Algebra liniowa, WNE, 2018/2019
ćwiczenia 10. – rozwiązania zadań domowych
5 listopada 2018
1. Które z poniższych odwzorowań ϕ : V → W są przekształceniami liniowymi?
• V = R2, W = R4, ϕ((x, y)) = (2x + 6y, 4x + 2y, x + y, 3x),
• V = R3, W = R2, ϕ((x, y, z)) = ((x + 2)2− x2− z − 4, 4x + 2y + 6z), Rozwiązanie:
• to jest przekształcenie liniowe, bo dla dowolnych (x, y), (z, w) ∈ R2 oraz a ∈ R mamy: ϕ((x, y)) + ϕ((w, z)) = (2x+6y, 4x+2y, x+y, 3x)+(2w +6z, 4w +2z, w +z, 3w) = (2(x+w)+6(y +z), 4(x+w)+
2(y +z), (x+w)+(y +z), 3(x+w)) = ϕ((x, y)+(w, z)) oraz aϕ((x, y)) = a(2x+6y, 4x+2y, x+y, 3x) = (2ax + 6ay, 4ax + 2ay, ax + ay, 3ax) = ϕ(a(x, y)).
• to jest przekształcenie liniowe, bo tak na prawdę ϕ((x, y, z)) = (4x − z, 4x + 2y + 6z), a dalej podobnie jak wyżej.
2. Niech ϕ, ψ : R3 → R2, będą przekształceniami liniowymi zadanymi następująco: ϕ((2, 2, 1)) = (19, 12), ϕ((1, 1, 0)) = (10, 0), ϕ((1, 0, 0)) = (3, 1) oraz ψ((−1, 2, 1)) = (5, 11), ψ((−1, 1, 0)) = (4, 1), ψ((0, 0, 1)) = (3, 9). Znaleźć wzór na przekształcenie ϕ + 3ψ.
Rozwiązanie:
• ϕ((1, 0, 0)) = (3, 1)
• (0, 1, 0) = (1, 1, 0) − (1, 0, 0), a więc ϕ((0, 1, 0)) = (10, 0) − (3, 1) = (7, −1)
• (0, 0, 1) = (2, 2, 1) − 2(1, 1, 0), a więc ϕ((0, 0, 1)) = (19, 12) − 2(10, 0) = (−1, 12)
• (1, 0, 0) = (−1, 2, 1) − 2(−1, 1, 0) − (0, 0, 1), a więc ψ((1, 0, 0)) = (5, 11) − 2(4, 1) − (3, 9) = (−6, 0)
• (0, 1, 0) = (−1, 2, 1) − (−1, 1, 0) − (0, 0, 1), a więc ψ((0, 1, 0)) = (5, 11) − (4, 1) − (3, 9) = (−2, 1)
• ψ((0, 0, 1)) = (3, 9)
A zatem ϕ((x, y, z)) = (3x + 7y − z, x − y + 12z) oraz ψ((x, y, z)) = (−6x − 2y + 3z, y + 9z). Czyli (ϕ + 3ψ)(x, y, z) = (−15x + y + 8z, x + 2y + 39z).
1
