Egzamin z analizy matematycznej, analityka gospodarcza, rok 1
16 VI 2017
Informacje dla zdających:
1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale nie w ciągu ostatnich 10 minut.
2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.
3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem oraz grupą przy- dzieloną na egzaminie. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny” pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony.
Grupa B Zadania:
1. (200 punktów) Funkcja popytu 𝐷 na pewien towar w zależności od ceny 𝑝 wyraża się wzorem 𝐷(𝑝) = 𝑝𝑒−2𝑝2−𝑝+3.
a) Wyznaczyć i zinterpretować wartość popytu krańcowego dla ceny 𝑝0 = 2;
b) Wyznaczyć i zinterpretować wartość elastyczności popytu dla ceny 𝑝0 = 3;
c) Za pomocą różniczki wyznaczyć przybliżoną wartość popytu dla 𝑝 = 0, 9.
2. (200 punktów) Wyznaczyć wartość średnią funkcji 𝑓 (𝑥) = 𝑥√
4𝑥2+ 1 w przedziale [−1, 2]
dwiema metodami:
a) Za pomocą dokładnych obliczeń,
b) Za pomocą obliczeń przybliżonych, z użyciem kwadratury trapezów dla 𝑛 = 6.
3. (200 punktów) Wyznaczyć za pomocą metody Lagrange’a wszystkie ekstrema warunkowe funkcji 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 6𝑦 − 2 przy warunku 𝑥2+ 9𝑦2 = 5.
4. (200 punktów) a) Wyznaczyć otwarty przedział zbieżności szeregu:
∞
∑
𝑛=1
3𝑛 𝑛6+ 3𝑛2+ 2
( 1 2𝑥 − 1
)𝑛
.
b) Zapisać dla funkcji 𝑓 (𝑥) = ln2𝑥 pierwsze 4 wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora w otoczeniu punktu 𝑥0 = 1.
5. (100 punktów) Podać definicję zagadnienia Cauchy’ego i wypowiedź twierdzenia Cauchy’ego- Picarda.
Wybrane wzory:
∫ 𝑏 𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≈ 1
2ℎ[𝑓 (𝑥0) + 𝑓 (𝑥𝑛) + 2
𝑛−1
∑
𝑖=1
𝑓 (𝑥𝑖)];
∫ 𝑏 𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − 𝑇𝑛
≤ (𝑏 − 𝑎)3𝑀′′
12𝑛2 ; 𝑓 (𝑥) ≈
𝑘−1
∑
𝑛=0
𝑓(𝑛)(𝑥0) ⋅(𝑥 − 𝑥0)𝑛
𝑛! ; 𝐸𝑥𝑓 (𝑥0) = 𝑥0
𝑓 (𝑥0) ⋅ 𝑓′(𝑥0); (arccos 𝑥)′ = − 1
√1 − 𝑥2;
sin 0 = 0; sin𝜋 6 = 1
2; sin𝜋 4 =
√2
2 ; sin𝜋 3 =
√3
2 ; sin𝜋 2 = 1.
