ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI III Lista I WPPT/FT/IB Elektromagnetyzm.
Rozdziały 24-32 podręcznika Halliday/Resnick/Walker.Physics makes you think
1. (a) Wyznaczyć natężenie i potencjał pola elektrostatycznego, którego źródłem jest kula o promieniu R umieszczona w próżni i wypełniona ładunkiem ze stałą gęstością objętościową ρ. (b) Wyznaczyć natężenie pola elektrostatycznego wytworzonego przez bardzo długi walec o promieniu R wypełniony ładunkiem ze stałą gęstością objętościową ρ.
*2. Według modelu kwarkowego cząstek elementarnych proton składa się z dwóch kwarków górnych, z których każdy ma ładunek 2e/3 oraz jednego kwarku dolnego o ładunku −e/3. Załóżmy, że kwarki te znajdują się w odległo- ści 1,32·10−15m. Obliczyć elektryczną energię potencjalną dwóch górnych kwarków oraz całkowitą elektryczną energię potencjalną układu trzech kwarków. Ile wynosi siła odpychania elektrostatycznego między dwoma kwarkami górnymi?
3. Proton o energii kinetycznej 4,8 MeV zbliża się do jądra ołowiu (ładunek jądra 82e) po prostej łączącej środki protonu i jądra. Proton nie dostaje się do wnętrza jądra. Obliczyć najmniejszą odległość protonu od środka jądra. Oszacować energię kinetyczną, jaką powinien mieć proton, aby znaleźć się we wnętrzu jądra, którego promień wynosi 1,2 · 10−15· A1/3m, gdzie A = 207 jest liczbą masową jądra ołowiu.
4. Kondensator o pojemności C1 = 6 µF połączono szeregowo z kondensatorem o pojemności C2 = 4 µF, a potem przyłożono do tego układu różnicę potencjałów U = 200 V. Obliczyć: (a) pojemność układu; (b) ładunek na każdym z kondensatorów; (c) różnicę napięć między okładkami kondensatorów. Rozwiąż to zadanie w przypadku równoległego połączenia kondensatorów.
*5. Gęstość energii pola elektrostatycznego ρE = D · E/2. Niech źródłem pola będzie elektron. Wyznaczyć zależność gęstości energii ρE(r), gdzie r – odległość od środka elektronu, który traktujemy jako obiekt punktowy.
6. Cylindryczny pręt miedziany o długości L, polu przekroju poprzecznego S i oporze właściwym ρ został rozciągnięty.
W rezultacie jego długość wzrosła dwukrotnie, a objętość nie zmieniła się. Oblicz: (a) Pole przekroju poprzecznego po wyciągnięciu; (b) Opór pręta, wiedząc, że jego początkowy opór miał wartość R.
*7. Piecyk do hot dogów działa w ten sposób, że do końców parówki przykładane jest napięcie 120 V, która ogrzewa się dzięki wydzielaniu się w niej energii cieplnej związanej z przepływem prądu. Załóżmy, że przez parówkę płynie prąd o natężeniu 10 A, a do jej upieczenia potrzeba energii 60 kJ. Uzasadnij stwierdzenie: W tych warunkach, przy takiej samej mocy zasilania, jednoczesne upieczenie trzech parówek zajmie 150 s.
8. Ile czasu potrzebuje, średnio rzecz biorąc, elektron na przepłynięcie przewodu o długości 5 m, w którym gęstość prądu jest stała i wynosi 2 · 106A/m2, a koncentracja elektronów przewodnictwa n = 8,5 · 10281/m3?
9. Przez prostoliniowy przewód o średnicy 1 mm płynie prąd o natężeniu 2 A, a jednorodne pole elektryczne w tym przewodniku ma natężenie E = 5,3 V/m. Ile wynosi opór właściwy materiału przewodnika?
10. Grzejnik o mocy 500 W jest przystosowany do zasilania ze źródła o napięciu 115 V. O ile procent zmaleje jego moc grzejna, jeśli napięcie spadnie do 110 V? Założyć, że opór grzejnika się nie zmienia. Czy wynik, a jeśli tak, to jak zależy od zmiany oporu grzejnika wraz z temperaturą?
11. Chcemy, aby w oporniku z R = 0,1 Ω moc wydzielanej energii wynosiła 10 W, gdy jest on połączony do źródła o SEM równej 1,5 V. Ile musi wynosić różnica potencjałów na oporniku? Ile wynosi wówczas opór wewnętrzny źródła?
*12. Biegnący ze wschodu na zachód kabel podziemny o długości 10 km składa się z dwóch przewodów, z których każdy ma opór 13 Ω/m. W odległości X od zachodniego końca kabla wytworzyło się zwarcie, tj. między przewodami po- wstał kanał przewodzący o oporze R. Opór przewodów i kanału zmierzony na wschodnim końcu kabla wynosi 100 Ω, a zmierzony na końcu zachodnim jest równy 200 Ω. Wyznaczyć wartości R i X.
13. Źródło o SEM równej 2 V i oporze wewnętrznym 0,5 Ω zasila silnik elektryczny podnoszący ciało o ciężarze 2 N ze stała prędkością 0,5 m/s. Przyjmując, że nie ma strat energii, wyznaczyć: (a) natężenie prądu w układzie; (b) napięcie na końcówkach silnika.
*14. W przewodniku leżącym na osi OX między punktami o współrzędnych x = 0 i x = 1 płynie w dodatnim kierunku osi OX prąd elektryczny o stałym natężeniu 3 A. Przewód ten znajduje się w polu magnetycznym o indukcji B = (4 T/m2)x2i−(0,6 T/m2)x2j. Wyznaczyć siłę magnetyczną działającą na ten przewodnik. Określić jej kierunek i zwrot.
15. Sześcian metalowy o długości boków 2 m przesuwany jest z prędkością v = (20 m/s)i w jednorodnym polu magne- tycznym o indukcji B = (30 mT)j. Wyznaczyć kierunek, zwrot i wartość pola elektrycznego powstałego w sześcianie.
Jedna z krawędzi sześcianu jest równległa (podczas ruchu) do osi OX.
16. Elektron porusza się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B = (60 µT)i. W chwili wejścia w pole ma- gnetyczne prędkość elektronu była v = (32i + 40j) km/s. Obliczyć: (a) Promień śrubowego toru elektronu; (b) Skok śruby.
*17. Projektujesz cyklotron, w którym zamierzasz przyspieszać protony do prędkości c/10. Dysponujesz magnesem wytwa- rzającym pole magnetyczne o indukcji 1,4 T. Oblicz wymagany promień cyklotronu i wymagana częstość generatora pola elektrycznego. Efekty relatywistyczne zaniedbać.
18. Cząstka o ładunku 5 µC porusza się w obszarze pola magnetycznego o indukcji B = (−20i) mT i pola elektrycznego o natężeniu E = (300j) V/m. W pewnej chwili prędkość tej cząstki wyniosła v = (17i − 11j + 7k) km/s. Wyznaczyć wektor siły działającej na tę cząstkę.
19. W dwóch długich równoległych przewodach odległych od siebie o d płyną w przeciwnych kierunkach prądy o natęże- niu I. Rozpatrzmy punkt leżący na symetralnej odcinka d w odległości R od jego środka. Uzasadnij, że indukcja pola magnetycznego w tym punkcie jest równa: B = 2µ0Id/[π(4R2+ d2)]. Jaki jest kierunek wektora indukcji?
*20. W cylindrycznym przewodniku o promieniu R płynie prąd o natężeniu I. Prąd płynie jednorodnie w objętości przewod- nika umieszczonego w próżni. Wyznaczyć zależność indukcji pola magnetycznego od odległości r od osi przewodnika.
Rozpatrzeć przypadki r < R i r > R.
21. Maksymalne natężenie prądu, który może płynąć w nieizolowanym przewodzie miedzianym o średnicy 2,6 mm bez jego nadmiernego nagrzewania, wynosi 50 A. Obliczyć wartość indukcji pola magnetycznego na powierzchni tego przewodnika, gdy płynie prąd o podanym natężeniu.
22. Kołową ramkę przewodzącą o promieniu 14 cm umieszczono w polu magnetycznym, którego wektor indukcji tworzy kąt π/6 z normalną do powierzchni ramki. Wartość indukcji magnetycznej pola wzrasta ze stałą szybkością od 30 mT do 60 mT w czasie 15 ms. Opór ramki 5 Ω. Oblicz natężenie prądu indukowanego w ramce, gdy indukcja wynosi 50 mT.
*23. Wyznaczyć energie potrzebne do wytworzenia w sześcianie o boku 1 m: (a) Jednorodnego pola elektrycznego o natę- żeniu 100 kV/m; (b) Pola magnetycznego o indukcji 1 T. W którym przypadku zgromadzona jest większa energia?
24. Kołową cewkę o 50 zwojach, promieniu 15 cm i oporze całkowitym 4 Ω umieszczono w jednorodnym polu magnetycz- nym o wektorze indukcji prostopadłym do płaszczyzny cewki. Wartość indukcji pola zależy od czasu B(t) = A sin(ωt), gdzie A = 80 µT, ω = 50π rad/s. Wyznaczyć natężenie prądu w cewce w chwili t = 20 ms.
*25. Obwód RL. Zamknięty obwód elektryczny zawiera opór R, cewkę o indukcyjności L i źródło o SEM równej E. Z dru- giego równania Kirchhoffa wynika równość
E −IR − LdI dt = 0.
Pokazać, że po włączeniu SEM zależność natężenia prądu w obwodzie LR od czasu ma postać
I(t) = E
R[1 − exp(−Rt/L)] .
Jak zależy od czasu indukowana w cewce siła elektromotoryczna LdIdt? Sporządzić stosowne wykresy.
*26. Obwód LC. Obwód elektryczny składa się z cewki o indukcyjności L, kondensatora o pojemności C i wyłącznika.
Po naładowaniu kondensatora i zamknięcia obwodu (zwieramy wyłącznik) kondensator rozładowuje się. Dynamikę ładunku w obwodzie zadaje równanie ruchu
−LdI(t)
dt −Q(t)/C = 0, które można przekształcić do postaci
d2Q dt2 + 1
LCQ = 0, ponieważ dIdt =ddt2Q2. Pokazać, że rozwiązaniem równania ruchu jest
Q(t) = Q0cos(ωt + φ0).
Ile wynosi ω? Ile wynosi suma energii pola magnetycznego cewki i pola elektrostatycznego kondensatora, tj. LI2(t)/2+
Q2(t)/(2C)? Czy wielkość ta zależy od czasu? Jak interpretujemy otrzymany wynik? Jak zależy I(t) od Q(t)?
*27. Obwód RLC. Obwód zawiera opór R, cewkę o indukcyjności L, kondensator o pojemności C oraz wyłącznik. Po naładowaniu kondensatora obwód jest zamykany i jego dynamikę opisu równanie Kirchhoffa
−IR − LdI
dt −Q/C = 0, z którego otrzymujemy
d2Q dt2 +R
L dQ
dt + 1
LCQ = 0.
Pokazać, że dla LC1 > 4RL22, słabe tłumienie, rozwiązaniem jest
Q(t) = Q0exp[−Rt/(2L)] cos(p1/(LC) − R2/(4L2) · t + φ).
Czy z podobną dynamiką spotkałaś/spotkałeś się wcześniej w trakcie kursu fizyki? Ile wynosi okres funkcji Q(t)? Czy energia elektromagnetyczna obwodu RLC zależy od czasu?
Wrocław, 1 X 2005 W. Salejda, M.H. Tyc & G. Pawlik
