie k tu , u (i) - w i e l k o ś ć s t e r u j g c a o b ie k tu ,

w(l) - w a r t o ś ć z a d a n a w i e l k o ś c i wy j śc i o w e j obiek t u , k - d y s k r e t n y czas o p ó ź n i a n i a w u k ł a d z i e regu l a c j i . 1. WSTąP

(1⁾

(2)

(3)

144 3. Hośclrtekl

1 -n

R( x ) - r Q ♦ px x- + ... + r n z r (4)

r

O b i e k t r e g u l a c j i opieać raożna p o n i ż s z y « p r o s t y n a o d e l e a t rensnitancyj- nya

y(i) . z " “ M i l t l . „ (1) + P .t« ^ .) . 0 (i) , (5)

A ( z *) A(2 )

gdziet

e(i) - d y s k r e t n y b i a ł y ^{s z u b o} zerowej w a r t o ś c i średniej i wsiianejl 5u2 .

A ( z 1 ) » 1 ♦ b^z 1 + ... + a n z n (6)

B(z- 1 ) - b 0 + bA z _1 ♦ ... + bn z_ n (7)

c(z-1) « 1 ♦ OjZ 1 + ... ♦ CpZ n (8)

R ó w n a n i a (s) o p i s u j e u k ł a d r e g u l a c j i a n i e obie k t w tya s e n s i e , la za­

w a r t y w n ln d y s k r e t n y czas o p ó ź n i a n i a k o b o j a u j o z a r ó w n o w ł a ś c i w y czai o p ó ź n i e n i a w y n i k a j ę c y z w ł a ś c i w o ś c i obie kt u , ja k i z w ł o k ę c z a s o w ę powsta- łg p r z y r e a l i z a c j i d y s k r e t n e g o u k ł a d u r e gulacji.

P r ó b i e « s t e r o w a n i a o p t y a a l n e g o typu ta k i e g o j a k p r z a d e t a w i o n y posyłaj b o ż o być r o z w i ą z y w a n y na d r o d z e s p r o w a d z e n i a go do r ó w n a n i a Wieners-Hopfa 1 r o z w l g z a n i a tego r ó w n a n i a b ę dź też, o p a r u j g c a o d e l e a o b i e k t u w postaci r ó wnań stanu, e o ż n a p r o b l e a ten s p r o w a d z i ć do r o z w i ą z a n i a dyskretnej wer­

sji rów n a n i a R i c c a t l e g o . O b i e n s t o d y eg w a p o s ó b z n a c z g c y zaawansowana o b l i c z e n i o w o i w y a a g a j g d o k ł a d n e g o aaodelu r e g u l o w a n e g o o b i e k t u , co soła być n i e w y g o d n e , z w ł a s z c z a w p r z y p a d k u isto t ne j n i a e t a o j o n a r n o ś c i obiektu,

C l a r k a i in. [4] p r o p o n u j # w p r o w a d z a n i e p o j g c l a u o g ó l n i o n a j wiolkości w y jści owej o b i e k t u $ (i) zd e f i n i o w a n e j jak n aa t ę p u j s :

$ ( i + k ) - P . y l i + t ) - R . w ( i ) + Q . u ( i ) , (9)

p r z y c zya

i p o k a z u j g , że a l n l a a l i z a c j a w s k a ź n i k a j a k o ś c i o d p o w i a d a ainiaalizecji n a s t ę p u j g c e g o w s k a ź n i k a j a k o ś c i I2

Dobór w a r t o ś c i p o c ząt kowej. 145

Ij - E - j 0 2 (l+k)j (1 1 )

A u t o rzy cl p r o p o n u j « n a stępnie, a b y m i n i m a l i z o w a ć n i a w s k a ź n i k J a k o ś c i Ij, a pewną s t o w a r z y s z o n ą funkcję k o a z tu Ij

y(i+k|l) - k - k r o k o w a p r e d y k c j a w i e l k o ś c i w y j ś ci o we j o b i e k t u d o k o n y w a n a

Funkcja k o a z t u I3 jast tzw. b i e ż ą c y m w s k a ź n i k i e m j a k o ś c i , j a k o że m l ni -

■alizacja d o k o n y w a n a J o at na "k* k r o k ó w n a p r z ó d w każdej c h w i l i d y s k r e t ­ nej "i" w op a r c i u o etan o b i e k t u r e g u l a c j i w y n i k ł y z n a d a n i a wielkości ste­

rującej ob i e k t u o k r e ś l o n y c h w a r t o ś c i w p r z e s z ł o ś c i . A l g o r y t m ten n i e z a ­ pewnia a l n l a a l i z a c j i w a r i a n c j i uog ó l n i o n e j w i e l k o ś c i w y j ś c i o w e j o b i e k t u i(l) w n i e s k o ń c z o n y « h o r y z o n c i e s t e r o w a n i a , Jeat w i ę c a l g o r y t m e m o u b o p t y - aalnya w u o g ó l n i o n y « ( o b e j m u j ą c y m o g r a n i c z e n i a na w a r t o ś c i w i e l k o ś c i s t e ­ rującej i w a g ę na o p t y m a l n e n a d ą ż a n i e za w a r t o ś c i ą z a d a n ą ) m l n l m s l n o w a - rlancyjnym s e n a i e (Mac Gre gor i in. [a] ).

Zasadniczą z alet ą tago a l g o r y t m u jest to, że w y k o r z y s t u j ą c d o d a t k o w o pojęcie tzw. m o d e l u p r o d y k c y j n e g o u k ł a d u r e g u l a c j i ( N i e d e r l i ń a k l ¡9] ),m o ż ­ na w każdym k r o k u s t e r o w a n i a i d e n t y f i k o w a ć z t e g o m o d e l u p a r a m e t r y s z u k a ­ nego algory tmu r e g u l a c j i na d r o d z e r e k u r e n c y j n e j m e t o d y najmniej s z y c h kwa­

dratów. W s posób p r o s t y i s z y b k i o b l i c z e n i o w o m o ż n a w t akim u k ł a d z i e u z y ­ skać m i n ima lny w s k a ź n i k J a k o ś c i z w y k l e n i e w i e l e t y lk o w i ę k s z y (rzędu k i l ­ ku

%)

od m i nimal nej ’ w a r t o ś c i w s k a ź n i k a J a k o ś c i Ij (Mac G r e g o r i in. [8] ).

W artykule d o k o n a n a z o s t a n i e a n a l i z a a l g o r y t m u r e g u l a c j i o p i s a n e g o przez Clarke'a i in. Qł, sj p o d k ą t e m m o ż l i w o ś c i i d e n t y f i k a c j i p a r a m e t r ó w opisujących ten algory tm.

2. ANALIZA U K Ł A D U R E G U Ł A C DI Z U O G Ó L N I O N Y M R E G U L A T O R E M MINIMA L N 0 W A R I A N C Y 3 N Y M W G C I A R K Ę *A I IN. [4, 5]

Zakłada się, ża o biekt r e g u l a c j i o pi s ać m o ż n a r ó w n a n i e m

I3 - ¿>2 (i+k|i).

(

1 2

)

przy czym

$

(i+k 11) - P . y ( l + k | i ) - R . m ( i ) ♦ Q . u(i), (13) gdzie

w c h w i l i d y skretnej "i".

A . y ( l ) - z ' k B . u ( i ) + C.e(i ) , ( 2 0 )

- (8).

146 3. Mościńekl

W p r o w a d z a alę u o g ó l n i o n ą w i e l k o ś ć w y j ś c i o w ą o b i e k t u r e g u l a c j i opisaną z a l e ż n o ś c i ą

<p(

i+k) » P. y C l + k ) - R . w ( l ) + Q . u ( l ) , (21)

p r z y czya w l e l o a l a n y P, Q i R zmiennej z -1 z d e f i n i o w a n e są odpowiednio r ó w n a n i a m i (2), (3) i (10) o raz (4),

R ó w n a n i e reg u l a t o r a z a p e w n i a j ą c e g o s p e ł n i a n i e c e l u u o g ó l n i o n e j regula­

cji a i n i a a l n o w a r l a n c y j n e j wg C l a r k e ' s i in. [4, 5] p o s i a d a - następującą s t rukturę:

H .u(i) + G . y ( i ) + E . w(i) - O, (22)

p r zy czy a w l e l o a l a n y H, G 1 E zaie nn e j z -1 z d e f i n i o w a n a są ponllszyal t o Z s a a o ś c i a a l w i e l o a i a n o w y a i w y n i k a j ą c y m z r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a minl-

■ a l l z a c j i w s k a ź n i k a J a k o ś c i z r ó wn a n i a (1 2)

P . C • A . F + z " k G (23)

H - B.F + Q . C (24)

E - - R . C (25)

g d z i e w i e l o n i a n y F I G Zaienne j z- 1 noJą p o s t a ć n a s t ę p u j ą c ą :

F ( z _ 1 ) - 1 + fli _1 + ... ♦ fk - i r " ^ k _ 1 ^ ^26)

, . -i **n

G (z" ) - gQ ♦ g^z ♦ ... ♦ g „ * 9 (27)

9

a s t o p i e ń n g w i e l o m i a n u G i z " 1 ) o k r e ś l o n y Jest z a l e ż n o ś c i ą :

n g “ "ax |(np +n-k), (n-l)j (28)

Z a k ł a d a 8ię, te o b i e k t o p i s a n y r ó w n a n i e m (20) r e g u l o w a n y Jest zgodni«

z rów n a n i e m

H 1 (z"1 ).u(l) ♦ G i (z'1 ).y(l) ♦ i 1 (z‘ ł ).w(l) - 0. (»)

p r z y czya s t r u k t u r a w i e l o m i a n ó w H i( G i o r a z z m i e n n e j z 1 określoni Jeet r ó w n a n i a m i (23) - (25), a i c h p a r a m e t r y z o s t a ł y w y z n a c z o n e za ponoć«

r e k uren cyjnej m e t o d y n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t ó w dla d a n y c h do k r o k u "i” wł»cł- nie.

Dobór w a r t o ś c i p o c z ątk owej. 147

A l g o r y t m rekuren c y j n e j »lotody n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t ó w n l n i n a l i z u j e su­

nę k w a d r a t ó w b ł ę d ó w i d e n t y f i k a c j i o nast ęp u ją c e j posta c i :

i

•i “ 2 n -0

przy c z yn w i e l k o ś ć £ (n) Jest o k r e ś l o n a wzor e n:

£ ( n ) = 0 (n) - H n (z 1 ).u(n-k) - G n (z 1 ).y(n-k) - E n (z_ 1 ) . w ( n - k ), (3l)

a struktura w i e l o n i a n ó w H n , G n o r a z E n zmien n e j z-1 o k r e ś l o n a Jest równaniani (23) - (25).

Z a ł o Zen ia p o w y ż s z e p o z w a l a j ą p r z e d s t a w i ć u k ła d u o g ó l n i o n e j regu l a c j i

■lnlnalnowariancyj nej wg C l a r k e ' a i in. [4, 5] w w e r s j i sanonastrajajęcej w postaci sch e m a t u b l o k o w e g o z a n l e s z c z o n e g o na rys. 1.

Rya. 1. S c ¿ l o k o w y okład u u o g ó ln io n e j a a n o n e strejaJe ce J r e g u l a c ji n i- n i n a l n o w a r i a n c y j n e j

148 J. Mośclrtak

Schemat b l o k o w y po z w a l a p r z e d s t a w i ć błąd i d e n t y f i k a c j i £ ( i ) w postać poniższej z a l e ż n o ś c i

P - z " k G i - j p * _k (Q - H ± )

£(i) - £ . --- ^--- . e(i) . - k 8 G i

1 + z

T —

H 1

| z _k . ( R + E ^

E ± z * k (tj-H^) + z_k £ (P-z- k G 1 )

K '

, I 8 G i

1 + 2 ^

. w ( i ) (32

W i e l k o ś ć £( i ) p r z e d s t a w i o n a z o s t a ł a J a k o f u n kcja tylko z a k ł ó c e n i a e(il o d d z i a ł u j ą c e g o na obiekt r e g u l a c j i i w a r t o ś c i zadanej j e g o w i e l k o ś c i wyj­

ściowej oraz w i e l o m i a n ó w zmie n ne j z 1 o p i s u j ą c y c h u k ł a d regulacji. Tal z d e f i n i o w a n y b łą d i d e n t y f i k a c j i n a z y w a n y b ę d z i e b ł ę d e m g l o b a l n y m identy­

fikacji (Nied e r l i ń s k i [9]).

P r z e k s z t a ł c a j ą c z a l e ż n o ś ć t r a n s m i t a n c y j n ę (32) p r z y w y k o r z y s t a n i u toż­

s a m o ś c i w i e l o m i a n o w y c h (23) - (25) m o ż n a Ją p r z e d s t a w i ć w poniższej po­

st aci .-

£ (1 ) - M ( z - 1 ) . F i z " 1 ) . e( i ) ♦ N ( z - 1 ) . w ( l ) , (33!, gd zie w i e l o m i a n y M i N zmiennej z -1 z d e f i n i o w a n e sę nast ę p u j ąc o :

PCA, - z " “ Q C G i + 2- k C ( H iÓ i - H ±G ± )

m(z ) ■= — - --- ^ --- ---r c --- x---x--- "

P C H a - ^z (JCGj^ + ^z (HG± - H ±G )

- 1 + m^z k + . . . ■ l + z k M l ( z 1 ) (3

. , , - 1 , -k A(fiiE - H E ł ) ♦ A C ( H ii 1 - )

N ( z ) - z . ^ x --- +

A C H i + z B C G 1

♦ z- 2k . B ( G 1 E - G E 1 } * B C ( G 1E 1 ~ (3!

A _ U A

A C H 1 + z B C G ±

t

p r z y czym M 1 (z- 1 ) jest w i e l o m i a n e m zmiennej z-1 s t o p n i a skoń c z o n e g o l1 n i e s k o ń czon ego .

Oobór w ar .ości pocz ętk owej. 149

Ze w z g l ę d u na s t o c h a s t y c z n y cha r a k t e r z a k ł ó c e n i a e(l) r o z p a t r z o n a z o ­ stanie m i n i m a l i z a c j a w a r i a n c j i b łęd u g l o b a l n e g o 6 (i)

[ £( i)] 2j - e| [f.o(1) ♦ FM* . e (1-k ) + N . w ( i ) ] 2| (36)

Z a k ł ada jęc, że dla o p i s a n e g o systemu z a c h o d z i h ip o t e z a e r g o d y c z n a , m o ż ­ na s t w i erdzić, że m i n i m a l i z a c j a w a r i a n c j i b łę d u g l o b a l n e g o o d p o w i a d a ć bę­

dzie m i n i m a l i z a c j i s um y k w a d r a t ó w b ł ę d ó w g l o b a l n y c h w n i e s k o ń c z o n y m h o r y ­ zoncie c zaeowyn.

Bloręc po d uwagę, że w i e l o m i a n F ( z - *) Jest stop n i a k-1 i z a k ł a d a j ę c stochastycznę n i e z a l e ż n o ś ć w i e l k o ś c i e(i) i w(i), ró w n o ś ć (36) m ożna prze- plsać w p os taci:

E { [ £ ( 1 ) ] 2 } - E | l>.e(i)] 2| + E | [f.m' , e ( i - k ) ] 2| + E { [n. ^w( i )] 2|

(37) M i n i m um w a r i a n c j i w i e l k o ś c i 6 (i) m o ż n a o s i ę g n ę ć p o p r z e z w y z e r o w a n i e drugiego i t r z e c i e g o skł a d n i k a prawej s t r o n y z a l e ż n o ś c i (37). S k ł a d n i k drugi w y z e r o w a ć m oż na n a k ł a d a j ę c w y m a g a n i e , aby I”/ ( z *) było r ó w n e zeru,

• w i ę c a by M ( z - *) było równe Jedn o ś c i , co u z y s k a ć można p r z y s p e ł n i e n i u zależności:

H i°l * * 1 G 1 (38)

H Gi - Hi G (39)

Za k ł adajęc, że w i e l o m i a n y H i G sę s t op n i o d p o w i e d n i o n^ i n^, każda z tożsamości (38), (39) o k r e ś l a n h+ n g + * r6w n 8 Ć z nh + n g + 2 n i e w i a d o m y m i . Z e ­ spół tych r ó w n a ń nie m oże być r o z w l ę z a n y w s p o s ó b J e d n o z n a c z n y ze w z g l ę d u na wszystkie w y s t ę p u j ę c e w nim n i e w i a d o m e , tj . , i n n y mi słowami, p a r a m e t r y regulatora o p t y m a l n e g o nie sę w takim u k ł a d z i e re g u l a c j i i d e n t y f i k o w a l n o . leżeli j e d e n z p a r a m e t r ó w r e g u l a t o r a z n a n y Jest j e d n a k a p r i o r i (zwykle zakłada 3ię z n a j o m o ś ć p a r a m e t r u h Q ), to r ó w n a n i a typu (38), (39) maję jed­

noznaczne r o z w l ę z a n i e p r z y ł atwych do s p e ł n i e n i a w a r u n k a c h ( N i e d e r l i ń s k l fe] ). R o z w i ę z a n l e m tym Je3t w takim p r z y p a d k u p o n i ż s z a r ó w n o ś ć w i e l o m i a ­ nów:

- H i - H (40)

Gi . G i . G (41)

Poclęgajęca za sobę na d rodze m i n i m a l i z a c j i t r z e c i e g o s k ł a d n i k a równ a n ia '37) n e stę p u j ę c ę ró w n o ś ć w i e l o m i a n ó w :

150 0. Mościńskl

2 p o w y ż s z y c h r o z w a ż a ń w y c i ą g n ą ć n oż n a w n io s ek , źe J e ż e l i p r o c e d u r a i- d e n t y f i k a c j i p a r a m e t r ó w u o g ó l n i o n e g o r e g u l a t o r a n l n l m a l n o w a r i a n c y j n e g o i r e g u l a c j i z g o d n i e z r ó w n a n i e m (29) p r z y p a r a m e t r a c h r e g u l a t o r a równych ich o s t a t n i m o c eno m Jeat zbieżn a w p r z e s t r z e n i p a r a m e t r ó w , t o p u n k t e m zbież­

ności, o d p o w i a d a j ą c y m m i n i m a l i z a c j i w a r i a n c j i b łędu g l o b a l n e g o identyfi­

kacji, Jeat p r z y z n a j o m o ś c i a p r i o r i w a r t o ś c i J e d n e g o p a r a m e t r u reguła-

, A A a

tora r ówność ocen p a r a m e t r ó w w i e l o m i a n ó w G 1 i i p a r a m e t r ó w wielo­

m i a n ó w H, G i E r e g u l a t o r a opty m al n e g o.

Z e s p ó ł w s z y s t k i c h p a r a m e t r ó w w i e l o m i a n ó w r e g u l a t o r a H, G i E Jest w op i s a n y m u k ł a d z i e ze s p r z ę ż e n i e m z w r o t n y m a s y m p t o t y c z n i e nieldentyfiko- walny.

3. DOBÓR W A R T O Ó C I P 0 C Z Ą T K 0 W E 3 P A R A M E T R U h Q R E G U L A T O R A

3 ak w s p o m n i a n o p o wyżej, u k ł a d u o gó l n i on e j r e g u l a c j i m i n i m a lnowerlan- cyjnej w w e r s j i sa monastraj ajęcej przy z b i e ż n o ś c i p r o c e s u e s t y m a c j i para­

m e t r ó w regu l a t o r a p r z e d s t a w i a l i n i o w y s t a c j o n a r n y o b i e k t r e g u l a c j i objęty l i n i o w y m a s y m p t o t y c z n i e s t a c j o n a r n y m s p r z ę ż e n i e m z w r o t n y m . U k ł a d taki przy braku d o d a t k o w e g o sy g n a ł u p o b u d z a j ą c e g o m o ż e być ź r ó d ł e m p r o b l e m ó w zwią­

z a n yc h z l d e n t y f i k o w a l n o ś c i ę o p i s u j ą c y c h go p a r a m e t r ó w . Z w y k l e a b y uniknąć tego typu n i e j e d n o z n a c z n o ś c i , za k ł a d a alę z n a j o m o ś ć p a r a m e t r u h Q wielo­

m i a nu H ( z - 1 ) r egu l a t o r a , p r z y czym dobór J e g o w a r t o ś c i jest zagadnienie«

k r y t y c z n y m dla z b i e ż n o ś c i p r o c e d u r y i d e n t y f i k a c j i p a r a m e t r ó w regulatora 1 r e g u l a c j i z g o d n i e z z a ł o ż o n y m a lg orytmem.

A s t r d m i in.

¡2

] o r a z C e g r e l l i in. [3] p r z e p r o w a d z a j ą u p r o s z c z o n ą a- n a l i z ę u kładu reg u l a c j i z a w i e r a j ą c e g o sam on a st r a j aj ą c y r e g u l a t o r mlnimal- n o w a r i a n c y j n y pod k ątem d oboru p a r a m e t r u h Q regu la t o r a . R o z w a ż a j ą oni 0- biekt r e g u l a c j i o p i s a n y równanie m :

y(i) » z-k . u(i) + ^ . e(i) (43)

o r a z r e g u l a t o r o p i e a n y rów n a n i e m

H.u( l) + G . y ( i ) = 0 (44)

W p r o w a d ź m y n a s t ę p u j ą c e w i e l k o ś c i w e k t o r o w e

^

" [h l h n + k-i' 9o ' g l V l ] (45)

xT (i> ■ (u(i-i ),... , u ( i - n - k + l ) ,y(i ) ,y( i-i ) y(i-n+l)l (4&:

Dobór w a r t o ś c i p o c zętko wej .

Załóżmy, ż e p a r a m e t r y w i e l o m i a n ó w H i G r e g u l a t o r a e s t y m o w a n e sę z poniższego r ó w n a n i a m o d e l u

y ( i) - h Q .u(l-k) - b!x_(i-k) ■ O (47)

no drodze r e k urencyj nej M NK, p rzy czym za ł o ż o n o , że z n a n a Jest p r a w d z i w a (optymalna) w a r t o ś ć p a r a m e t r u h Q i oz n a c z a się Ję p r z e z h. R ó w n a n i e re­

gulatora p r z e p i s a ć m o ż n a p r z y t ych z a ł o ż e n i a c h w postaci:

bT (i)

u(i) « - — — . x ( i ) (48)

h “ ’

gdzie bT (l) o z n a c z a z e s p ó ł o cen p a r a m e t r ó w w i e l o m i a n ó w r e g u l a t o r a u z y ­ skanych do c hwili d y s kretn ej "i" w ł ęc z nl e .

Załóżmy, że w y z n a c z o n e w d anym kr oku d y s k r e t n y m s t e r o w a n i e u(i) utrzy- aywane Jest dla n i e s k o ń c z e n i e d ł u g i e g o h o r y z o n t u s t e r o w a n i a , tj.

bT

u (i) . _ . x ( i) (49)

h

Można p o k a z a ć (AstrSm i in. [2] o r az C e g r e l l i in. [3] ), że w tych wa-

aT . .

runkoch w a r t o ś ć o c z e k i w a n a e a t y m o w a n e g o z e s p o ł u p a r a m e t r ó w tj (i) p r z e d ­ stawia się na stęp u j ę c o :

E - | b T (l)j - bT + b^ (1 -

-~)

(50)

Jeśli tylko u k ł a d r e g u l a c j i J est sta b i l n y , p r z y c z y m bT o z n a c z a z e s p ół parametrów w i e l o m i a n ó w H i G r e g u l a t o r a m i m i m a l n o w a r i a n c y j n e g o o d p o w i a ­ dający p r awdziwej ( o p t y m a l n e j ) w a r t o ś c i h Q .

Bioręc n a s t ę p n i e

^ ¡ + 1 - E { b T (i)} (51)

otrzymujemy n e e t ę p u j ę c y c lęg ocen p a r a m e t r ó w w i e l o m i a n ó w H 1 G

152 J. Mośclńskl

Z p o w y ż s z y c h r o z w a ż a ń wyci ę g n ę ć n oż n a p o n i ż 8 z e w n i o s k i :

a) cięg o cen p a r a m e t r ó w w i e l o m i a n ó w H i G r e g u l a t o r a Jest z b i e ż n y wtedy i tylko w t e dy, gdy

< 1 , (54)

czyli

h

e(0, 2), (55)

b) j e ś l i cięg oc en p a r a m e t r ó w w i e l o m i a n ó w H 1 G r e g u l a t o r a jest zbieżny, to u z y s k a n y u k ł a d r e g u l a c j i z ap e w n i a m l n i m a l n o w a r i a n c y j n ę regulację w i e l k o ś c i wyj ś c i o w e j o b iektu ,

c) s z y b k o ś ć z b i e ż n o ś c i o cen p a r a m e t r ó w w i e l o m i a n ó w H i G r e g u l a t o r a za­

leży m i ę d z y i n nym i od d o b o r u w a r t o ś c i h Jako o c e n y a p r i o r i parame­

tru hQ r e g u l a t o r a o p tymalne g o .

P r z y t o c z o n e r o z w a ż a n i a d o tyc z ę r e g u l a t o r a m i n i m a l n o w a r i a n c y j n e g o wg Aatró'ma i in. [2] , a n a l o g i c z n e w n i o s k i n oż n a J e d n a k w y c l ę g n ę ć analizujęc u k ł a d r e g u l a c j i s a monastraj aj ęcoj z r e g u l a t o r e m w g C l a r k s ' a i in. [4].

P r z e d s t a w i o n e u w a g i w s k a z u j ę na m o ż l i w e n i e b e z p i e c z e ń s t w a z w i ę z a n e z nie­

w ł a ś c i w y m d o b o r e m w a r t o ś c i p a r a m e t r u h reg ul a t o r a . P r z y j ę c i e zbyt dużej w a r t o ś c i h Jest p o w o d e m wolnej z b i e ż n o ś c i o c en s a t y n o w a n y c h parametrów r e g u l a t o r a o p t yma lnego. Zbyt mała w a r t o ś ć

lń

m o ż e s p o w o d o w a ć destabilize- cję p r o c e s u e s t y m a c j i p a r a m e t r ó w r e g u l a t o r a i r eg u l a c j i w o p a r c i u o 0- st a t n i e ich oceny, a s z c z e g ó l n i e n i e b e z p i e c z n e m o ż e być p r z y j ę c i e niewła­

śc i w e g o z n a k u p a r a m e t r u h. W n i o s k i te p o t w i e r d z o n e z o s t a ł y w przeprowa­

d z o n y c h p rze z a u t o r a n i n i e j s z e g o o p r a c o w a n i a b a d a n i a c h sym u l a c y j n y ch . Ba­

dania te w s k a z u j ę , że d e s t a b i l i z a c j a o p i s y w a n e g o u k ł a d u r e g u l a c j i samona- s t raj ajęcej Jest z j a w i s k i e m r e a l n i e g ro ź n y m w p r z y p a d k u n i e z n a j o m o ś c i pa­

r a m etr u h Q regu l a t o r a optyma l n e g o , a więc p r z y b r a k u m o ż l i w o ś c i zachowa­

nia w a r u n k u (55) dla regu l a t o r a m i n l m a l n o w a r i a n c y j n e g o . P r o b l e m destabi­

l i z acj i n o ż e się ró w n i e ż po j a w i ć w p r z y p a d k u d o b o r u zbyt dużej wartości p a r a m e t r u h z e w z g l ę d u np. na m o ż l i w e w z a j e m n i e n i e k o r z y s t n e w p ł y w y wol­

nej z b i e ż n o ś c i ocen s a t y n o w a n y c h p a r a m e t r ó w r eg u l a t o r a , w y s o k i e g o poziomi z a k ł ó c e ń i i s t n i e j ę c y c h o g r a n i c z e ń na w a r t o ś c i w i e l k o ś c i s t a r u j ę c e j obiek­

tu. M o ż l i w y m w y j ś c i e m z s y t u a c j i Jest e s t y m o w a n i e w p o c z ę t k o w e j fazie pro­

cesu w s z y s t k i c h p a r a m e t r ó w r e g u l a t o r a , a w i ęc r ó w n i e ż p a r a m e t r u h Q .W okre­

sie tym p a r a m e t r y s p r z ę ż e n i a z w r o t n e g o ze w z g l ę d u na p r o c e s dostrajanie się p a r a m e t r ó w r e g u l a t o r a sę s i l n ie zm i e n n e w czasie, co daje dodatkowe s t o p n i e s w o b o d y p o z w a l a j ę c e na J e d n o z n a c z n ę e s t y m a c j ę w i ę k s z e j i l ości pa­

r a m e t r ó w w u k ł a d z i e (Harris 1 in. [7] ). P r ó b a e s t y m a c j i w s z y s t k i c h para­

m e t r ó w r e g u l a t o r a w d ł u ż s z y m h o r y z o n c i e s t e r o w a n i a p o w o d o w a ć m o ż e okreso­

w e d e s t a b i l i z o w a n i e się o c e n s a t y n o w a n y c h p a r a m e t r ó w r e g u l a t o r a bez zn8-

Dobór w a r t o ś c i p o c z ą t k o w e j . 153

częcego p o g o r s z e n i a J a k o ś c i r e gulac j i . W y s t ą p i e n i e w takich w a r u n k a c h z a ­ kłócenia o dużej w a r t o ś c i p o w o d u j e z w y k l e g w a ł t o w n e d o s t r a j a n i e się pa ­ rametrów r egu l a t o r a do ich w a r t o ś c i o p t y m a l n y c h , p r z y c z y m o k res ten zwią­

zany jest ze z w i ę k s z o n y m błędem re gu l a c j i , co n a k a z u j e u n i k a n i e tego t y ­ pu zach owania się układu. O p i s a n y p r o c e s r o z s t r a j a n i a się p a r a m e t r ó w r e ­ gulatora i p o n o w n e g o ich d o s t r a j a n i a się ma c h a r a k t e r c y k l i c z n y , c o p r z e d ­ stawia rys. 2,

Najczęściej s t o s o w a n a p r o c e d u r a e s t y m a c j i p a r a m e t r ó w r e g u l a t o r a samo- nastraj, J ę c e g o o b e j m u j e s t r o j e n i e w p o c z ąt k ow e j fazie w s z y s t k i c h p a r a m e ­ trów r e gu latora, a n a st ępnie, g dy z g o d n i e z u s t a l o n y m k r y t e r i u m z b i e ż n o ­ ści e s t y m o w a n y p ar a m e t r h Q osi ą g n ą ł z p e w n y m b ł ę de m s woją w a r t o ś ć u s t a l o ­ ną w p r z e s t r z e n i p a r a m e t r ó w - z a p r z e s t a j e s i ę j e g o e s tymacji. O a k o p r oste kryterium z b i e ż n o ś c i s ł użyć m o ż e r ó ż n i c a naj no w sz e j o c e n y p a r a m e t r u h Q i wartości średniej tych ocen za o s t a t n i e m k r o k ó w e s t y m a c j i w s t o s u n k u do założonej r ó ż n i c y gran icz nej rg r * Przy czym w a r t o ś c i m o r a z r gr mogę być dobierane e k s p e r y m e n t a l n i e . B iorąc p o d uwagę, że p r o c e s y i o b i e k t y p r z e ­ mysłowe b ę dące p o t e n c j a l n y m i p r z e d m i o t a m i u o g ól n io n e j r e g u l a c j i m l n i m a l - nowariancyjnej w w e r s j i s a m o n a s t r a j a j ą c e j p r z e j a w i a j ą c z ę s t o silną nie- 8tacjonarność także J e śli c hodzi o z n a k w z m o c n i e n i a o b i e k t u (Dunont [g] ), istotna s taje s ię m o ż l i w o ś ć w z n o w i e n i a e s t y m a c j i p a r a m e t r u h Q r e g u l a t o r a w celu szybszej a d a p t a c j i p a r a m e t r ó w s p r z ę ż e n i a z w r o t n e g o do zmieniających się w ł a ś c i w o ś c i ob i e k t u regulacji. K r o k taki m ożna p o d e j m o w a ć np. wtedy, gdy błąd r e g u l a c j i p r z e k r o c z y pewną z a ł o ż o n ą w s y s t e m i e warto ś ć .

4. PRZYKŁAD

Na rys. 2 p r z e d s t a w i o n e z o s t a ł y p r z y k ł a d o w e p r z e b i e g i z m i a n ocen esty- aowanych p a r a m e t r ó w r e g u l a t o r a dla o b i e k t u o p i s a n e g o r ó w n a n i e m

y(i ) » 0 , 8 . y ( i - l ) + 2 . u (1-1) + 1 , 2 . u (1-2) + e(i) - 0 , 3 . e ( l - l )

oraz m i n i m a l i z o w a n e g o w s k a ź n i k a J a k o ś c i w f o rm i e n a s t ę p u j ą c e j :

I3 « y(i + l | i ) + 0 , 7 . u ( i)

R egulator o p t y m a l n y o p i s a n y Jest dla p o w y ż s z e g o o b i e k t u i funkcji ko-

•ztu poniższą t o ż s amośc ią:

3.u(i) + 0,99.u (i-1) + 0,5.y(i) - O

Na d ro dze s y m u l a c j i k o mputerowe j b a d a n y był u k ł a d r e g u l a c j i o p i s a n y po­

wyższymi z a ł o ż e n i a m i , a w i ę c s y m u l o w a n o o b i e kt r e g u l a c j i z a k ł ó c a n y na wyjściu p r z e f l l t r o w a n y m b i a ł y m s z um e m o zerowej w a r t o ś c i średniej o r a z re­

154

gulat or, k t ó r e g o p a r a m e t r y w y z n a c z a n e by ł y w k a ż d y m k r oku s t e r o w an i a z»

p o mocę rekure n c y j n e j MNK. W y k o r z y s t y w a n o m e t o d ę f a k t o r y z a c j i m a c i e r z y ko­

w a r i a n c j i w r ekure n c y j n e j M N K na i l oc z yn m a c i e r z y t r ó j k ę t n e j górnej U, m a c i e r z y diago nalne j D oraz m a c i e r z y trójkętnej górnej U tranaponowanej.

O C EN Y RARAMETRÓW

OCENY PARAMETRÓW

O K R E S Y STEROWAŃ*

OKRESY STEROWA®

500 Rys. 2. P r z e b i e g e s t y m a c j i p a r a m e t r ó w r e g u l a t o r a s a m o n a e t r e j a j ę c e g o tw p r z y p a d k u b z a t r z y m a n o e s t y m a c j ę p a r a m e t r u h p o u s t a l e n i u elę warto­

ści J e g o oceny)

C z ę ś ć a rysun ku 2 p o k a z u j e e s t y m a c j ę w s z y s t k i c h p a r a m e t r ó w regulator»

n

ni»»<ttSłłczofłym h o r y w n c i e ste r o w a n i « . C z ę ś ć b o p i s u j e p r z y p a d e k ,gdy •"

st y m a c j a p a r a m e t r u h Q w s t r z y m a n a z o s t a ł a po 21 o k r e s a c h s t e r o w a n i a , a "

Dobór w a r t o ó o i po czą t k o w e j . 1S5

dalszy« c iągu e s t y n o w e n e były j e d y n i e p o z o s t a ł e p a r a a e t r y reg u l a t o ra . Przedstawione p r z s b l e g l p o t w i e r d z a j « p o d a n a powy że j w n i o s k i 1 t w i e r d z e n i a dotyczące a s y m p t o t y c z n e j n i e i d e n t y f l k o w e l n o ś o i p a r a a e t r ó w r e g u l a t o r a w u- kładzie uogól n i o n e j s a n o n a e t r e j a j ą c e j r e g u l a c j i w i n l a a l n o w a r i a n o y j n e j .

LITERATURA

[1] A a t r o w K.3. : I n t r o d u c t i o n to s t o c h a s t i c c o n t r o l t h e o r y . A c a d e w l c P r es s N e w Y o r k 1970.

[2] A e t r d a K . 3 . , W i t t e n a a r k B. i On s e l f - t u n i n g regu la t o r s . A u t a a a t i c a .vol.

9, 1973, pp. 185-199.

[3] C e g rel l T . , H e d q v i e t T. j S u c c e s s f u l a d a p t i v e c o n t r o l of p a p e r aach i- nes. A u t o a a t i c a , vol. 11, 1975, pp. 53-59.

[4] C l a r k e O.W. , G a w t h c o p B . A . : S e l f - t u n i n g c on t r o l l e r . Proc. IEE, vol.

122, 1975, pp. 929-934.

[5] C l a r k s D . W . , G a w t h r o p B . A . : S e l f - t u n i n g cont r o l. Proc. IEE, vol. 126, no 6, 1979.

[ó] Ouaont G.A. : S e l f - t u n i n g co n t r o l of a chip r e f i n e r a o t o r load. A u t o ­ aatica, vol. 18, no 3, 1982.

[7] H a r r l a T.3. , M a c G r e g o r 3 .F., W r i g h t 3.D. : S e l f - t u n i n g a n d a d a p t i v e co n tro l l e r a s an a p p l i c a t i o n to c a t a l y t i c r e a c t o r control. T e c h n o a e - trlcs, vol. 22, no 2, 1980.

[b] M a c G r e g o r 3.F. , T i d w e l l P.W. : D i s c r e t e s t o c h a s t i c c o n t r o l w i t h Input c o nst raints. Proc. IEE, vok. 124, no B, 1977.

[9] Nlederllriski A. : K o a p l e k s o w a a u t o a a t y k a p r o c e s ó w p r z s a y s ł o w y c h ; A s p a k - ty funkcjona lne. Sk rypt Pol. Si. nr 900, G l i w i c e 1977.

R e c e n z e n t : Prof. dr lnż. T a d e u s z K a c z o rs k

Wpłynęło do R e d a k c j l i k w i e c i e ń 1983 r.

BHBOP HAHAJIbHOrO 3EAHEHHH OAHOTO H 3 E A P A M E T P Q B PEiyjIHTOPA B CAMOHACTPAKBAHUEiiCH C H C T E M E ABT O M A T H M E C K O r O PE I T J K P O B A H H H

. P « 3 D K a

B oiaTie pac c u a T p H B a u T C K np o S x e a u aCHuaioxiraeoxott Kesy;eHiH$KUHpoiiaHKooia napaxeipoB c a x o H a c T p a a B a r x e r o ex mranna j i e o a a p n a a n B O H a o ro peryaxiopa. O n a c a H H Haxoiopue n paxxi n e o x H e u e i o A H B uSop a H a qa z L H or o s a a B S H a a oahoto 1 3 n a p a a e - tpoB p ar y a x t o p a a bj h j h h s btoto Bufiopa na n a i e c TB o UHHHuajiBBOBapHaHipioHsoro peryjcapoBaBHX. IIpHBexeHH npioiepu ua a a & H o r o sxonepHiieBxa c h c t c m aBiouaiiPtec-

*oro y opa s x e s s x xaxoro xe txna.

1 56 3. Moéclrtik;

C H O I C E OF T H E IN I T I A L V A L U E OF O N E OF THE S E L F - T U N I N G R E G U L A T O R P A R A M E T E R S

S u ■ ■ a r y

T hla p a p e r deals w ith the p r o b l c n of a s y m p t o t i c u n i d e n t l f l a b i l i t y o the c o n t r o l l e r p a r a m e t e r s In the a e l f - t u n l n g r e g u l a t i o n s y s t e a . S o a e pnc tlcal a e t h o d a of c h o o s i n g the In i t i a l value* of the s e l f - t u n i n g regulsto l e a d i n g c o e f f i c i e n t h Q a nd the l a p l l c a t i o n a of this c h o i c e a r e describid A s i m u l a t i o n e x am ple Is u s e d to I l l u s t r a t e eo a e of the s t a t e d concepts.