Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I ŚL Ą SK IE J Seria: A U T O M A T Y K A z .l 19
________1996 N r kol. 1339
T om asz S IK O R S K I, E ugeniusz T O C Z Y Ł O W S K I
I n s ty tu t A u to m a ty k i i In fo rm aty k i Stosow anej P olitechniki W arszaw skiej
S T E R O W A N IE O P E R A T Y W N E P R O C E S Ó W D Y S K R E T N Y C H Z U W Z G L Ę D N IE N IE M K O S Z T Ó W Z U Ż Y C IA E N E R G II
S t r e s z c z e n i e . W referacie zaprezentow ano a lg o ry tm ste ro w a n ia o p eraty w n eg o u w z g lę d n ia ją c y m o d el kosztów zużycia zasobu energetycznego, o d p o w iad ają ceg o p ra k ty c z n y m w arunkom zużycia energii i p oboru m ocy elek try czn ej p rzez o d b io r
ców przem ysłow ych rozliczanych w edług tary fy dw uczłonow ej i w ielostrefow ej. Z a
g a d n ie n ia p o ruszone w referacie 2ostały przeanalizow ane d la w ybranego m odelu d y sk re tn e g o sy stem u produkcyjnego, w k tó ry m n a rów noległych p ro ceso rach są realizow ane p o d zieln e o p eracje prod u k cy jn e.
O P E R A T IO N A L C O N T R O L O F D IS C R E T E P R O C E S S E S IN P R E S E N C E O F E N E R G Y C O ST S
S u m m a r y . O p e ra tio n a l control o f preem p tiv e d isc re te processes in p ro d u c tio n sys
te m s in th e presen ce of a con su m ab le resource - elec trical energ y - is an aly sed . T h e p ro d u c tio n processes are m odelled as p re e m p tib le task s w hich re q u ire d u ra b le resources (processors) and a com plex d o u b ly -co n strain ed resource - elec trical energy. T h e aim of th e d e ta ile d p ro d u ctio n scheduling is to find th e m in im u m cost sch ed u le o f all p la n n e d task s, s u b je c t to te m p o ra l and global lim ita tio n s o f th e d u ra b le an d c o n su m ab le resources. T h e o b jectiv e goal is to m in im ize th e overall costs, in clu d in g all co m p o n en ts of th e co m posite cost function re la te d to th e pow er a n d energy co n su m p tio n in tim e zones of th e day.
1. W p ro w a d z en ie
W z ro st cen energii elektrycznej w yw ołuje znaczące zm ian y w s tru k tu r z e kosztów w sy stem ach p rzem ysłow ych. W p rz y p a d k u wielu typów procesów przem ysłow ych w y m ag a
jący c h specyficznego ro d z a ju zasobu zużyw alnego, ja k im je s t en erg ia e le k try c z n a , is to tn y m czy n n ik iem w p ły w ający m n a całkow ity koszt ich realizacji je s t g o sp o d ark a en e rg e ty c z n a .
D z ia ła n ia w zak resie racjonalizacji zużycia energii elektrycznej w sy ste m a c h p rz e m y słow ych d z ie lą się n a dw ie kategorie. P ierw sza je s t zw iązan a z unow ocześnieniem energ o chłonnych technologii i u rząd zeń . D ru g a, rozw ażana w referacie, d o ty czy d z ia ła ń d o ra i-
88 T . Sikorski, E. Toczyłow ski
nych, k tó ry ch celem je s t obniżenie kosztów zu ży cia energii w w yniku efektyw nego gospo
d aro w an ia energią, i m o cą e le k try c z n ą w trak cie realizacji procesów przem ysłow ych. D zia
ła n ia te o b e jm u ją k sz ta łto w a n ie c h arak tery sty k i o b ciąż en ia (zap o trz e b o w a n ia n a en erg ię i m o c e le k try c z n ą ) n a e ta p ie planow ania oraz stero w an ia procesam i przem ysłow ym i.
W sy stem ach p ro dukcyjnych p o d staw ą sterow ania p o p y te m n a energię e le k try c z n ą je s t m ożliw ość k sz ta łto w a n ia ch arak tery sty k i o b ciąż en ia w w yniku realizacji p ro cesu p ro d ukcji w edług różnych, zm iennych w czasie scenariuszy. Podstaw ow e p o d ejście p o le g a n a uw zględnieniu w z a d a n iu stero w an ia m o d elu kosztów odp o w iad ająceg o s tr u k tu r z e o p ła t z a zużycie en erg ii. Z godnie z w ystępującym i w niej sk ład n ik am i [7] do n ajw ażn iejszy ch d z ia ła ń o p ty m a liz a c y jn y c h , k tó ry ch podjęcie pozw ala n a obniżenie kosztów zw iązan y ch z zu ży ciem energii, m o ż n a zaliczyć:
• m in im alizację kosztów zużycia energii elektrycznej czynnej w stre fa c h czaso
w ych doby,
» m in im alizację kosztów m ocy obrachunkow ej,
• m in im alizację kosztów ew entualnych przekroczeń m ocy zam ów ionej.
W n in iejszy m referacie, b ęd ący m k o n ty n u a c ją [4], p rzed staw io n o podstaw ow e z a g a d n ie n ia d o ty czące o p ty m alizacji kosztów zużycia energii i p o b o ru m ocy elek try czn ej n a e ta p ie ste ro w a n ia o p eraty w n eg o procesów d y sk retn y ch . Z ag ad n ien ia te z o sta ły p rz e a n a li
zow ane d la w ybran eg o m odelu sy stem u produkcyjnego.
2. M o d e l m a te m a ty c z n y p ro b lem u sterow an ia o p e r a ty w n e g o
R ozw ażany je s t sy stem p rodukcyjny, k tó ry ze w zględu n a sposób z a sila n ia i z asad y rozliczeń za z u ż y tą energię o dpow iada modelow i odbiorcy finalnego rozliczanego w edług ta ry fy dw uczłonow ej i w ielostrefow ej. W sy stem ie z n a jd u je się pew n a lic z b a je d n o ste k w y tw órczych (procesorów ) Pi, l e L = { 1 , . . z k tó ry ch k ażd a m oże realizow ać n ie z a leżne o p e ra c je p ro d u k c y jn e i 6 / = {1, Z adanie p ro d u k cy jn e po leg a n a w ykonaniu o p eracji p ro d u k cy jn y ch i € / w horyzoncie czasu [ 0 ,T ‘j w edług m inim alnokosztow ego h arm o n o g ra m u .
S terow anie o p e ra ty w n e procesów d y sk re tn y c h .. 89
P a r a m e tr y realizacji operacji p rodukcyjnych i 6 I n a procesorach l £ L są zdefi
niow ane p rzez tr z y m acierze: m acierz P = [pj,], gdzie je s t czasem w y m ag an y m do w y k o n an ia i-te j o p eracji w całości n a /-ty m procesorze; m acierz C = [ci,], gdzie ci; je s t kosztem realizacji i-te j o p eracji w całości na /-tym procesorze; m acierz E = [ei,], gdzie eu je s t w ielkością energii (czynnej) w y m ag an ą do w yk o n an ia i-te j o p eracji w całości n a i-ty m p rocesorze. O p eracje p rodukcyjne i 6 I są pod zieln e, tzn . rea liz a c ja i-te j op eracji na /-ty m procesorze m oże być przerw an a w dowolnej chw ili, a n a stę p n ie w znow iona n a dow olnym pro ceso rze bez p o trz e b y p rzezb ro jeń i dodatkow ych kosztów . W d an ej chw ili każda o p e ra c ja m oże by ć realizow ana tylko n a jed n y m procesorze, a każdy p rocesor m oże realizow ać ty lk o je d n ą o p erację. D odatkow o z a k ła d a się, że w tra k c ie realizacji z a d a ń en erg ia zu ż y w a n a je s t w ta k i sposób, że po b ó r m ocy je s t stały.
H o ry zo n t czasu [0, T ’], w k tó ry m należy w ykonać operacje p ro d u k c y jn e i 6 / , je s t podzielony n a T okresów (nazyw anych dalej okresam i u śre d n ia n ia ). W yró żn io n e okresy u śre d n ia n ia o d p o w ia d a ją odcinkom czasu, d la których je s t w y zn aczan a u śre d n io n a w ar
tość p o b o ru m ocy (jak o w ielkość zu ży tej energii p o d zielo n a przez długość okresu u śre d n ia n ia ). H o ry zo n t czasu [ 0 ,T ‘] m ożna zate m przedstaw ić ja k o T~ = J2kąK AT*, gdzie K = { 1 ,. . . , T } je s t zbiorem okresów u śred n ian ia , a AT* długością k- tego o kresu u ś re d n ia nia. P oniew aż w p ra k ty c z n y c h p rzypadkach długości AT* w szystkich okresów u ś re d n ia n ia w ok resie o b rach u n k o w y m są rów ne, w m o d elu p rzy jęto , że AT* = A T = 1 d la k e K . Zbiór K z o s ta je podzielony n a rozłączne p odzbiory K , o d p o w iad ają ce strefo m czasow ym , gdzie a € S \ S — ( l , . . . , s ”) je s t indeksem s tre f w horyzoncie [Q,T*]; K = W strefach czasow ych o b o w iązu ją różne staw ki o p ła t za zużycie energii ele k try c z n e j. P rzez T , z o sta je o zn aczo n a liczba okresów u śre d n ia n ia w strefie czasowej .s; T = £ , e s T , .
W p ro w ad zam y z m ie n n ą aą,-* 6 [0,1] w y znaczającą, ja k a p o rcja i-te j o p eracji będzie realizow ana n a /-tj'm procesorze w fc-tym okresie u śred n ian ia . C zas /¡¡* w y k o n an ia porcji i-tej o p eracji n a I-ty m procesorze w /o-tym okresie u śre d n ia n ia je s t z a te m rów ny publik-
O g r a n ic ze n ia g lo b a ln e
O g ran iczen ie glo b aln e z a p ew n iające w ykonanie w szystkich o p eracji w h o ry zo n cie czasu [0, T"] m a postać:
keK ieL
Vi (1)
m T . Sikorski, E . Toczylow ski
O g r a n ic ze n ia d la ok resów u śred n ian ia
D la każdego z okresów u śre d n ia n ia m uszą być sp ełn io n e o g ran iczen ia n a m a k sy m aln y czas p ra c y procesorów oraz realizacji operacji
E
Pi¡x nk2 1 Vfc,
I(2)
< 1 Vfc,t (3)
(et
O g r a n ic ze n ia ch w ilow e w ok resie u śred n ian ia
W każdym okresie u śre d n ia n ia & € K harm o n o g ram pro d u k cji m o żn a p rz e d sta w ić ja k o ko m p o zy cję S k — | ¡3 6 B k) elem en tarn y ch planów /? € B k , gdzie y ° je s t d łu g o ścią trw a n ia p lan u elem en tarn eg o (3 6 B k , a [u®] je s t m acierzą zm iennych b in arn y ch ta k ic h , że vf¡ = 1, jeżeli w planie elem en tarn y m ¡3 6 B k danego o kresu u śre d n ia n ia o p e ra c ja ¡- ta je s t realizow ana n a l-ty m procesorze i = 0 w p o zo stały ch p rz y p ad k ach . U szeregow anie planów elem en tarn y ch je s t n ieisto tn e ze w zględu n a b ra k p rz e z b ro je ń , przy czym d la ¿-teg o okresu u śred n ian ia kom pozycja planów elem en tarn y ch S k m usi sp e łn ia ć n a s tę p u ją c e ograniczenia:
E
'/= 1 (4)
oeBi
E
v?¡ys -p«*«* (5)
O g ran iczen ia chwilow e n a dostęp n o ść procesorów i m ożliwość realizacji o p eracji w ynika
ją c e z fa k tu , że w danej chwili procesor m oże realizow ać ty lk o je d n ą o p erację, a k ażd a o p e ra c ja m oże być realizow ana tylko n a jed n y m procesorze m a ją postać:
5 > £ < 1 V i , P e B k (6)
lei
E « , 1 < 1 V/, /? € B k (7)
■er
K o s z ty o p e r a ty w n e realizacji op eracji p rod u k cyjn ych
1. K o szt p ra c y procesorów
W y k o n an ie i-te j operacji na i-ty m procesorze je s t zw iązane z p ew nym s ta ły m kosz
te m Cft-. K oszt realizacji w szystkich operacji w ynikający ze sto p n ia w y k o rz y sta n ia poszczególnych procesorów w y raża się w zorem:
kzKitL iei
S terow anie o p e ra ty w n e procesów d y s k re tn y c h .. 9 1
2. K o szty zu ży cia energii
W ogólnym p rz y p a d k u n a koszty zużycia energii s k ła d a ją się koszt zw iązany z ilością z u ż y te j energii elek try czn ej czynnej w strefach czasowych oraz koszt p o b o ru m ocy w ok resie o brachunkow ym .
Ilość zu ży cia energii w ynika z energochłonności procesu p ro d u k cji, co w p rz y p a d k u rozw ażanego sy stem u zw iązane je s t z ilością energii en, ja k a je s t w y m ag an a do re
alizacji ¿-tej operacji n a /-ty m procesorze. K oszt zu ży cia energii w sy ste m ie m o żn a w y razić w zorem :
] C c> / L IC IC e H * !.-* ( 9 )
>iS keK, m w
gdzie c ' je s t o p ła tą za zużycie jed n o stk i energii elek try czn ej w strefie czasow ej s.
R o zliczen ia z a p o b ó r m ocy są dokonyw ane n a p o d staw ie wielkości p o b o ru m o cy w poszczególnych okresach u śre d n ia n ia okresu obrachunkow ego. W ro zw ażanym h o ry zoncie czasu [0,7'*] pob ó r m ocy w fc-tyrn okresie u śre d n ia n ia m o ż n a w y razić w zorem :
r, Zu lE h i enxnic „ nX
Pk = A T {10)
W p ra k ty czn y ch przypadkach rozliczenie za p o b ó r m ocy m oże n astęp o w ać w edług ró żn y ch w ariantów [7]. D la rozw ażanego w referacie m odelu p rz y ję to najczęściej stosow any w a ria n t, polegający na w ykorzystaniu do rozliczeń m ak sy m aln ej w ar
tości m o cy p o b ra n e j w okresie obrachunkow ym . Z godnie z p rz y ję ty m w a ria n te m , o p ła c ie p o d leg a m a k sy m aln a w artość p o b o ru m ocy (o p la ta z a m oc obrachunkow ą [7]), w edług staw ki cp za p o b ra n ą je d n o stk ę m ocy elek try czn ej, p rzy czym jeżeli p o b ó r te n je s t w iększy o d wielkości m ocy P2, ja k a z o sta ła zarezerw ow ana n a p o trz e b y sy s te m u p ro d u k cy jn eg o , o p ła ta je s t pow iększana o d o d atk o w y sk ład n ik zw iązany z p rz e k ro czen iem m ocy zam ów ionej P , (o p ła ta z a p rzek ro czen ie m o cy zam ów ionej [7]). N ad w y żk a m ocy pobranej ponad m oc zam ów ioną P2 p o d leg a o p łacie w ed łu g sta w k i cA z a każdą je d n o stk ę mocy. K oszt p oboru m ocy m o ż n a w yrazić w zorem :
c l - P l + c l - P ? (11)
p rzy czym
P ° + Pr' + PrJ = P r = m ąx Pk (1 2)
9 2 T . Sikorski, E . Toczylow ski
gdzie
0 < Pr° < A °; A ° = m in [ P \ P 2] (13)
Z m ie n n a P r° je s t w ielkością m ocy " b e z p ła tn e j” , k tó r a je s t z w iązan a z o p ła t ą z a m o c P* b ę d ą c ą m a k s y m a ln ą w artością p oboru m ocy w okresach u ś re d n ia n ia o kresu obrachunkow ego, pop rzed zający ch rozw ażany h o ry zo n t czasu [ 0 ,T ’J. M oc P " , ja k a ju ż z o sta ła p o b ra n a w bieżący m okresie obrachunkow ym , m oże być tr a k to w a n a w
ro zw ażan y m h oryzoncie [0 ,T '] jak o m oc, za k tó rą zapłacono.
0 < p ; < A ); &'r = \Pz - P ' \ (14)
Z m ie n n a P J , w p rzy p ad k u gdy P* < P*, re p rezen tu je w ielkość m o cy p o b ra n e j p o n a d m o c P" do w artości P- i je s t rozliczan a w edług staw ki c) = cv. W p rz y p a d k a c h kiedy P* > Pz , rep rezen tu je ona wielkość przek ro czen ia m o cy zam ów ionej, k tó re ju ż w y stą p iło , w zw iązku z czym w rozw ażanym horyzoncie czasu [0, T*] je s t ono b e z p ła tn e (c) = 0).
0 < P r2 < A j ; A j = Pmax — A ) - A j (15)
Z m ie n n a P j re p re z e n tu je wielkość p o b o ru mocy, z a k tó r ą n a le ż y z a p ła c ić w ra m a c h o p ła t z a m o c obrach u n k o w ą i przekroczenie m ocy zam ów ionej (cj = cr + cA). M oc Pmax o k re śla m a k s y m a ln ą w artość mocy, ja k a m oże być p o b ra n a w sy s te m ie ze w zględu n a b ezpieczeństw o pracy u k ła d u zasilania.
P r o b le m ster o w a n ia o p era ty w n e g o
Z n aleźć k o m p o zy cję elem en tarn y ch planów | /? 6 B k ) \ k = 1 , . . . , T , realizacji o p eracji i € / w h oryzoncie czasu [0, T*] m in im alizu jącą funkcję kosztów
m in F = £ 3 J 2 + X ) c ' £ ei' Xlik + c’ ' Pr + cl ' Pl ( 16) k e K i t L i e i >es k e K . i e L i e i
gdzie
P r° + P l + P l = PT = m ax (17)
S terow anie o p e ra ty w n e procesów d yskretnych . 93
0 < P ° < A “ (18)
0 < Pr < A ; (19)
0 < P ? < A l (20)
p rzy o g ran iczen iach globalnych
E E * « ‘ = i Vi ( 2 i)
k e K ie i
o g ran iczen iach d la kolejnych okresów u śred n ian ia k = 1 , . . . , T
S < l i 22)
le i
Z
Pi-X‘>k < 1 VM (23)<e>
i o g ran iczen iach chw ilow ych d la planów elem en tarn y ch w każdym okresie u ś re d n ia n ia k £ K
Z "II < 1 V t,/j £ B k (24)
lek
Z " H < 1 Vl j € B k (25)
<ei
Z y° = 1 (26)
tfen*
H v hV0 = Ptix t<k Vi, i (27)
cgnk
3. T r ó j f a z o w y a l g o r y t m r o z w i ą z a n i a p r o b l e m u
P rz e d sta w io n y w ty m rozdziale a lg o ry tm pozw ala n a o p ty m a ln e ro zw iązan ie ro zw aża
nego w referacie p ro b le m u stero w an ia operatyw nego. W fazie 1 a lg o ry tm u rozw iązyw any je s t p ro b lem zagregow any, w w yniku czego n a stę p u je p rzy d ział porcji op eracji i £ I do w y
k o n an ia w poszczególnych strefach czasowych s £ S . Z ad an ie fazy II po leg a n a dezagrega- cji ro z w ią z a n ia uzyskanego w fazie I, tz n . rozdziale porcji operacji do okresów u ś re d n ia n ia poszczególnych s tre f czasow ych. W fazie III n a stę p u je uszczegółow ienie h a rm o n o g ra m u p ro d u k cji w poszczególnych okresach u śred n ian ia. K oszty zu ży cia energii i p o b o ru m o c y z o sta ją uw zględnione w z a d a n iu fazy I, gdzie są w yznaczane w artości p o b o ru m ocy P, w okresach u ś re d n ia n ia poszczególnych s tre f czasow ych.
9 A T . S ikorski, E . Toczylow ski
3.1. F A Z A I - problem zagregowany
D okonujem y podw ójnej agregacji zm iennych postaci
* u ,
=
Y x ,ik = y Y vity°(28)
ksi<. kiK .pe.a1' Po agregacji o trz y m u je m y n a stę p u ją c y problem :
P r o b l e m z a g r e g o w a n y
Z naleźć m acierz [x/;j] m in im alizu jącą funkcję kosztów
m in F = Y Y T , c‘iX>" + £ CS Y i H chxHm + c\ ■ P i + <?r ■ P i (29)
tesiGLiei »es leLiei
gdzie
P i + P i + P i = Pr (30)
Pr > P , = ^ ' €Ł -*— (31)
Pj
0 < P i < A ? (32)
0 < P i < A l (33)
0 < P i < A j (34)
p rzy zachow aniu og ran iczeń globalnych oraz ograniczeń d otyczących czasu p ra c y p ro c e sorów i realizacji o p eracji w strefach czasowych
Y Y X«> = 1 Vt (35)
i €S 16 L
Y phx “’ - V s>! (36)
teL
Y
pi<x'“ ^
T* Vs>* (3?)■ £/
3.2. F A Z A II - rozdział operacji pom iędzy okresy uśredniania
R ozw iązaniem p ro b lem u zagregow anego s ą wielkości x u , o k reślają ce, ja k a p o rc ja i-tej o p eracji b ęd zie w y k o n an a n a /-ty m procesorze w strefie czasowej s oraz w a rto ść m o cy P, d la okresów u ś re d n ia n ia strefy czasowej s , konieczna do realizacji p rzydzielonych o p eracji p ro d u k cy jn y ch .
Z ad an ie fazy II polega n a rozdziale operacji przydzielonych do realizacji w strefie cza
sowej s m ięd zy o kresy u śre d n ia n ia tej strefy; k G ! ( ,. R ozw iązanie z a d a n ia dezagregacji
S tero w an ie o p e ra ty w n e procesów dy sk retn y ch . 95
m usi s p e łn ia ć o g ran iczen ia globalne zw iązane z w ykonaniem w szystkich planow anych w strefie czasowej s o p eracji i o graniczenia d la okresów u śre d n ia n ia d o ty czą ce p o b o ru m o cy oraz czasu p racy procesorów i realizacji operacji. Z ad an ie fazy II m o żn a z a p isać w n a s tę p u jący sposób:
P r o b le m d ezagregacji
Z naleźć m a c ie rz s p e łn ia ją c ą n a stęp u jące w arunki:
E E 1 «* - E r ' » (38)
kzK ,l£L ¡6 t
E 5 2 x ><*e‘> - P’ V s, k e K , (39) /et
m
5 2 PHZlik < 1 Vfc,ł (40)
i£Ł
5 2 Pnx lik ^ 1 / (41)
*e/
T w i e r d z e n i e . Z ad an ie dezagregacji p o siad a rozw iązanie rów now ażne ro zw iązan iu z a d a n ia I fazy.
D o w ó d .
N a p o d sta w ie ro zw iązan ia z a d a n ia 1 fazy (problem u zagregow anego) są praw dziw e n a stę p u ją c e zależności:
5 2 X > f .'.e i . = P .T , Vs (42)
/et >e/
< Z) Vs, i (43)
/et
E w * « . < Vs , / (44)
te/
Poniew aż p ro b lem dezagregacji sk ła d a się z niezależnych podproblernów d o ty czą cy ch p o szczególnych s tre f czasow ych s 6 5 , rozw ażm y p o jed y n cz y okres fc w strefie czasowej s.
Niech
= y 1 (45)
w tedy o trzy m u jem y :
E x >» = E T .x iik = E E *«* (38) (46)
leL ieL keKt ¡eL
P o d sta w ia ją c do (42), (43), (44) Xus — T ,zk* , o trzy m u jem y
E E ^ T > E E « E E ^/.te/t = P. & (39) (47)
/et ie/ /et te/ /et ¡6/
96 T . Sikorski, E. Toczyiow ski
¿ T p u z ii, < T , 44 T , ^ p u z u k < T, 44 < 1 <4- (40) (48)
/ e i / e t /eŁ
Y ^ P h x H‘ < T , 44 T ,Y ^ P n x n k < T , 44 < 1 44 (41) (49)
ie/ ;e/ ¡e/
W p rzep ro w ad zo n y m dow odzie zo stało w skazane istn ie n ie ro zw iązan ia p ro b le m u dez- agregacji. O trz y m a n e rozw iązanie m oże zaw ierać dużo m a ły c h p o rcji o p eracji, realizow a
n y ch w k a żd y m okresie u śred n ian ia . D latego do rozw iązania p ro b lem u II fazy p ro p o n u je m y poniższy ite ra c y jn y a lg o ry tm dezagregacji, w k tó ry m istn ieje m ożliw ość k o n tro lo w an ia p o rcjo w an ia operacji.
A lg o r y tm d ezagregacji
1. P o d sta w s — I, k = 1, i:' = 1;
O blicz w edług w zoru: tu, — xu,pu\
2. O blicz a k tu a ln e , p o zo stałe obciążenie procesorów i/ oraz czas i,-, ja k i p o z o sta ł do zak o ń czen ia realizacji operacji przydzielonych do strefy czasowej s
U = X > . (50)
ie i
U = J 2 łli’ (51)
HżL
3. W y b ierz ta k ie w artości aby spełnić n a stę p u ją c e o g ran iczen ia
= ^ ( 5 2 )
ieL iei P'<
U + k — T , < ^ tuk < 1 (53)
¡e t
+ < 1 (54)
¡er
0 < hik < tu , (55)
4. A k tu a liz u j [<(,-,): tu, = tu, - t lik;
5. Jeżeli k' = T , to idź do kroku 6, w pozostałych p rzy p ad k ach k = k + 1, k' = k ' + 1 i id ź do kroku 2;
6. Jeżeli s = s ’ , to koniec; w pozostałych p rzy p ad k ach s = s + 1, k = k + 1, k = l i id ź do k ro k u 2.
S terow anie o p e ra ty w n e procesów d yskretnych .
3 0 .
3.3. F A Z A I I I - D ekom pozycja
P o ro zw iązan iu z a d a n ia II fazy zn an e są czasy tu k w y zn aczające, p rzez ja k ą część fc-tego o k resu u śre d n ia n ia i-ty procesor m a realizow ać ¡'-tą operację. Z a d an ie III fazy po leg a n a dekom pozycji rozw iązania II fazy, tzn . znalezieniu kom pozycji elem en tarn y ch planów S k = { ([vn],yp ) I P 6 B k ] d la kolejnych okresów u śred n ian ia . R o zw iązan ia tej fazy m u szą sp e łn ia ć o g ran iczen ia chwilowe w okresie u śre d n ia n ia (24), (25), (26) i (27).
Z ad an ie to sp ro w ad za się do znanego z lite r a tu ry [2, 3] p ro b le m u "S zeregow ania z a d a ń podzielnych n a dow olnych procesorach rów noległych” .
L IT E R A T U R A
1. B łażew icz J ., C ellary W ., Słow iński R ,, W ęglarz J.: S cheduling u n d e r R esource C o n s tra in t - D e te rm in istic M odels. A nnals of O p eratio n s R esearch, 7, B alzer A G , 1986.
2. L aw ler E .L ., L ab eto u llc J.: On preem tive scheduling of u n re la te d processors by lin ear p ro g ram m in g . J.A C M ,, 25 (1978), pp. 612-619.
3. Słow iński R ., W ęglarz J.: M inim alnoczasow y m odel sieciow y z różnym i sposobam i w yko n y w an ia czynności. P rzeg ląd S taty sty czn y , 24, 1977, pp. 409-415.
4. Sikorski T ., Toczylow ski E.: O n P re e m p tib le Task S cheduling wi t h E n erg y A lloca
tio n for D isc re te P ro d u c tio n Processes. Second In te rn a tio n a l S y m p o siu m on M e
th o d s an d M odels in A u to m atio n and R obotics, Vol. 2, M ięd zy zd ro je 1995, pp.
793-798.
5. Sikorski T ., Toczylow ski E.: R acjonalizacja gospodarki e n erg ią e le k try c z n ą p rzy realizacji za d a ń w sy stem ach przem ysłow ych. M a te ria ły K o nferencji N aukow o-T cchnicznei ’’O p ty m alizacja w E lek tro en erg ety ce", W arszaw a-Jach ran k a 1995, p p .237-247.
6. Toczyłow ski E.: A lg o rith m s for p reem tiv e scheduling of in d e p e n d e n t ta s k s in th e presen ce of g en eral renew able an d consum able resources. Z eszyty N auk. A G H , A u to m a ty k a 59, 1991, p p . 163-172.
7. M in isterstw o F inansów : C ennik N r 7 -Z /9 5 , E nergia E le k try c z n a .
98 T . S ikorski, E . Toczylow ski
R ecenzent: P rof, d r h ab . inż. J e rz y K lam k a
W p ły n ę ło do R edakcji do 30.06.1996 r.
A b s tr a c t
M any ty p e s of d isc re te an d seini-continuous in d u stria l processes re q u ire a s u b s ta n tia l a m o u n t of a specific consum able resource, w hich is elec trical energy. S teel m ills, rail co m p an ies, a n d th e u n d erg ro u n d com m unication system s are ty p ical ex a m p le s of h eavy co n su m ers o f elec trical energy. In such sy stem s, th e energy costs c o n s titu te a significant p a r t of th e to ta l p ro d u c tio n or o p eratio n al costs. T herefore, energy m a n a g e m e n t is a n im p o rta n t fa c to r in sch ed u lin g energy-consum ing processes a n d th e ir o p e ra tio n a l co n tro l. In p a rtic u la r, an a p p ro p ria te scheduling of task s m ay reduce pow er re q u ire m e n ts and en erg y costs for th e co n su m er of th e energy.
E le c tric a l energy is a very specific consum able resource, for w hich a n o n triv ia l cost a n d u sag e m odel is used in th is p ap er. T h e p ro d u c tio n processes a re m odelled as p re e m p tib le task s w hich req u ire d u ra b le (renew able) resources (i.e., processors) a n d a co m p lex co n su m ab le resource - th e electrical energy. D epending on th e p a rtic u la r p ro d u c tio n en v i
ro n m e n ts, th e ta s k s m ay b e e ith e r p re e m p tib le or n o n p reem p tib le. In th is p a p e r we s tu d y on ly a p re e m p tiv e case.
T h e a im of th e d e ta ile d p ro d u ctio n scheduling is to find th e m in im u m cost sch ed u le of all p la n n e d task s, s u b je c t to all tem p o ral an d global lim ita tio n s an d re q u ire m e n ts.
T h e o b je c tiv e goal is to m inim ize th e overall costs, in clu d in g all co m p o n en ts of th e cost fu n c tio n re la te d to pow er a n d energy co nsum ption. W e p resen t an o p tim a l th re e -p h a se a lg o rith m for solving th e o p eratio n al control p roblem . In P h ase 1 an ag g reg ated allo catio n p ro b lem is solved. F rom th e so lu tio n of th is problem p o rtio n s of task s are a llo c a te d to tim e zones. In P h a se 2 th e allocation of p o rtio n s of tasks to m ean p erio d s a re d e te rm in e d . F in ally , in P h a se 3 th e d e ta ile d p ro d u ctio n scheduling for each m ean p e rio d is c a lc u la te d .
