Egzamin z analizy matematycznej, analityka gospodarcza, rok 1
16 VI 2017
Informacje dla zdających:
1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale nie w ciągu ostatnich 10 minut.
2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.
3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny”
pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony.
Grupa A Zadania:
1. (200 punktów) Funkcja przychodu 𝑅 w zależności od wielkości produkcji 𝑥 wyraża się wzorem 𝑅(𝑥) = 𝑥 ln(3𝑥2− 𝑥 − 9).
a) Wyznaczyć i zinterpretować wartość przychodu krańcowego dla poziomu produkcji 𝑥0 = 3;
b) Wyznaczyć i zinterpretować wartość elastyczności przychodu dla poziomu produkcji 𝑥0 = 5;
c) Za pomocą różniczki wyznaczyć przybliżoną wartość przychodu dla 𝑥 = 2, 1.
2. (200 punktów) Wyznaczyć wartość średnią funkcji 𝑓 (𝑥) = 𝑥 cos 𝑥 w przedziale [0, 𝜋] dwiema metodami:
a) za pomocą dokładnych obliczeń,
b) za pomocą obliczeń przybliżonych, z użyciem kwadratury trapezów dla 𝑛 = 6.
3. (200 punktów) Wyznaczyć wszystkie ekstrema lokalne funkcji:
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧3− 𝑥2− 3𝑦2+ 3𝑧2+ 𝑥𝑦 + 7𝑥 − 9𝑦 − 36𝑧 + 2.
4. (200 punktów) a) Wyznaczyć otwarty przedział zbieżności szeregu:
∞
∑
𝑛=1
𝑛3+ 1
2𝑛 (3𝑥 + 12)𝑛. b) Zapisać dla funkcji 𝑓 (𝑥) = 𝑒
√𝑥 pierwsze 4 wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora w otoczeniu punktu 𝑥0 = 1.
5. (100 punktów) Sformułować regułę de l’Hospitala i wyjaśnić, jak należy ją zastosować w przy- padku symbolu nieoznaczonego [0 ⋅ ∞].
Wybrane wzory:
∫ 𝑏 𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≈ 1
2ℎ[𝑓 (𝑥0) + 𝑓 (𝑥𝑛) + 2
𝑛−1
∑
𝑖=1
𝑓 (𝑥𝑖)];
∫ 𝑏 𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − 𝑇𝑛
≤ (𝑏 − 𝑎)3𝑀′′
12𝑛2 ; 𝑓 (𝑥) ≈
𝑘−1
∑
𝑛=0
𝑓(𝑛)(𝑥0) ⋅(𝑥 − 𝑥0)𝑛
𝑛! ; 𝐸𝑥𝑓 (𝑥0) = 𝑥0
𝑓 (𝑥0) ⋅ 𝑓′(𝑥0); (arccos 𝑥)′ = − 1
√1 − 𝑥2;
sin 0 = 0; sin𝜋 6 = 1
2; sin𝜋 4 =
√2
2 ; sin𝜋 3 =
√3
2 ; sin𝜋 2 = 1.
