Wykład II

Wykład II

Ciągi i Granice

Ciagi liczbowe

Definicja 2.1 (ciąg)

( a

)

Ν ∋n→a

∈ℜ

Zapisane krótko: (an)

Definicja 2.2 (monotoniczność ciągu)

1^o (an) jest rosnący (niemalejący)

:⇔ ∀

n∈ Ν

a

> a

( a

≥a

)

2^o (an) jest malejący (nierosnący) :

⇔ ∀

n∈Ν

a

<a

( a

≤a

)

Definicja 2.3 (ograniczoność ciągu)

1^o

( a

)

∃ ∀

a

)

∃ ∀

Jeżeli 1^o i 2^o są spełnione, to

(a

)

Deinicja 2.4 (Cauchy’ego. Granica ciągu

≠ ± ∞

lim

n→∞

a

=g :⇔ ∀

ε>0

∃

n₀∈Ν

∀

n≥n₀

|a

−g|<ε

Przykład 2.1

ε ,∞

a

=1+ (−1)

n

Wewnątrz otoczenia ε znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu

zatem:

lim

n→∞

(1+ (−1)

n )=1

Własność „prawie wszystkie (wszędzie)” oznacza, że danej własności nie posiada co najwyżej skończona ilość wyrazów ciągu, natomiast daną własność posiada nieskończona ilość wyrazów ciągu.

Wniosek 2.1

lim

n→∞a_n=g ⇔

∀

prawie wszystkie a

∈( g−ε , g+ε)

|a

−g| _- d(a

,g) - odległość a

_od

Wniosek 2.2

lim

n→∞

a

= g ⇔ lim

n →∞

d (a

, g )=0 Otoczenie granicy o zadanym promieniu

^{g−ε g} g+ε

|a _n − g|<ε

⇕

−ε<a

−g<ε g−ε<a

¿ g+ε

Ta sama definicja (2.4), ale w innej postaci:

a

=0

a

= 3

2

a

= 2

3

a

= 5

4

lim

n→∞

a

= g :⇔ ∀

ϑ∈ot ( g )

∃

n_o∈Ν

∀

n≥n₀

a

∈ ϑ

Najbardziej ogólna definicja granicy ciągu. Zawiera ona również granice nieskończone i niewłaściwe

ϑ ∈ot ( g) _, ϑ jest otoczeniem granicy

Otoczenia:

1

x∈u(a,r )⇔|x−a|<r u-otoczenie zadanego punktu i zadanym promieniu r>0

2

x∈U (−∞,k ) ⇔ x<k _, k∈R 3

x∈U (+∞ , M )⇔ x >M _, M ∈R

lim

n→∞

a

=−∞⇔ ∀

∃

0∈Ν

∀

0

a _n <k

lim

n→∞

a

=+∞ ⇔ ∀

m∈ R

∃

n₀∈Ν

∀

n≥n₀

a _n > M

Twierdzenie 2.1 (własności granic właściwych)

1

Twierdzenie o jednoznaczności granicy:

Jeżeli ciąg posiada granicę, to tylko jedną:

[

^lim a

= g

∧ lim

n→ ∞

a

= g

] ^{⇒ g}

^{= g}

2

Twierdzenie o zachowaniu słabej nierówności:

[ ∃

A ∈R

∃

n₀∈Ν

∀

n≥n₀

a

≤ A∧lim

n→∞

a

=g]⇒ g≤ A [ ∃

A ∈R ∃

n

∈Ν ∀

n≥n

a _n < A∧lim

n →∞

a _n = g]⇒ g< A

Przykład 2.2

a

= 1 n

∀

¹ _n ^{> 0∧lim}

n→ ∞

1 n =0 g=0≥0

3^o

lim

n→∞

a

= 0⇔ lim

n→∞

|a

|=0

4^o Działania arytmetyczne

lim

n→∞

a

= g

lim

n→∞

( a

±b

)=g

± g

n→∞

lim ( a

⋅ b

)= g

⋅g

lim

n→∞

b

= g

lim

n→∞

( a

b

)= g

g

Przy dodatkowym założeniu:

∀

0

b_n≠0∧g₂≠0

5^o Twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym:

Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny do granicy właściwej

a)

[

^∃

^∃

^∀

^a

^{≤ M∧a}

rosn.(niemalej . ) ] ^{⇒ ∃}

^{lim a}

^=g

b)

[

^∃

^∃

∀

n≥n₀

a

≥m∧a

malej .(nierosn.) ] ^{⇒ ∃}

^{lim a}

^=g

] ⇒

6^o Twierdzenie o trzech ciągach

[

^∃

^∀

^a

^≤b

^≤c

^∧lim

^a

^=lim

^c

^{= g} ] ^⇒

^{lim b}

^{= g}

Graficznie:

b

≤a

≤c

g g

G

7^o Wniosek z 6^o

[

^{∃ ∀}

^|a

^{|≤ M ∧lim}

^b

⁼⁰ ] ^⇒

^{lim ( a}

^{⋅ b}

⁾⁼⁰

Zapisujemy:

lim

n→∞

a

⋅ b

=0

1 Organiczony

Przykład 2.3

lim

n→∞

[ 1+2+3+. ..+n

n+2 − n

2 ]

Jeżeli w ciągu są „kropeczki”, to najpierw się ich pozbywamy (bo to oznacza, że ilość wyrazów sumy zalezy od n)

Niech

S

=a

+a

+ .. .+a

- suma n początkowych wyrazów ciągu

a

Wówczas jeżeli:

1^o

(a

)

S

= a

+ a

2 ⋅ n

2^o

(a

)

q≠1

S

=a

⋅ 1−q

1−q

Zatem:

1+2+3+. ..+n= 1+n 2 ⋅ n

, oraz

n→∞

(*)=

lim

n→∞

[ ^{( 2(n+2 ) 1+n )n − n 2} ] ⁼

^lim [ ^{n+n 2(n+2 )}

⁻ⁿ

⁻²ⁿ ] ^=lim

_{2 n(1+} ^{−n 2}

n )

=− 1 2

Przykład 2.4

lim

n→∞

[ ⁿ

^{1 + 1 + n}

^{2 + 2 + . ..+ n}

^{n + n} ]

Możemy zastosować twierdzenie o trzech ciągach

1+ 2+ 3+ .. .+n n

+n

⏟ ^≤

1

n

+1 + 2

n

+2 +. ..+ n n

+n

⏟ ^≤

1+2+3+. . .+ n n

+ 1

⏟

an

¿

¿

a

= ( 1+n )n 2(n

+ n)

c

= ( 1+n )n 2( n

+1 )

lim

n→∞

a

= lim

n←∞

n

( 1 n +1) n

∗2(1+ 1 n )

= 1 2

n→∞

lim c

=lim

n→∞

n

( 1 n +1) n

(1+ 1

n

)

= 1 2

Zatem, na podstawie twierdzenia o trzech ciągach:

lim

n→∞

b

= 1 2

Przykład 2.5

a

= √ ²

a

= √ ²⁺ √ ²

a

= √ ²⁺ √ ^{2+... √ 2}

a

= √ ²

a

= √ ^2+a

1^o

a

Przeprowadzamy dowód metodą indukcji

∀

a

≥a

√ ²⁺ √ ^2≥ √ ²

∀

[

]

Założenie Teza

a

= √ ^2+a

≥ √ ^2+a

= a

2^o Ciąg ograniczony

∀

1) dla n=1

a

= √ ^2≤2

2)

∀

[

]

a

= √ ^2+a

^{≤ √ 2+2=2}

1^o i 2^o

⇒ ∃ lim

n→∞

a

=g

3^o Wyznaczanie granicy (wiemy już, że istnieje).

a

= √ ^2+a

lim

n→∞

a

=g ⇒ lim

n→∞

a

= g

a

= √ ^2+a

n → ∞

g

√ ^2+g

g= √ ^2+g

(+) (+)

g

=2+g⇒ g

− g−2=0⇒( g−2)( g+1 )=0

⇓

[ ^g

=2∨g

=−1 ] ^{∧g >0}

⇓ g=2

a

=( 1+ 1 n )

−

dowodzi się, że:

a)

[ ^a

^{rosn .∧ ∀}

^a

^≤3 ] ^⇒∃

^lim a

- ciąg ma granicę

Definicja 2.5 (liczba Eulera „e”)

lim

n→∞

( 1+ 1 n )

=e

e≈2,718...

Uwagi:

1

y=e

2

log

x=ln x - czytaj logarytm naturalny

Symbole nieoznaczone:

[ ^{0 0} ] ^{, [ ∞ ∞ ] ,}

^∞−∞

^{, [ 0∗∞ ] , [ 1}

^{] , [ 0}

^{] , [ 0}

^]

Granice typu „e”

lim

n→∞

f (n)=0 ⇒ lim

n→∞

[ ^{1+ f (n)} ]

1 f ( n)

=

[1^∞]

e

Przykład 2.6

lim

n→∞

[ ^{3n 5+3 n}

^{+2 n}

]

⁼

^lim

[ ^{1+ 3 n 5+3 n}

^{+2 n}

^{− 5+3 n 5+3 n}

]

^=lim

[ ^{1+ 5+3n 2n−5}

]

2 2 n−5

⏟ ^}

2 n−5

5+3 n

¿ ( 2 n+1)=

(*)

↓↓

e lim

n⟶ ∞

❑ (2 n−5)( 2n+1) 5+3 n

= 4

3

(*)

=e

4

3

=

√ ^e

Przykład 2.7

lim

n→∞

n n ⏟ ² +1

↓

cos( n!)

⏟

ogran.

= 0

0( bo mianownik ma stopień wyższy od stopnialicznika)

Granice specjalne

1^o

∀

a>0 lim

n→∞

√

2^o

lim

n→∞

√

ⁿ⁼¹

Definicja 2.6 (podciąg) Dany jest ciąg

( a

)

- rosnące odwzorowanie (silnie)

-podciąg ciągu

( a

)

Np.

a

a

a

a

Twierdzenie 2.2

lim

n→∞

a

= g ⇒ ∀

(a_n

k)_k∈Ν

lim

k →∞

a

k

= g

Jeżeli ciąg jest zbieżny do g, to każdy podciąg tego ciągu jest zbieżnydo tej samej granicy, co ciąg.

Uwaga: [ p ⇒ q ] ⇔ [ ~ p ⇒ ~ q ]

Wniosek 2.3

Jeżeli istnieją 2 podciągi Ν ⊃k →n

∈ Ν

( a

k

)

∃( a _n

k

)( a

i

)

- podciągi ciągu (a

) Takie, że:

lim

k →∞ a _n

k

≠lim

i →∞

a

i

,

to

⇒ nie istnieje lim

n→ ∞ a _n

Twierdzenie 2.3 (Bolzano – Weierstrassa)

Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny. Inaczej – z każdego ciągu ograniczonego da się wybrać podciąg zbieżny.

Przykład 2.8

a

= n

n+1 sin nπ 2

f.trygonometryczne (w ∞ ) zbieżne tylko wtedy, gdy są stałe np.

sin(nπ )=0 ⃗

0 sin( π

4 +2 nπ )= √ ²

2 ⃗

√ ²

2

a

= 4 n+1

4 n+2 sin(2 nπ + π

2 )= 4 n+1 4 n+2 sin π

2 = 4 n+1 4 n+2 lim

n→∞

a

=1

lim

n→ ∞

a

=1 a

= 4 n+2 ⏞

1

4 n+3 sin ⏟ ( 2 nπ + π )

0

= 0 lim

n→∞

a

=0 a

= 4 n+3 ⏞

1

4 n+4 sin(2 nπ + 3 π 2 )

⏞

−1

= 4 n+3 4 n−4 (−1 ) lim

n→∞

a

=−1 a

= 4 n

4 n+1 sin (2nπ ) ⏞

0

=0 lim

n−¿∞

a

=0

Definicja 2.7 (granica dolna, granica górna)

Dany jest ciąg

( a

)

liminf

n→ ∞

a

- najmniejsza spośród granic wszystkich podciągów zbieżnych.

Granica dolna (limes inferior)

limsup

n→ ∞

a

- największa spośród granic wszystkich podciągów zbieżnych.

Granica górna (limes superior)

Uwaga!

Zauważmy, że:

( a

)∪( a

)∪ ( ^a

) ^{∪( a}

)=( a

)

liminf

n→ ∞

a

=min { −1,0,1 } =−1, limsup

n→∞

a

=max { −1,0,1 } =1