Algebra liniowa, WNE, 2018/2019
ćwiczenia 4. – rozwiązania zadań domowych
11 października 2018
Grupa 8:00
1. Dla poniższych podzbiorów w R2sprawdzić, czy spełnia on oba warunki z definicji podprzestrzeni.
• {(x, y) : x = 0 lub y = x},
Nie spełnia warunku z dodawaniem, bo (1, 0) oraz (1, 1) są w tym zbiorze, ale (0, 1) + (1, 1) = (1, 2) już nie. Spełnia warunek z mnożeniem, bowiem c · (x, 0) = (cx, 0) należy do zbioru, podobnie jak c · (x, x) = (cx, cx).
• {(x, y) : x2+ 4y2= 4xy}.
Wbrew pozorom, tu jest napisane x − 2y = 0, czyli x = 2y. Ten zbiór jest podprzestrzenią liniową (spełnia oba warunki), bowiem (x, 2x) + (y, 2y) = (x + y, 2x + 2y) należy do tego zbioru i c · (x, 2x) = (cx, 2cx) też.
2. Czy następujące układy:
• (3, 2, 0), (−1, 0, 2), (4, 2, 1),
• (4, 2, 1, −2), (5, 0, −1, 6), (1, 1, 2, 2) są liniowo niezależne?
• Wpisujemy w wiersze (lub kolumny) macierzy i sprowadzamy do postaci schodkowej:
3 2 0
−1 0 2
4 2 1
w1↔ w2
−−−−−−→
−1 0 2
3 2 0
4 2 1
w2+ 3w1, w4+ 4w1
−−−−−−−−−−−−−−→
−1 0 2
0 2 6
0 2 9
w3− w2
−−−−−→
−1 0 2
0 2 6
0 0 3
Ostatni wiersz jest niezerowy, zatem badany układ jest liniowo niezależny.
• Postępujemy podobnie:
4 2 1 −2
5 0 −1 6
1 1 2 2
w1↔ w3
−−−−−−→
1 1 2 2
5 0 −1 6
4 2 1 −2
w2− 5w1, w3− 4w1
−−−−−−−−−−−−−−→
1 1 2 2
0 −5 −11 −4
0 −2 −7 −10
w2· −1
−−−−−→5
1 1 2 2
0 1 2, 2 0, 8
0 −2 −7 −10
w3+ 2w2
−−−−−−→
1 1 2 2
0 1 2, 2 0, 8 0 0 −4, 8 −8, 4
Ostatni wiersz jest niezerowy, zatem badany układ jest liniowo niezależny.
Grupa 9:45
1. Dla poniższych podzbiorów w R2sprawdzić, czy spełnia on oba warunki z definicji podprzestrzeni.
• {(x, y) : x = 0 lub y = 0},
Nie spełnia warunku z dodawaniem, bo (1, 0) oraz (0, 1) są w tym zbiorze, ale (0, 1) + (1, 0) = (1, 1) już nie. Spełnia warunek z mnożeniem, bowiem c · (x, 0) = (cx, 0) należy do zbioru, podobnie jak c · (0, y) = (0, cy).
1
• {(x, y) : x2+ y2= 2xy}.
Wbrew pozorom, tu jest napisane x − y = 0, czyli x = y. Ten zbiór jest podprzestrzenią liniową (spełnia oba warunki), bowiem (x, x)+(y, y) = (x+y, x+y) należy do tego zbioru i c·(x, x) = (cx, cx) też.
2. Czy następujące układy:
• (3, 2, 1), (−1, 0, 2), (4, 2, 2),
• (4, 2, 1, −2, 3), (5, 0, −1, 6, 1), (1, 1, 2, 2, 0) są liniowo niezależne?
• Wpisujemy w wiersze (lub kolumny) macierzy i sprowadzamy do postaci schodkowej:
3 2 1
−1 0 2
4 2 2
w1↔ w2
−−−−−−→
−1 0 2
3 2 1
4 2 2
w2+ 3w1, w4+ 4w1
−−−−−−−−−−−−−−→
−1 0 2
0 2 7
0 2 8
w3− w2
−−−−−→
−1 0 2
0 2 7
0 0 1
Ostatni wiersz jest niezerowy, zatem badany układ jest liniowo niezależny.
• Postępujemy podobnie:
4 2 1 −2 3
5 0 −1 6 1
1 1 2 2 0
w1↔ w3
−−−−−−→
1 1 2 2 0
5 0 −1 6 1
4 2 1 −2 3
w2− 5w1, w3− 4w1
−−−−−−−−−−−−−−→
1 1 2 2 0
0 −5 −11 −4 1
0 −2 −7 −10 3
w2·−1
−−−−−→5
1 1 2 2 0
0 1 2, 2 0, 8 0, 2
0 −2 −7 −10 3
w3+ 2w2
−−−−−−→
1 1 2 2 0
0 1 2, 2 0, 8 0, 2 0 0 −4, 8 −8, 4 3, 4
Ostatni wiersz jest niezerowy, zatem badany układ jest liniowo niezależny.
2
